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Introdução a análise de sinais e convoluções
Tipologia: Slides
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Faculdade de Engenharia El´etrica e de Computa¸c˜ao Universidade Estadual de Campinas
Sinais Cont´ınuos e Convolu¸c˜ao
Defini¸c˜ao 1 (Sinais Cont´ınuos) Um sinal cont´ınuo, denotado x(t), ´e uma fun¸c˜ao (real ou complexa) cujo dom´ınio ´e o conjunto dos reais R.
Defini¸c˜ao 2 (Degrau Unit´ario)
u∆(t) =
0 , t ≤ 0
(1/∆)t , 0 < t ≤ ∆
1 , t > ∆
⇒ u(t) = lim ∆→ 0 +^
u∆(t) =
u(t) = 0, t ≤ 0
u(t) = 1, t > 0
Note que
u(0) = 0 ; u(0+) = lim t→ 0 +^
u(t) = 1
Impulso Unit´ario II
Os sinais u∆(t) e δ∆(t) s˜ao mostrados na Figura 1.
t t
u∆(t)^ δ∆(t)
Integral com Impulso
Propriedade 1 (Integral com Impulso)
∫ (^) +∞
−∞
f (t) δ (t)dt = f (0) , ∀ f (t) cont´ınua em t = 0
Prova: I =
∫ (^) +∞
−∞
f (t) δ (t)dt = lim ∆→ 0 +
∫ (^) +∞
−∞
f (t) δ∆(t)dt = lim ∆→ 0 +
∫ (^) ∆
0
f (t)dt
Pelo teorema do valor m´edio, tem-se ∫ (^) b
a
f (t)dt = f (c)(b − a) , c ∈ (a, b), e, portanto,
I = lim ∆→ 0 +
f (y )(∆ − 0) , y ∈ (0, ∆) ⇒ I = lim ∆ → 0 + y ∈ (0, ∆)
f (y ) = f (0)
A fun¸c˜ao impulso n˜ao pode ser calculada pontualmente. Apenas integrais envolvendo δ (t) podem ser avaliadas. Como conseq¨uˆencia f (t) δ (t) = f (0) δ (t) pois ambas tˆem o mesmo valor da integral.
Integral com Impulso Deslocado II
Exemplo 1. Usando as propriedades do impulso, tem-se:
∫ (^) +∞
−∞
(2t^2 + 3) δ (t)dt = 3
∫ (^) +∞
−∞
(2t^2 + 3) δ (−t)dt = 3
∫ (^) +∞
−∞
(2t + 3) δ (t + 1)dt = 1
∫ (^) +∞
−∞
δ (2t)dt =
∫ (^) +∞
−∞
δ ( β )d β =
∫ (^) +∞
−∞
(2t^2 + 3) δ (2t)dt =
Exemplo I
Exemplo 1. A fun¸c˜ao u(t) (degrau unit´ario) pode ser usada na defini¸c˜ao de outras fun¸c˜oes.
A fun¸c˜ao gate GT (t), T > 0, pode ser descrita como
GT (t) = u(t + T /2) − u(t − T /2) =
+1 , | t |<
0 , | t |>
Note que u(t + T /2) corresponde a deslocar para a esquerda a fun¸c˜ao u(t) de T /2.
Para esbo¸car x(at + b), primeiro desloque x(t) para a direita se b < 0 (ou para a esquerda, se b > 0) de acordo com o valor de b, e depois fa¸ca o escalonamento no tempo de acordo com o valor de a. Se |a| > 1, trata-se de compress˜ao, e se |a| < 1, de expans˜ao. Ocorre uma revers˜ao se a < 0.
Exemplo 1.
Os esbo¸cos do sinal
x(t) = (t + 1)
u(t + 1) − u(t)
u(t) − u(t − 1)
e de ˙x(t) =
d dt
x(t) s˜ao mostrados na Figura.
x(t)
x˙(t)
t
t
f (t) (^) y (t)
t t
Fun¸c˜ao Par e Fun¸c˜ao ´Impar
Defini¸c˜ao 4 (Fun¸c˜ao Par e Fun¸c˜ao ´Impar)
x(t) = x(−t) ´e par , x(t) = −x(−t) ´e ´ımpar
Exemplo 1. As fun¸c˜oes cos(t), sen^2 (t) s˜ao pares e as fun¸c˜oes sen(t), cos(t)sen(t) s˜ao ´ımpares. Note que qualquer fun¸c˜ao x(t) pode ser decomposta em parcelas xp (t) par e xi (t) ´ımpar, isto ´e
x(t) = xp (t) + xi (t) , xp (t) =
x(t) + x(−t)
, xi (t) =
x(t) − x(−t)
A Figura ilustra a rela¸c˜ao entre uma entrada x(t) e sua integral y (t).
x(t) (^) y (t)
t t
Exemplo
Exemplo 1.
Denotando a m-´esima derivada de y (t) por y (m), a equa¸c˜ao diferencial
y (m)^ + αm− 1 y (m−1)^ + · · · + α 1 y˙ + α 0 y = βℓx(ℓ)^ + βℓ− 1 x(ℓ−1)^ + · · · + β 1 x˙ + β 0 x descreve um sistema cont´ınuo de ordem m.
Definindo o operador simb´olico p
p =
d dt
, p^2 =
d^2 dt^2
tem-se
D(p)y (t) = N(p)x(t) , D(p) =
m ∑ k=
αk pk^ ; N(p) =
ℓ ∑ k=
βk pk
com αm = 1. Neste caso, D(p) ´e um polinˆomio mˆonico.
Exemplo
Exemplo 1.
Considere um pˆendulo composto por uma haste r´ıgida sem peso, de comprimento ℓ, oscilando em um plano vertical, sujeito ao atrito de fric¸c˜ao no engate e sustentando na extremidade livre uma massa m. Denotando por y o ˆangulo com a vertical (em repouso, y = 0), tem-se a equa¸c˜ao do movimento angular
mℓ¨y = −mg sen(y ) − mb y˙ sendo g a acelera¸c˜ao da gravidade e b o coeficiente de atrito. A for¸ca longitudinal na barra ´e dada por mg cos(y ). Trata-se de um sistema n˜ao-linear, pois o seno da soma n˜ao ´e a soma dos senos. Para pequenas varia¸c˜oes em torno do ponto de equil´ıbrio y = 0, ˙y = 0 tem-se sen(y ) ≈ y , resultando na equa¸c˜ao diferencial linear
mℓ¨y = −mgy − mb y˙
Invariante no Tempo
Defini¸c˜ao 7 (Invariante no Tempo) Um sistema ´e invariante no tempo se um deslocamento da entrada produzir igual deslocamento na sa´ıda, isto ´e,
y (t − a) = G {x(t − a)} para qualquer a real.
Exemplo 1. O integrador do Exemplo 1.5 e o sistema descrito pela equa¸c˜ao diferencial do Exemplo 1.6 com coeficientes constantes s˜ao sistemas lineares invariantes no tempo, pois
y (t) =
∫ (^) t
−∞
x( β )d β ⇒
∫ (^) t
−∞
x( β − a)d β =
∫ (^) t−a
−∞
x( β )d β = y (t − a)
e
D(p)y (t) = N(p)x(t) ⇒ D(p)y (t − a) = N(p)x(t − a)
