Cálculo III: sequências e séries numéricas e funções, Notas de estudo de Engenharia de Produção

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Notas do Curso de SMA-333 C´alculo III

Prof. Wagner Vieira Leite Nunes

S˜ao Carlos 1.o semestre de 2007

• 1 Introdu¸c˜ao
• 2 Seq¨uˆencias Num´ericas
  • 2.1 Defini¸c˜oes
  • 2.2 Opera¸c˜oes com Seq¨uˆencias
  • 2.3 Convergˆencia de Seq¨uˆencias
    • 2.3.1 Seq¨uˆencias Mon´otonas
    • 2.3.2 Supremo e ´Infimo de Seq¨uˆencias
  • 2.4 Seq¨uˆencias Divergentes
  • 2.5 Subseq¨uˆencias de uma Seq¨uˆencia
  • 2.6 Seq¨uˆencias de Cauchy
• 3 S´eries Num´ericas
  • 3.1 Defini¸c˜oes
  • 3.2 Opera¸c˜oes com S´eries Num´ericas
  • 3.3 Convergˆencia de S´eries Num´ericas
  • 3.4 Resultados Gerais de Convergˆencia de S´eries Num´ericas
  • 3.5 Crit´erios de Convergˆencia para S´eries Num´ericas com Termos N˜ao-negativos
  • 3.6 Convergˆencia de S´eries Alternadas
  • 3.7 Reagrupamento de S´eries Num´ericas
  • 3.8 S´eries Absolutamente Convergentes
  • 3.9 S´eries Condicionalmente Convergentes
• 4 Seq¨uˆencias de Fun¸c˜oes
  • 4.1 Seq¨uˆencias de Fun¸c˜oes
  • 4.2 Convergˆencia Pontual de Seq¨uˆencias de Fun¸c˜oes
  • 4.3 Convergˆencia Uniforme de Seq¨uˆencias de Fun¸c˜oes
  • 4.4 Seq¨uˆencias de Fun¸c˜oes de Cauchy
  • 4.5 Propriedades da Convergˆencia Uniforme de Seq¨uˆencias de Fun¸c˜oes
• 5 S´eries de Fun¸c˜oes
  • 5.1 S´eries de Fun¸c˜oes
  • 5.2 Convergˆencia Pontual de S´eries de Fun¸c˜oes
  • 5.3 Convergˆencia Uniforme de S´eries de Fun¸c˜oes
• 6 S´eries de Potˆencias 4 SUM ARIO´
  • 6.1 S´eries de Potˆencias
  • 6.2 Convergˆencia Pontual de S´eries de Potˆencias
  • 6.3 Convergˆencia Uniforme de S´eries de Potˆencias
  • 6.4 Integra¸c˜ao S´eries de Potˆencias
  • 6.5 Deriva¸c˜ao de S´eries de Potˆencias
  • 6.6 S´erie de Taylor e de McLaurin
  • 6.7 Representa¸c˜ao de Fun¸c˜oes em S´eries de Potˆencias
  • 6.8 S´erie Binomial
  • 6.9 Resolu¸c˜ao de PVI’s associados a EDO’s via S´eries de Potˆencias
• 7 S´eries de Fourier
  • 7.1 Introdu¸c˜ao
  • 7.2 M´etodo das Separa¸c˜ao de Vari´aveis
  • 7.3 Os Coeficientes de Fourier
  • 7.4 Interpreta¸c˜ao Geom´etrica dos Coeficientes de Fourier
  • 7.5 Convergˆencia Pontual da S´erie de Fourier
  • 7.6 Convergˆencia Uniforme da S´erie de Fourier
  • 7.7 Notas Hist´oricas
  • 7.8 Aplica¸c˜ao de S´erie de Fourier a EDP’s
    • 7.8.1 O Problema da Condu¸c˜ao do Calor em um Fio
    • 7.8.2 O Problema da Corda Vibrante
    • 7.8.3 A Equa¸c˜ao de Laplace

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao

Este trabalho poder´a servir como notas de aula para o cursos cuja ementa trata de seq¨uˆencias ´e s´eries num´ericas, seq¨uˆencias ´e s´eries de fun¸c˜oes, em particular, s´erie de potˆencias e de Fourier. Aplicaremos s´eries de Fourier para a resolu¸c˜ao de alguns problemas relacionados com algumas Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais, a saber, as Equa¸c˜oes do Calor, da Onda e de Laplace, no caso peri´odico. Ser˜ao exibidos todos os conceitos relacionados com o conte´udo acima, bem como pro- priedades e aplica¸c˜oes dos mesmos. As referˆencias ao final das notas poder˜ao servir como material importante para o conte´udo aqui desenvolvido.

Cap´ıtulo 2

Seq¨uˆencias Num´ericas

26.02 - 1.a aula 1.03 - 2.a aula 5.03 - 3.a aula

2.1 Defini¸c˜oes

Come¸caremos tratando das:

Defini¸c˜ao 2.1.1 Uma seq¨uˆencia de n´umeros reais (ou complexos) (ou seq¨uˆencia num´erica) ´e uma aplica¸c˜ao a : N → R (ou C) n 7 → a(n)

isto ´e, uma lei que associa a cada n´umero natural n um, ´unico, n´umero real (ou complexo) a(n) que indicaremos por an. Os elementos an ser˜ao ditos termos da seq¨uˆencia. O conjunto {an : n ∈ N} ser´a dito conjunto dos valores da seq¨uˆencia. Denotaremos uma seq¨uˆencia por: (an)n∈N, (an), {an}n∈N, {an}.

Exemplo 2.1.

1. (an) onde an =^.

n

, n = 1, 2 , · · ·.

Conjuntos dos valores da seq¨uˆencia = { 1 , 12 , 13 , · · · }.

1. (an) onde an = 0^. , n = 1, 2 , · · ·. Conjuntos dos valores da seq¨uˆencia = { 0 }.
2. (an) onde an =^. sen(

nπ 2

0 , n par (−1)

n+3 2 , n ´ımpar

, n = 1, 2 , · · ·.

Conjuntos dos valores da seq¨uˆencia = { 1 , 0 , − 1 }.

7

8 CAP´ITULO 2. SEQ U ¨ENCIAS NUM ˆ ERICAS´

1. (an) onde an =^. n, n = 1, 2 , · · ·. Conjuntos dos valores da seq¨uˆencia = { 1 , 2 , 3 , 4 , · · · }.
2. (an) onde an = (^. −1)n, n = 1, 2 , · · ·. Conjuntos dos valores da seq¨uˆencia = { 1 , − 1 }.
3. (an) onde an = n+1 n , n = 1, 2 , · · ·. Conjuntos dos valores da seq¨uˆencia = { 2 , 32 , 43 , 54 , · · · }.
4. (an) onde an =^. 1+(−1)

n n ,^ n^ = 1,^2 ,^ · · ·^. Conjuntos dos valores da seq¨uˆencia = { 0 , 1 , 0 , 12 , 0 , 13 , · · · }.

2.2 Opera¸c˜oes com Seq¨uˆencias

Como seq¨uˆencias s˜ao fun¸c˜oes a valores reais (ou complexos) podemos som´a-las, multiplic´a- las por n´umeros reais (ou complexos) de maneira semelhante a quaisquer fun¸c˜oes, isto ´e,

Defini¸c˜ao 2.2.1 Dadas as seq¨uˆencias (an)n∈N, (bn)n∈N e α ∈ R (ou C) definimos a seq¨uˆencia soma da seq¨uˆencia (an)n∈N com a seq¨uˆencia (bn)n∈N, denotada por (an)n∈N + (bn)n∈N, como sendo: (an)n∈N + (bn)n∈N = (^. an + bn)n∈N

ou seja, a seq¨uˆencia soma ´e obtida somando-se os correspondentes termos de cada seq¨uˆencia. Definimos a seq¨uˆencia produto do n´umero real (ou complexo) α pela seq¨uˆencia (an)n∈N, indicada por α(an)n∈N, como sendo:

α(an)n∈N = (^. αan)n∈N

ou seja, a seq¨uˆencia ´e obtida multiplicando-se os correspondentes termos de cada seq¨uˆencia pelo n´umero real (ou complexo). Definimos a seq¨uˆencia produto da seq¨uˆencia (an)n∈N pela seq¨uˆencia (bn)n∈N, indicada por (an)n∈N.(bn)n∈N, como sendo:

(an)n∈N.(bn)n∈N = (^. anbn)n∈N

ou seja, a seq¨uˆencia ´e obtida multiplicando-se os correspondentes termos de cada uma das seq¨uˆencias. Se bn 6 = 0, n ∈ N, definimos a seq¨uˆencia quociente da seq¨uˆencia (an)n∈N pela seq¨uˆencia (bn)n∈N, indicada por α(an)n∈N/(bn)n∈N, como sendo:

(an)n∈N/(bn)n∈N = (^. an/bn)n∈N

ou seja, a seq¨uˆencia ´e obtida dividindo-se os correspondentes termos de cada uma das seq¨uˆencias (observe que bn 6 = 0, n ∈ N).

10 CAP´ITULO 2. SEQ U ¨ENCIAS NUM ˆ ERICAS´

1. No exemplo 1. os termos da seq¨uˆencia (an)n∈N crescem ilimitadamente quando n cresce, ou ainda, os termos v˜ao para ”infinito” quando n vai para ”infinito”.
2. No exemplo 2. os termos da seq¨uˆencia (bn)n∈N oscilam entre − 1 e 1 , quando n cresce.
3. No exemplo 3. os termos da seq¨uˆencia (cn)n∈N aproximam-se de zero quando n cresce, isto ´e, os termos tendem a zero quando n vai para infinito.

A seguir vamos formalizar esta ´ultima situa¸c˜ao mais precisamente, ou seja, colocar de forma correta o conceito de ”convergir” (ou ”aproximar-se de”, ou ainda ”tender a”).

Defini¸c˜ao 2.3.1 Diremos que uma seq¨uˆencia (an)n∈N ´e convergente (ou converge, ou tende) para l ∈ R (ou C) quando n vai para infinito, escrevendo-se (^) nlim→∞ an = l (ou

ann→∞ → l, ou ainda simplesmente an → l) se, e somente se, dado ε > 0 existir N 0 ∈ N tal que se n ≥ N 0 temos |an − l| < ε.

Observa¸c˜ao 2.3.

1. A defini¸c˜ao acima nos diz, formalmente, que podemos ficar t˜ao pr´oximo de l quanto se queira desde que o ´ındice da seq¨uˆenica seja suficientemente grande.
2. Na linguagem dos intervalos a defini¸c˜ao acima nos diz que dado o intervalo (l − ε, l + ε) (ou seja ε > 0 ) , todos os termos da seq¨uˆenica caem dentro desse intervalo excetuando-se, eventualmente, os N 0 primeiros termos.
3. Em geral N 0 depende do ε > 0 dado inicialmente.

8.03 - 4.a

Proposi¸c˜ao 2.3.1 Se o limite existe ele deve ser ´unico, isto ´e, se (^) nlim→∞ an = l 1 e (^) nlim→∞ an =

l 2 ent˜ao l 1 = l 2.

Demonstra¸c˜ao: Mostremos que para todo ε > 0 temos |l 1 − l 2 | < ε, o que implica que l 1 = l 2. Para isto temos que dado ε > 0 como (^) nlim→∞ an = l 1 ent˜ao existe N 1 ∈ N tal que se

n ≥ N 1 tem-se |an − l 1 | < ε 2. De modo an´alogo, como lim n→∞ an = l 2 existe N 2 ∈ N tal que se n ≥ N 2 tem-se |an −l 2 | < ε

Logo se n ≥ max{N 1 , N 2 } temos

|l 1 − l 2 | = |l 1 − an + an − l 2 | ≤ |l 1 − an| + |an − l 2 |

(n≥N 1 e n≥N 2 ) <

ε 2

ε 2

= ε

completando a demosntra¸c˜ao. §

Exemplo 2.3.

2.3. CONVERG ENCIA DE SEQ ˆ U ¨ENCIASˆ 11

1. Mostremos que a seq¨uˆenica (

n

)n∈N ´e convergente para zero, isto ´e, (^) nlim→∞

n

Para isto observemos que dado ε > 0 se tomarmos N 0 ∈ N tal que N 0 > (^1) ε ent˜ao, para n ≥ N 0 teremos

|an − l| = |

n

n

(n≥N 0 ≥1) ≤

N 0

< ε

mostrando a afirma¸c˜ao.

1. Mostremos que a seq¨uˆencia ( (^) n^2 +1n )n∈N ´e convergente para 2, isto ´e, (^) nlim→∞

2 n n + 1

Para isto observemos que dado ε > 0 se tomarmos N 0 ∈ N tal que N 0 > (^2) ε ent˜ao, para n ≥ No teremos

|an−l| = |

2 n n + 1

2 n − 2 n − 2 n + 1

n + 1

n + 1

(n+1≥n≥1) ≤

n

(n≥N 0 ≥1) ≤

N 0

< ε

mostrando a afirma¸c˜ao.

1. A seq¨uˆencia (cos(nπ))n∈N ´e divergente. De fato, observemos que cos(nπ) = (− 1 n), n ∈ N. Se a seq¨uˆenica fosse convergente para algum l ∈ R ent˜ao dado ε = 12 > 0 deveria existir um N 0 ∈ N tal que para todo n ≥ N 0 ter´ıamos |(−1)n^ − l|^12 , isto ´e, l − 12 < (−1)n^ < l + 12 o que ´um absurdo pois isto implicaria que − 1 e 1 pertenceriam ao interavalo (l − 12 , l + 12 ) que tem comprimento 1 (se − 1 e 1 est˜ao no intervalo este dever´a ter um comprimento maior ou igual a 2 ) o que ´e um absurdo. Portanto a seq¨uˆenica n˜ao ´e convergente.
2. Seja (an) tal que an = 0, (^33) ︸ ︷︷ ︸ · · · 3 n−casas

, isto ´e, a 1 = 0, 3 , a 2 = 0, 33 , a 3 = 0, 333 , · · ·.

Ent˜ao (^) nlim→∞ an =

De fato, dado ε > 0 seja N 0 ∈ N tal que N 0 > log

3 ε

− 1 , ou seja, 10 N^0 +1^ >

3 ε

, ou

ainda

3 10N^0 +^

< ε temos:

Com isso se n ≥ N 0 temos que |an −

n−casas

n ︷ ︸︸ ︷−casas 9 · · · 9 − 1 3

n ︷ ︸︸ ︷−casas 0 · · · 0 1 3

− 1 10 n+ 3

3 10n+

(n≥N 0 ≥1) <

3 10N^0 +^

< ε como quer´ıamos demonstrar.

Defini¸c˜ao 2.3.2 Diremos que uma seq¨uˆencia (an)n∈N ´e limitada se existir M ∈ R tal que |an| ≤ M para todo n ∈ N.

2.3. CONVERG ENCIA DE SEQ ˆ U ¨ENCIASˆ 13

1. Se a seq¨uˆencia (an)n∈N ´e convergente para zero e a seq¨uˆencia (bn)n∈N ´e limitada ent˜ao a seq¨uˆencia (an)n∈N.(bn)n∈N ´e convergente para zero, isto ´e,

n^ lim→∞(an.bn) = 0.

1. Suponhamos que as seq¨uˆencias (an)n∈N e (bn)n∈N s˜ao convergentes para l e a seq¨uˆencia (cn)n∈N satisfaz: an ≤ cn ≤ bn para todo n ∈ N. Ent˜ao a seq¨uˆencia (cn)n∈N ´e con- vergente para l.

Demonstra¸c˜ao: De 1.: Para (2.1): Como (^) nlim→∞ an = a e (^) nlim→∞ bn = b, dado ε > 0 existem N 1 , N 2 ∈ N tal que se n ≥ N 1

temos |an − a| <

ε 2

e se n ≥ N 2 temos |bn − b| <

ε 2

Logo, tomando-se N 0 = max^. {N 1 , N 2 } temos para n ≥ N 0 que

|(an +bn)−(a+b)| = |(an −a)+(bn −b)| ≤ |an −a|+|bn −b|

(n≥N 0 ≥N 1 e n≥N 0 ≥N 2 ) <

ε 2

ε 2

= ε,

mostrando que (^) nlim→∞(an + bn) = a + b ou, equivalentemente, (^) nlim→∞(an + bn) = (^) nlim→∞ an +

nlim→∞ bn. A demonstra¸c˜ao de (2.2) ´e an´aloga e ser´a deixada como exerc´ıcio para para leitor. Para (2.3): Vamos supor que a 6 = 0. Como lim n→∞

an = a e lim n→∞

bn = b, s˜ao convergentes elas s˜ao limitadas, em particular,

(bn) ´e limtada logo existe M > 0 tal que |bn| ≤ M , para todo n ∈ N. Dado ε > 0 existem N 1 , N 2 ∈ N tal que se:

n ≥ N 1 temos |an − a| <

ε 2 M

n ≥ N 2 temos |bn − b| <

ε 2 |a|

Seja N 0 = max^. {N 1 , N 2 }. Observemos que se n ≥ N 0 ent˜ao n ≥ N 1 e n ≥ N 2 logo |(an.bn)−(a.b)| = |(an −a)bn +(bn −b)a| ≤ |an −a||bn|+|bn −b||a| < |an −a|M +|bn −b||a| < ε 2 M

M +

ε 2 |a|

|a| =

ε 2

ε 2

= ε,

mostrando que lim n→∞

(an.bn) = a.b ou, equivalentemente, lim n→∞

(an.bn) = lim n→∞

an. lim n→∞

bn. Se b 6 = 0 podemos fazer uma demonstra¸c˜ao semelhante. Se a = b = 0 ent˜ao temos que dado ε > 0 existem N 1 , N 2 ∈ N tal que se: n ≥ N 1 temos |an − 0 | <

ε; n ≥ N 2 temos |bn − 0 | <

ε. Seja N 0 = max^. {N 1 , N 2 }. Observemos que se n ≥ N 0 ent˜ao n ≥ N 1 e n ≥ N 2 logo

|(an.bn) − a.b| = |an.bn| = |an||bn| <

ε.

ε = ε,

mostrando que lim n→∞(an.bn) = 0 ou, equivalentemente, lim n→∞(an.bn) = lim n→∞ an. (^) nlim→∞ bn.

14 CAP´ITULO 2. SEQ U ¨ENCIAS NUM ˆ ERICAS´

A demonstra¸c˜ao de (2.4) ´e semelhante e ser´a deixada como exerc´ıcio. De 2.: Suponhamos, por absurdo, que a > b, isto ´e, lim n→∞ an > (^) nlim→∞ bn.

Logo, dado ε =.

a − b 2

> 0, existem N 1 e N 2 ∈ N tal que: Se n ≥ N 1 ent˜ao |an − a| < ε = a− 2 b, ou seja −ε < an − a < ε o que implica que

−

a − b 2

• a < an <

a − b 2

• a, em particular

a + b 2

< an se n ≥ N 1.

Se n ≥ N 2 ent˜ao |bn − b| < ε =

a − b 2

, ou seja −ε < bn − b < ε o que implica que

−

a − b 2

• b < bn <

a − b 2

• b, em particular bn <

a + b 2

se n ≥ N 2.

Logo, se n ≥ max{N 1 , N 2 } temos que bn <

a + b 2

< an, isto ´e, bn < an se n ≥

max{N 1 , N 2 }, o que ´e um absurdo pois, por hip´otese, an ≤ bn para todo ∈ N. De 3.: Como (bn)n∈N ´e limitada , existe M > 0 tal que |bn| ≤ M para todo n ∈ N. Mas (an)n∈N convergete para zero, logo dado ε > 0 existe N 0 ∈ N tal que se: n ≥ N 0

temos |an − 0 | <

ε M

Logo, dado dado ε > 0 se n ≥ N 0 temos

|an.bn − 0 | = |an||bn| ≤

ε M

M < ε,

mostrando que lim n→∞(an.bn) = 0.

De 4.: Como lim n→∞ an = l e lim n→∞ bn = l, dado ε > 0 existem N 1 , N 2 ∈ N tal que se:

n ≥ N 1 temos |an − l| < ε, o que implica que −ε < an − l < ε; n ≥ N 2 temos |bn − l| < ε o que implica que −ε < bn − l < ε. Logo se tomarmos N 0 = max{N 1 , N 2 } temos, para n ≥ N 0 que

−ε < an − l ≤ cn − l ≤ bn − l < ε, (pois an ≤ cn ≤ bn, para todo n ∈ N)

ou seja −ε < cn − l < ε ou, equivalentemente, |cn − l| < ε, mostrando que lim n→∞ cn = l.

§

Observa¸c˜ao 2.3.

1. O item 2. da proposi¸c˜ao acima ´e conhecido como o teorema da compara¸c˜ao para seq¨uˆencias.
2. Uma seq¨uˆencia que tem limite zero ´e dita infinit´esimo. Com isto o item 3. da proposi¸c˜ao acima pode ser resumido como: ”o produto de uma seq¨uˆencia que ´e um infinit´esimo por uma seq¨uˆencia limitada ´e um infinit´esimo”.
3. O item 4. da proposi¸c˜ao acima ´e conhecido como o teorema do sanduiche para seq¨uˆencias.

16 CAP´ITULO 2. SEQ U ¨ENCIAS NUM ˆ ERICAS´

Exemplo 2.3.

1. Calculemos lim n→∞

n^2

Para isto observemos que se f (x) =. (^) x^12 , x > 0 ent˜ao (^) xlim→∞ f (x) = lim x→∞

x^2

= 0. (visto no C´alculo I).

Sendo an =^.

n^2

= f (n), n ∈ N, segue, do teorema acima, que (^) nlim→∞

n^2

= lim n→∞ an =

xlim→∞ f^ (x) = 0, ou seja^ nlim→∞

n^2

1. Estudemos a convergˆencia da seq¨uˆencia (

n en^

)n∈N.

Se definirmos f (x) =.

x ex^

, x > 0 ent˜ao temos que (^) xlim→∞ f (x) = lim x→∞

x ex

( ∞∞ : L’Hˆopital)

lim x→∞

d dx x d dx e

x = lim x→∞

ex^

= 0 (o ´ultimo limite foi tratado em C´alculo I).

Sendo an =^.

n en^

= f (n), n ∈ N, segue, do teorema acima, que (^) nlim→∞

n en^

= lim n→∞ an = lim x→∞

f (x) = 0, ou seja lim n→∞

n en^

1. A seq¨uˆencia ((1 +

n

)n)n∈N ´e convergente para e (n´umero de Euler).

De fato, se considerarmos f (x) = (1 + (^1) x )x, x > 0 ent˜ao segue, do 2.o limite funda- mental, que lim x→∞

f (x) = e.

Sendo an = (1 +^. (^) n^1 )n^ = f (n), n ∈ N, segue, do teorema acima, que (^) nlim→∞(1 +

n

)n^ =

nlim→∞ an^ = lim x→∞ f^ (x) =^ e, ou seja^ nlim→∞(1 +

n

)n^ = e.

1. A seq¨uˆencia (rn)n∈N ´e convergente para 0 se 0 ≤ r < 1 e divergente se r ≥ 1. De fato, se r = 0 nada temos a fazer. Se r > 0 observamos que rn^ = en^ ln^ r, n ∈ N assim se 0 < r < 1 temos que ln r < 0 , logo a seq¨uˆencia ´e convergente para zero (pois (^) xlim→∞ ex^ ln^ r^ = 0).

Se r > 1 ent˜ao ln r > 0 logo a seq¨uˆencia ser´a divergente (pois neste caso (^) xlim→∞ ex^ ln^ r^ = ∞).

Observa¸c˜ao 2.3.

1. O resultado acima N ˜AO garante que se lim x→∞

f (x) n˜ao existe ent˜ao lim n→∞

an n˜ao existe, onde an =^. f (n), n ∈ N, como mostra o exemplo: Se f (x) = sen(πx), x ∈ R ent˜ao lim x→∞

f (x) n˜ao existe. por´em se an = f (n) = sen(πn) = 0, n ∈ N assim (^) nlim→∞ an = 0, ou seja (an)n∈N ´e convergente.

2.3. CONVERG ENCIA DE SEQ ˆ U ¨ENCIASˆ 17

1. Todos os resultados anteriores permanecem verdadeiros se substituirmos a hip´otese ”n ∈ N” por ”n ≥ N 0 ”. Por exemplo, no teorema 4.5.2 item 2. se trocarmos a hip´otese: ”an ≤ bn, n ∈ N” por ”an ≤ bn, n ≥ N 0 ” o resultado continua v´alido, isto ´e, (^) nlim→∞ an ≤ (^) nlim→∞ bn.

12.03 - 5.a

Observa¸c˜ao 2.3.8 Como vimos anteriormente toda seq¨uˆencia convergente ´e limitada, mas n˜ao vale a rec´ıproca. A quest˜ao que poder´ıamos colocar ´e: al´em de ser limitada, que propriedade(s) uma seq¨uˆencia poderia ter para que fosse convergente? A seguir introduziremos uma nova classe de seq¨uˆencias que nos ajudar˜ao a responder essa pergunta.

2.3.1 Seq¨uˆencias Mon´otonas

Defini¸c˜ao 2.3.3 Diremos que uma seq¨uˆencia (an)n∈N ´e:

1. Crescente se an+1 ≥ an para todo n ∈ N;
2. Decrescente se an+1 ≤ an para todo n ∈ N;
3. Estritamente crescente se an+1 > an para todo n ∈ N;
4. Estritamente decrescente se an+1 < an para todo n ∈ N;

Se for de um dos tipos acima ela ser´a dita mon´otona.

Exemplo 2.3.

1. A seq¨uˆencia (an)n∈N dada por an = n, n ∈ N ´e estritamente crescente (portanto mon´otona) pois an+1 = n + 1 > n = an para todo n ∈ N.
2. A seq¨uˆencia (an)n∈N dada por an =

n

, n ∈ N ´e estritamente decrescente (portanto

mon´otona) pois an+1 =

n + 1

(n+1>n) <

n

= an para todo n ∈ N.

1. A seq¨uˆencia (an)n∈N dada por an = cos(nπ), n ∈ N n˜ao ´e mon´otona (an = (−1)n, n ∈ N).
2. A seq¨uˆencia (an)n∈N dada por an =

2 n^

, n ∈ N ´e estritamente decrescente (portanto

mon´otona) pois 2 n+1^ > 2 n^ para todo n ∈ N logo an+1 =

2 n+^

2 n^

= an para todo n ∈ N.

Observa¸c˜ao 2.3.

2.3. CONVERG ENCIA DE SEQ ˆ U ¨ENCIASˆ 19

1. A seq¨uˆencia (an)n∈N dada por an =

ln(n + 2) n + 2

, n ∈ N ´e estritamente decrescente.

De fato, se considerarmos f (x) =

ln(x + 2) x + 2

, x ≥ 1 ent˜ao temos que f ′(x) = 1 x+2 (x^ + 2)^ −^ ln(x^ + 2).^1 (x + 2)^2

1 − ln(x + 2) (x + 2)^2

< 0 se x ≥ 1 (observemos que se x ≥ 1 ent˜ao x + 2 > e assim ln(x + 2) > 1 ou 1 − ln(x + 2) < 0 ). Logo, como f ′(x) < 0 para x ≥ 1 temos que f ´e estritamente decrescente implicando que (an)n∈N ´e estritamente decrescente (pois an = f (n), n ∈ N).

A seguir vamos mostrar que se uma seq¨uˆencia ´e mon´otona e limitada ent˜ao ela ser´a convergente. Para isto precisamos introduzir alguns conceitos importantes que s˜ao:

2.3.2 Supremo e ´Infimo de Seq¨uˆencias

Defini¸c˜ao 2.3.4 Seja A ⊆ R n˜ao vazio.

1. Diremos que A ´e limitado superiormente se existe c ∈ R tal que a ≤ c para todo a ∈ A. O n´umero c acima ser´a dito limitante superior do conjunto A.
2. Diremos que A ´e limitado inferiormente se existe d ∈ R tal que a ≥ d para todo a ∈ A. O n´umero d acima ser´a dito limitante inferior do conjunto A.

Vejamos os exemplos a seguir:

Exemplo 2.3.

1. Se A = (0, ∞) ent˜ao A ´e limitado inferiormente pois, por exemplo, − 1 ´e um limi- tante inferior (− 1 ≤ a , para todo a ∈ A). A n˜ao ´e limitado superiormente.
2. Se A = (− 1 , π) ∪ { 50 } ent˜ao A ´e limitado inferiormente e superiormente pois, por exemplo, − 3 ´e um limitante inferior (− 3 ≤ a , para todo a ∈ A) e 100 ´e um limitante superior (a ≤ 100 , para todo a ∈ A).

Observa¸c˜ao 2.3.

1. Seja A ⊆ R, n˜ao vazio. A ´e limitado (isto ´e, existe M ∈ R tal que |a| ≤ M , para todo a ∈ A) se, e somente se, A ´e limitado superiormente e inferiormente. De fato, A ´e limitado ent˜ao existe M ∈ R tal que |a| ≤ M , para todo a ∈ A, ou seja, −M ≤ a ≤ M , para todo a ∈ A, assim −M ´e um limitante inferior e M ´e um limitante superior, portanto A ´e limitado superiormente e inferiormente. Reciprocamente, se A ´e limitado superiormente e inferiormenteent˜ao existe c ∈ R e d ∈ R tal que d ≤ a ≤ c, para todo a ∈ A.

20 CAP´ITULO 2. SEQ U ¨ENCIAS NUM ˆ ERICAS´

Se tomarmos M = max{|c|, |d|} ent˜ao, para todo a ∈ A temos a ≤ c ≤ |c| ≤ M e a ≥ d ≤ −|d| ≤ −M , assim −M ≤ a ≤ M , para todo a ∈ A, ou seja, |a| ≤ M , para tod a ∈ A implicando que A ´e limitado.

1. No exemplo 1. acima temos que qualquer elemento do conjunto (−∞, 0] ´e um limi- tante inferior. Ou seja, existe um ”maior limitante inferior”, no caso 0. No exemplo 2. acima temos que qualquer elemento do conjunto (−∞, −1] ´e um limitante inferior e qualquer elemento do conjunto [50, ∞) ´e um limitante superior. Ou seja, existe um ”menor limitante superior”, no caso 50 e existe um ”maior limitante inferior”, no caso − 1. Tais valores, quando existirem, ser˜ao denominados ´ınfimo e supremo do conjunto. Mais claramente, temos a:

Defini¸c˜ao 2.3.5 Seja A ⊆ R, n˜ao vazio, limitado inferiormente (superiormente). Di- remos que l ∈ R ´e o ´ınfimo (supremo) do conjunto A, indicado por inf(A) (sup(A)), se:

i) l ´e um limitante inferior (superior) de A;

ii) l ´e maior (menor) com essa propriedade, isto ´e, se m ´e um limitante inferior (su- perior) de A ent˜ao m ≤ l (m ≥ l).

Observa¸c˜ao 2.3.

1. Podemos ver a defini¸c˜ao acima da seguinte maneira: l = inf(A) se, e somente se, l ´e o maior limitante inferior de A (analogamente, l = sup(A) se, e somente se, l ´e o menor limitante superior de A).
2. Temos que sup A = l (inf A = l)se, e somente se,

i) l ´e um limitante superior (inferior) de A; ii) Dado ε > 0 existe a ∈ A tal que: l − ε < a (a < l + ε).

b (^) l − ε l

a ?

1. Para a existˆencia do inf e do sup de um subconjunto da reta temos o Axioma do completamento que diz: Todo subconjunto dos n´umeros reais limitado inferior- mente (superiomente) admite ´ınfimo (supremo)”.

Exemplo 2.3.

1. Se A = [a, b] ent˜ao inf(A) = a e sup(A) = b. Observemos que neste caso inf(A) ∈ A e sup(A) ∈ A.
2. Se A = [a, b) ent˜ao inf(A) = a e sup(A) = b. Observemos que neste caso inf(A) ∈ A e sup(A) 6 ∈ A.