Sequências e Séries Infinitas, Slides de Cálculo Numérico

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Prof. Welber Faustino

Cálculo IV

Sequências

e

Séries Infinitas

Sequências de Números Reais

A partir da Figura 1 ou 2 vemos que os termos da sequência

estão se aproximando de 1 quando 𝑛 se torna grande. Indicamos

isso escrevendo

lim

𝑛→∞

A única diferença entre lim

𝑛→∞

𝑛

= 𝐿 e lim

𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 é que 𝑛

precisa ser um inteiro positivo.

Propriedades do Limite de Sequências:

Sequências de Números Reais

Exemplo 2. Encontre lim

𝑛→∞

𝑛

𝑛+ 1

.

Sequências de Números Reais

Exemplo 4. Calcule lim

𝑛→∞

ln 𝑛

𝑛

.

Séries Infinitas

Uma série infinita é a soma de uma sequência infinita

𝑛 𝑛= 1

∞

de números.

1

2

3

𝑛

Esta soma é denotada por

𝑛= 1

∞

𝑛

Nosso objetivo será compreender o significado desta soma

infinita e desenvolver métodos para calculá-la.

Como há um número infinito de termos a serem somados

em sequências infinitas, não podemos simplesmente somar

repetidamente para ver o que acontece. Em vez disso,

observamos o resultado da soma dos 𝑛 primeiros termos da

sequência e paramos. A soma dos 𝑛 primeiros termos de

𝑛

1

2

3

𝑛

é uma soma finita ordinária e pode ser calculada por adição

normal. É chamada de n-ésima soma parcial.

Por exemplo, para atribuirmos significado a uma expressão

como

𝑛

adicionamos os termos um a um a partir do início e

buscamos um padrão para o crescimento dessas somas

parciais.

A tabela mostra que, quando adicionamos mais e mais

termos, essas somas parciais se tornam cada vez mais

próximas de 1. Logo, parece razoável dizer que a soma

dessa série infinita é 1 e escrever

𝑛= 1

∞

𝑛

𝑛

Séries Infinitas

Exemplo 5. Mostre que

𝑛= 1

∞

𝑛

𝑛

Vamos construir a sequência das somas parciais 𝑠

𝑛

e

verificar que lim

𝑛→∞

𝑛

1

2

2

3

3

4

4

e, em geral, obtemos

𝑛

𝑛

𝑛

Veja que a sequência das somas parciais converge para 1 ,

pois

lim

𝑛→∞

𝑛

Logo,

𝑛= 1

∞

𝑛

𝑛

Séries Infinitas

Séries Geométricas

Séries geométricas são séries da forma

2

3

𝑛− 1

𝑛= 1

∞

𝑛− 1

Cada termo é obtido a partir do anterior, multiplicando-se

pela razão comum 𝑟.

Se 𝑟 = 1 , a n-ésima soma parcial da série geométrica é

𝑛

2

3

𝑛− 1

e a série diverge pois lim

𝑛→∞

𝑛

= ±∞, dependendo do sinal de

Se 𝑟 ≠ 1 , podemos determinar a convergência ou

divergência da série da seguinte maneira:

𝑛

2

3

𝑛− 1

e

𝑛

2

3

4

𝑛

Subtraindo essas duas equações, obtemos

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

Se 𝑟 < 1 , então 𝑟

𝑛

→ 0 quando 𝑛 → ∞ e, assim,

𝑛

Então, quando 𝑟 < 1 , a série geométrica é convergente, e

sua soma é

Se 𝑟 ≤ − 1 ou 𝑟 > 1 , a sequência é divergente e,

portanto, lim

𝑛→∞

𝑛

não existe. Logo, a série geométrica

diverge nesses casos.

Séries Infinitas

Exemplo 7. A série

σ

𝑛= 1

∞

2 𝑛

1 −𝑛

é convergente ou divergente?

Séries Infinitas

Exemplo 8. Calcule a soma da série

σ

𝑛= 0

∞

(− 1 )

𝑛

5

4

𝑛

Séries Infinitas

Exemplo 9. Mostre que a série σ

𝑛= 1

∞

𝑛

2

5 𝑛

2

• 4

diverge.

Séries Infinitas

Exemplo 10. Encontre a soma da série σ

𝑛= 1

∞

3

𝑛− 1

− 1

6

𝑛− 1

.