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Sequˆencias e S´eries Infinitas
Walner Mendon¸ca dos Santos
1 Sequˆencias
Defini¸c˜ao 1 Uma sequˆecia {an} tem limite L e escrevemos
lim n→∞
= ou an → L, quando n → ∞
se pudermos tornar os termos an t˜ao pr´oximos de L quanto quisermos ao fa- zer n suficientemente grande. Se limx→∞ an existir, dizemos que a sequˆencia converge (ou ´e convergente). Caso contr´ario, dizemos que a sequˆencia diverge (ou ´e divergente).
Uma vers˜ao mais precisa da Defini¸c˜ao 1 ´e a seguinte:
Defini¸c˜ao 2 Uma sequˆencia {an} tem limite L e escrevemos
lim n→∞ = ou an → L quando n → ∞
se, para cada > 0 , existir um inteiro correspondente N tal que
se n ≥ N, ent˜ao | an − L |<
Teorema 1 Se lim x→∞
f (x) = L e f (n) = an quando n ´e um inteiro, ent˜ao lim n→∞ an = L.
Teorema 2 (Teorema da sequˆencia mon´otona) Toda sequˆencia mon´otona ´e limitada e conergente.
2 S´eries
∑^ ∞
n=
arn^ = a + ar + ar^2 +... converge ⇔ | r |≤ 1
e nesse caso, sua soma ´e
∑^ ∞
n=
arn^ =
a 1 − r
, se | r |≤ 1
Teorema 3 Se a s´erie
n=0 an^ for conergente, ent˜ao^ limn→∞^ an^ = 0.
Color´ario 1 (Teste para divergˆencia) Se limn→∞ an n˜ao existir ou se limn→∞ an 6 = 0 , ent˜ao a s´erie
n=0 an^ ´e divergente.
2.1 Teste da Integral
Suponha f (x) cont´ınua, positiva e divergente em [1, ∞) e seja an = f (x).
a) Se
1
f (x)dx for convergente, ent˜ao
n=0 an^ ser´a convergente.
b) Se
1
f (x)dx for divergente, ent˜ao
n=0 an^ ser´a divergente.
Exemplo 1 A p-s´erie
n=
1 np^ ´e convergente se^ p >^1 e divergente se^ p^ ≤^1.
2.2 Estimando somas por meio de integrais
Suponha f (x) nas mesmas condi¸c˜oes acima e convergente. Seja Sn a soma parcial da s´erie com n elementos. Se Rn = S − Sn, ent˜ao
∫ (^) ∞
n+
f (x)dx ≤ Rn ≤
n
f (x)dx
Se somarmos Sn em cada lado dessas desigualdades, teremos:
Sn +
n+
f (x)dx ≤ S ≤ Sn +
n
f (x)dx
2.3 Teste da Compara¸c˜ao
Suponha que
an e
bn sejam s´eries com termos positivos.
a) Se
bn for convergente e an ≤ bn para todo n, ent˜ao
an tamb´em ser´a convergente.
b) Se
bn for divergente e an ≥ bn para todo n, ent˜ao
an tamb´em ser´a divergente.
3.2 Convergˆencia Absoluta
Defini¸c˜ao 3 Uma s´erie
an ´e dita absolutamente convergente se a s´erie de valores absolutos
| an | for convergente.
Defini¸c˜ao 4 Uma s´erie
an ´e dita condicionalmente convergente se ela for convergente, mas n˜ao for absolutamente convergente.
Teorema 5 Se uma s´erie
an for absolutamente convergente, ent˜ao ela ´e convergente.
3.3 Testa da Raz˜ao
(i) Se lim n→∞
an+ an
|= L < 1, ent˜ao a s´erie
an ´e absolutamente conver- gente (e portanto, convergente).
(ii) Se lim n→∞
an+ an
|= L > 1 ou se limn→∞ | an a+1n |= ∞, ent˜ao a s´erie
an ´e divergente.
(iii) Se lim n→∞
an+ an
|= 1, o Teste da Raz˜ao n˜ao ´e conclusivo.
3.4 Testa da Raiz
(i) Se lim n→∞
√ n| a n |^ =^ L <^ 1, ent˜ao a s´erie^
an ´e absolutamente conver- gente (e portanto, convergente).
(ii) Se lim n→∞
√ n| a n |^ =^ L >^ 1 ou se lim n→∞
√ n| a n |^ =^ ∞, ent˜ao a s´erie^
an ´e divergente.
(iii) Se lim n→∞
√ n| a n |^ = 1, o Teste da Raiz n˜ao ´e conclusivo.
? Obs.: Se o Teste da Raz˜ao der 1, n˜ao tente fazer o da raiz, pois este tamb´em dar´a 1. A rec´ıproca tamb´em ´e v´alida.
