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LISTA 1
Equações Diferenciais - 2020.
Definição de sequências Convergência de sequências Sequências monótonas; limitadas
Exercício 1
As seguintes sequências têm um padrão natural de continuação. Usando tal padrão determine uma fórmula para o n−ésimo termo da sequência.
(a) 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ,... (b) 99 , 199 , 299 , 399 , 499 ,...
(c) 23 , (^23) · 4 , (^34) · 5 , (^45) · 6 , (^56) · 7 ,... (d) − 12 , 25 , − 38 , 114 , − 145 ,...
Exercício 2
Verifique se as sequências são crescentes, decrescentes ou não-monótonas. Determine também se são limitadas superiormente e inferiormente.
(a)
n 2 n + 1
(b)
(−3)n n
(c)
3 n n!
para n ≥ 3
(d)
nn n!
(e)
n^2 − 1 n^2 + 1
(f)
1 − (−1)n 5
Exercício 3
(a) Toda sequência limitada tem limite? Explique. (b) Toda sequência que tem limite é limitada? Explique. (c) Toda sequência monótona é convergente? Explique. (d) Toda sequência convergente é monótona? Explique.
Exercício 4
Verifique que as sequências {an} abaixo são decrescentes e tem limitante inferior. O que você pode dizer a respeito da convergência destas sequências?
(a) an = n 3 n^ (b)^ an^ =
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) (2n)n
Exercício 5
Verifique se as sequências são convergentes ou divergentes:
(a)
en n^3
(b)
3 + 5n^2 n + n^2
(c)
sen
( (^) nπ 2
(d)
ln(n) n^2
(e)
sen(2n) 1 +
n
(f)
n n + 1
)n}
(g)
(−1)n^2
(h)
2 nn! (2n + 1)!
(i)
1 − cos(2n) 2 n
(j)
n! + n^2 2 n! + n
(k)
e^2 n (1 + 2en)^2
Exercício 6
Dados a 1 , c ∈ R e b 1 > 0 , considere as sequências (an)n≥ 1 e (bn)n≥ 1 dadas pelas relações:
(a) an+1 − an = c (b) bn+1 = c · bn.
Determine (dependendo de a 1 , b 1 e c), se as sequências (an) e (bn) são monótonas (crescente ou decrescente) e calcule, caso existam, seus limites quando n → ∞.
Exercício 7
Considere a sequência de Collatz (an) definida por a 0 = 24 e
an+1 =
{ (^) an 2 se an for par 3 an + 1 se an for ímpar
Ela é limitada? Monótona? Convergente? E se fosse a 0 = 23, que respostas mudariam?
Solução do Exercício 1
(a) an = 2n + 1 para n ≥ 0 (b) an = 99 + n · 100 para n ≥ 0
(c) an = n (n − 1)(n + 1) para n ≥ 2
(d) an = (−1)n^ n 2 + 3(n − 1) para n ≥ 1
Solução do Exercício 2
(a) Os primeiros termos da sequência são 1 3
,.... Podemos verificar que 1 3
. Isto sugere que a sequência é estritamente crescente. De fato, para todo n, n 2 n + 1
n + 1 2(n + 1) + 1 ⇐⇒ n(2n + 3) < (n + 1)(2n + 1) ⇐⇒ 2 n^2 + 3n < 2 n^2 + 3n + 1 ⇐⇒ 0 < 1
Como vale esta última desigualdade, vale a primeira, o que significa que a sequência é crescente. Agora, em relação à limitação da sequência, observamos primeiro que todos os termos da sequência são positivos ( 0 < n 2 n + 1 ). Logo ela é limitada inferiormente. Por outro lado, temos que n < 2 n + 1 para todo n. Isto implica que n 2 n + 1 <^1 para todo n. Logo a sequência é limitada superiormente.
(b) Os primeiros termos da sequência são
,.... Observamos que o termo an é maior que 0 se n é par e menor que 0 se n é ímpar. Logo a sequência não pode ser nem crescente nem decrescente. Logo ela não é monótona. Agora, chamando bn = 3 n n , note que
an = (−1)nbn
Solução do Exercício 4
(a) Os primeiros termos da sequência são
,.... Podemos verificar que
. Isto sugere que a sequência é estritamente decrescente. De fato, para todo n, n 3 n^ >
n + 1 3 n+1^ ⇐⇒^
3 n+ 3 n^ >
n + 1 n ⇐⇒^3 >
n + 1 n ⇐⇒^3 n > n^ + 1^ ⇐⇒^2 n >^1 Como vale esta última desigualdade, vale a primeira, o que significa que a sequência é decrescente. Por outro lado, todos os termos da sequência são positivos, logo a sequência é limitada inferiormente. Pelo teorema da sequência monótona, temos que a sequência {an}é convergente. (b) Vamos entender primeiro como estão definidos os termos de esta sequência. Lembremos que
an = 1 · 3 · 5 ·... (2n − 1) (2n)n
No numerador aparecem multiplicados os primeiros números ímpares, começando desde 1 até 2 n − 1. Para n = 1, 2 n − 1 = 2 · 1 − 1 = 1, portanto na fórmula acima, no numerador só vai ter o termo 1. Não vai aparecer nem 3 nem 5 nem nenhum outro número ímpar. Portanto, segundo a fórmula de an,
a 1 =
Para n = 2, 2 n − 1 = 2 · 2 − 1 = 3, portanto na fórmula acima, no numerador só vai ter o produto de 1 e de 3. Não vai aparecer nem 5 nem nenhum outro número ímpar. Portanto, segundo a fórmula de an,
a 2 =
Para n = 3, 2 n − 1 = 2 · 3 − 1 = 5, portanto na fórmula acima, no numerador só vai ter o produto de 1, de 3 e de 5. Não vai aparecer nenhum outro número ímpar. Portanto, segundo a fórmula de an,
a 3 =^1 ·^3 ·^5 63 E desta mesma maneira podemos determinar todos os termos da sequência. Podemos verificar facilmente que vale a 1 > a 2 > a 3. O termo n + 1−ésimo da sequência é
an+1 =
- · · · (2n − 1) · (2(n + 1) − 1) ((2(n + 1))n+^
- · · · (2n − 1) · (2n + 1) 2 n+1(n + 1)n(n + 1) Então
an+1 < an ⇐⇒ 1.^3.^5.^ · · ·^ (2n^ −^ 1)^ ·^ (2n^ + 1) 2 n+1(n + 1)n(n + 1) < 1.^3.^5.^ · · ·^ (2n^ −^ 1) 2 n(n)n ⇐⇒
- · · · (2n − 1) · (2n + 1)2nnn
- · · · (2n − 1)2n+1(n + 1)n(n + 1)
(2n + 1) 2(n + 1)
nn (n + 1)n^
2 n + 1 2 n + 2
n n + 1
)n < 1
E esta última desigualdade vale porque 2 n + 1 2 n + 2 < 1 e n n + 1 < 1 (se n n + 1 < 1 , então
n n+
)n < 1 ). Portanto a sequência é decrescente. Como todos os termos da sequência são positivos, a sequência é limitada inferiormente. Pelo teorema da sequência monótona, temos que a sequência {an}é convergente.
Solução do Exercício 5
(a) Observe que se trata de uma indeterminação do tipo " ∞∞ ". Portanto, podemo usar a regra de L’Hôpital obtendo que
n^ lim→∞
en n^3 = (^) nlim→∞ en 3 n^2 Usando a regra de L’Hôpital mais duas vezes temos que
n^ lim→∞
en n^3 = (^) nlim→∞ en 3 n^2 = (^) nlim→∞ en 3 · 2 n = (^) nlim→∞ en 3 · 2 · 1
Assim a sequência diverge. (b) Dividindo numerador e denominador pela maior potência que aparece no denominador, temos
n^ lim→∞
3 + 5n^2 n + n^2 = (^) nlim→∞
n^2
1 n + 1^
pois (^) nlim→∞
n^2 = (^) nlim→∞
n
(c) sen(0) = 0, sen(π/2) = 1, sen(π) = 0, sen(3π/2) = − 1 · e sen(θ + 2π) = sen(θ). Portanto, a sequência vai repetindo os valores 0 , 1 , − 1. Desta forma a sequencia não converge. (d) ln( n 2 n )é uma indeterminação do tipo " ∞∞ ". Assim podemos usar a regra de L’Hôpital:
n^ lim→∞
ln(n) n^2 = (^) nlim→∞
1 n 2 n = (^) nlim→∞
2 n^2
Portanto, a sequência é convergênte. (e) Observe primeiro que para todo n ∈ N vale
− 1 ≤ sen(2n) ≤ 1
e então − 1 1 +
n
sen(2n) 1 +
n
n
Agora, (^) nlim→∞^ −^1 1 +
n = 0 e (^) nlim→∞^1 1 +
n = 0. Então pelo teorema do Confronto, temos que
n^ lim→∞
sen(2n) 1 +
n
(f) Os termos da sequência do exercício são f (n), onde f (x) =
x x + 1
)x
. Vamos estudar o comportamento de f (x), quando x vai para infinito, pois se limx→∞ f (x) existir, então limx→∞ f (x) = limn→∞ f (n). Para calcular limx→∞ f (x), vamos reescrever f (x),
f (x) = e
x ln
x x + 1
Agora, escrito assim, para calcular limx→∞ f (x) é suficiente calcular o limite do expoente que aparece na expressão de f (x).
x^ lim→∞ x^ ln
x x + 1
é uma indeterminação do tipo ∞· 0. Como queremos usar L’Hôspital, vamos reescrever esta expressão e calcular o limite da seguinte maneira
x^ lim→∞ x^ ln
x x + 1
= (^) xlim→∞
ln
x x+
1 x
︸︷︷︸^ =
Aplicando l’Hõspital x^ lim→∞
x+ x
1 (x+1)^2 − (^) x^12 = (^) xlim→∞ − x x + 1
Aplicando l’Hõspital
(b) Observe que bn+1 = c · bn = c^2 · bn− 1 = · · · = cnb 1.
Se |c| < 1 , temos que limn→∞ cn^ = 0. Se 0 ≤ c < 1 = 0, a sequência (bn)n≥ 1 é decrescente e limn→∞ bn =
- Se − 1 < c < 0 , a sequência não é monótona, pois vai alternando valores positivos e negativos. Mas ainda vale neste caso que limn→∞ bn = 0. Para estudar o caso |c| ≥ 1 devemos dividir em mais casos: Caso c = 1 temos que bn+1 = b 1 para todo n ∈ N. Assim a sequência é constante e como antes, é monótona e o limite é o valor b 1. Caso c > 1 temos que limn→∞ cn^ = ∞ e assim (bn)n é crescente e limn→∞ bn = ∞. Caso c ≤ − 1 temos que não existe limite de cn^ (e portanto não existe limite de {bn}) pois a sequência oscila entre valores positivos e negativos. Neste caso a sequência não é monótona.
Solução do Exercício 7
Iniciando por 24 , a sequência seria 24 , 12 , 6 , 3 , 10 , 5 , 16 , 8 , 4 , 2 , 1 , 4 , 2 , 1 , 4 , 2 , 1 , ... entrando no loop “4-2-1 ”. Por- tanto ela é limitada (entre 1 e 24 ), mas não é monótona nem convergente. Iniciando por 23 , agora temos 23 , 70 , 35 , 106 , 53 , 160 , 80 , 40 , 20 , 10 , 5 , ... e a partir daqui ela fica idêntica à sequên- cia anterior a partir do 5. Portanto novamente ela é limitada (entre 1 e 160 ), mas não é monótona nem convergente. Curiosidade: a conjectura de Collatz diz que, qualquer que seja a 0 natural positivo, esta sequência mais cedo ou mais tarde recai no loop “4-2-1”. A conjectura foi confirmada computacionalmente para todos os valores de a 0 até 268 , mas sua veracidade ainda é um problema em aberto na Matematica (vide https: //en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture).
