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Em processamento de sinais, amostragem é a transformação de um sinal contínuo em um sinal discreto. Um exemplo comum é a conversão de uma onda sonora (sinal contínuo) para uma seqüência de amostras (valores medidos em um conjunto finito de instantes de tempo).
Tipologia: Notas de aula
1 / 20
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1. Usando o MATLAB, elabore o gráfico da função definida por
Então trace as funções 3𝑔(𝑡 + 1) ,
1
2
𝑡−
2
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜
2. Para o sinal 𝑥(𝑡) mostrado na figura abaixo, trace os seguintes sinais:
(a) 𝑥(−𝑡)
(b) 𝑥(𝑡 + 6)
(c) 𝑥(3𝑡)
(d) 𝑥(𝑡/2)
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜
4. Simplifique as seguintes expressões
(a)
sen 𝑡
2
(d) (
sen [
2
(b)
2
) (e) (
(c)
−𝑡
cos
) (f)
(
sen 𝑘𝜔
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜
(a)
sen 𝑡
2
sen 0
2
(b)
2
2
(c)
−𝑡
cos(3𝑡 − 60°)]𝛿(𝑡) = [𝑒
0
cos(0 − 60°)]𝛿(𝑡) = 0,5 𝛿(𝑡)
(d)
sen [
2
sen [
2
(e)
2
2
∠ tan
−
= √13/13∠ tan
−
(f)
sen 𝑘𝜔
) 𝛿(𝜔) = lim
𝜔→
sen 𝑘𝜔
𝛿(𝜔) = 𝑘 lim
𝜔→
sen 𝑘𝜔
5. Calcule as seguintes integrais
(a)
∞
−∞
(e) ∫ 𝛿
−𝑡
∞
−∞
(b)
∞
−∞
(f) ∫
3
∞
−∞
(c)
−𝑗𝜔𝑡
∞
−∞
(g) ∫ 𝑥
∞
−∞
(d)
sen 𝜋𝑡 𝑑𝑡
∞
−∞
(h) ∫ 𝑒
( 𝑥− 1
)
cos [
∞
−∞
3
2
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜
(a)
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
(b)
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
(c)
−𝑗𝜔𝑡
∞
−∞
0
∞
−∞
(d)
∫ 𝛿(2𝑡 − 3) sen 𝜋𝑡 𝑑𝑡
∞
−∞
= sen (
∞
−∞
(e)
−𝑡
∞
−∞
−(−3)
∞
−∞
3
6. Existem diversas propriedades úteis relacionadas a sinais de energia. Prove cada uma das seguintes afirmativas.
Em cada caso, considere um sinal de energia 𝑥
1
(𝑡) com energia 𝐸[𝑥
1
e um sinal de energia 𝑥
2
(𝑡) com energia
2
(𝑡)] , e considere 𝑇 uma constante real, não nula, finita.
(i) Prove que 𝐸[𝑇𝑥
1
2
1
(𝑡)]. Ou seja, o escalamento da amplitude de um sinal por uma constante 𝑇
escalona a energia do sinal por 𝑇
2
(ii) Prove que 𝐸[𝑥
1
1
(𝑡 − 𝑇)]. Ou seja, o deslocamento de um sinal não afeta sua energia.
(iii) Se
1
2
e
2
1
, então prove que 𝐸[𝑥
1
2
1
2
(𝑡)]. Ou seja, a energia da soma de dois sinais que não se sobrepõem é a soma das duas
energia individuais.
(iv) Prove que 𝐸[𝑥
1
1
(𝑡)]. Ou seja, o escalamento temporal de um sinal por 𝑇 escalona,
reciprocamente, a enegia do sinal por 1/|𝑇|.
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜
(i) Por definição, temos que:
1
1
2
∞
−∞
2
1
2
∞
−∞
2
1
(ii) Seguindo a mesma analogia, temos que:
1
1
2
∞
−∞
1
1
2
∞
−∞
1
onde 𝜏 é uma variável de tempo qualquer, assim como 𝑡.
(iii) Da definição:
1
2
1
2
2
∞
−∞
1
2
1
2
2
2
∞
−∞
como (𝑥
1
2
(𝑡) = 0) e (𝑥
2
1
(𝑡) = 0), temos que |𝑥
1
2
(𝑡)| = 0, logo:
1
2
1
2
2
2
∞
−∞
1
2
∞
−∞
2
2
∞
−∞
1
2
(iv) Seguindo a mesma analogia de (ii):
1
1
2
∞
−∞
1
2
±∞
∓∞
1
2
∞
−∞
1
onde 𝜏 é uma variável de tempo qualquer, assim como 𝑡.
7. Dado 𝑥
1
2
(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡) e 𝑥
3
1
2
(a) Determine os períodos fundamentais 𝑇
1
e 𝑇
2
dos sinais 𝑥
1
(𝑡) e 𝑥
2
(b) Mostre que 𝑥
3
(𝑡) não é periódico, o que requer 𝑇
3
1
1
2
2
para algum inteiro 𝑘
1
e 𝑘
2
(c) Determine as potências 𝑃
𝑥
1
𝑥
2
e 𝑃
𝑥
3
dos sinais 𝑥
1
2
(𝑡) e 𝑥
3
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜
(a) O período fundamental 𝑇
0
de uma função é definido como o menor período que possui a informação de
repetição da função, ou seja, onde a função se repete para múltiplos desse período. Matematicamente:
0
Assim, por definição:
1
(𝑡) = cos(𝑡) = cos(𝑡 + 2𝜋) ⇒ 𝑇
1
e:
2
(𝑡) = sen(𝜋𝑡) = sen(𝜋𝑡 + 2𝜋) = sen(𝜋(𝑡 + 2)) ⇒ 𝑇
2
(b) Supondo que 𝑥
3
(𝑡) seja periódica, teríamos:
3
3
3
1
2
1
3
2
3
Logo, o período fundamental 𝑇
3
deve se relacionar com 𝑇
1
e 𝑇
2
obedecendo a seguinte equação:
1
2
1
1
1
2
2
2
3
1
1
2
2
para algum 𝑘
1
e 𝑘
2
inteiros, pois, da definição, o período fundamental deve ser um valor mínimo, neste
caso, que seja o menor múltiplo entre os dois. Ou seja, 𝑘
1
2
deve ser um número racional.
No entanto, temos que:
1
2
é número irracional. Logo, não há 𝑇
3
que satisfaça a relação, o que conclui que 𝑥
3
(𝑡) não é periódica.
(c) A potência de um sinal periódico é definida como 𝑃
𝑥
1
𝑇
0
2
𝑇
0
/
−𝑇
0
/
. Logo:
𝑥
1
0
∫ cos
2
𝑇 0
/
−𝑇
0
/
0
1 + cos(2𝑡)
𝑇 0
/
−𝑇
0
/
0
sen(2𝑡)) |
𝑇
0
/
−𝑇
0
/
0
0
𝑥
2
0
∫ sen
2
𝑇 0
/
−𝑇 0
/
0
1 − cos(2𝜋𝑡)
𝑇 0
/
−𝑇 0
/
0
sen(2𝜋𝑡)) |
𝑇
0
/
−𝑇
0
/
0
0
8. Calcule a energia dos seguintes sinais. Comente sobre os efeitos, no cálculo da energia, da mudança de sinal,
deslocamento temporal ou alteração na amplitude do sinal. Qual seria o efeito de se multiplicar o sinal por 𝑘?
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜
Qualquer deslocamento temporal por 𝑇 ou mudança de sinal por (−1)
𝑛
não afeta o resultado da energia:
𝑥
𝑛
2
∞
−∞
; 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟 𝑜𝑢 í𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑥
𝑛
2
2
𝑡
𝑓
𝑡
𝑖
𝑥
2
𝑡
𝑓
+𝑇
𝑡
𝑖
+𝑇
𝑥
𝑡
𝑓
𝑡
𝑖
onde 𝐹
𝑥
(𝑡) é a primitiva de |𝑥(𝑡)|
2
e 𝑡
𝑖
e 𝑡
𝑓
são os limites inferior e superior de integração da função não
deslocada.
Por outro lado, uma mudança na amplitude da função por uma constante 𝑘 altera diretamente o resultado
da energia por
2
𝑘𝑥
2
∞
−∞
𝑘𝑥
2
2
𝑡
𝑓
𝑡
𝑖
2
𝑥
Logo, para a função dada, temos:
𝑥
2
1
0
𝑘𝑥
2
9. Calcule a potência do sinal abaixo. Calcule também para:
(a) −𝑓(𝑡)
(b) 2𝑓(𝑡)
(c) 𝑘𝑓(𝑡)
2
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜
A potência do sinal 𝑓(𝑡) dado é calculada por:
𝑓
0
3
2
𝑇
0
/
−𝑇 0
/
𝑓
7
0
𝑇
0
/
−𝑇
0
/
𝑓
0
0
7
𝑓
0
6
𝑓
6
Similarmente ao provado no exercício 8, temos que:
𝑘𝑓
0
2
𝑇 0
/
−𝑇
0
/
2
𝑓
Logo:
a) 𝑃
−𝑓
2
64
7
64
7
b) 𝑃
2𝑓
2
64
7
256
7
c) 𝑃
𝑘𝑓
2
64
7
64𝑘
2
7
11. Escreva os seguintes números na forma polar:
(a)
1 + 𝑗 (d) 𝑒
𝑗𝜋/ 4
−𝑗𝜋/ 4
(b)
− 4 + 𝑗 3 (e) 𝑒
𝑗
(c)
) (f) ( 1 + 𝑗
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜
(a) 1 + 𝑗 = √
2
2
∠ tan
−
(b) −4 + 𝑗3 = √
2
2
∠ tan
−
(c)
(d) 𝑒
𝑗𝜋/
−𝑗𝜋/
= [cos(𝜋/4) + 𝑗 sen(𝜋/4)] + 2[cos(𝜋/4) − 𝑗 sen(𝜋/4)] = (3 − 𝑗) sen(𝜋/4) =
2
2
∠ tan
−
(e) 𝑒
𝑗
2
2
1 ∠ tan
−
sen 1
1+cos 1
(f) (1 + 𝑗)/(−4 + 𝑗3) ≈ (√2∠45°)/(5∠ − 36,87°) = √2/5∠45° + 36,87° = 0,2√2∠81,87°
12. Para as constantes complexas arbitrárias 𝜔
1
e 𝜔
2
, verifique se as seguintes igualdades são verdadeiras ou falas
(a)
Re(𝑗𝜔
1
) = −Im(𝜔
1
) (d) Im(𝜔
1
) + Im(𝜔
2
) = Im(𝜔
1
2
(b)
Re(𝑗𝜔
1
) = Re(𝜔
1
) (e) Re
1
Re
2
= Re
1
2
(c)
Re
1
2
= Re
1
2
) (f) Im
1
/Im
2
= Im
1
2
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜
Sendo 𝜔
1
1
1
e 𝜔
2
2
2
(a) Re(𝑗𝜔
1
) = Re(𝑗(𝑎
1
1
)) = Re(−𝑏
1
1
1
= −Im(𝜔
1
(b) Re(𝑗𝜔
1
1
1
= Re(𝜔
1
(c) Re(𝜔
1
) + Re(𝜔
2
) = Re(𝑎
1
1
) + Re(𝑎
2
2
1
2
= Re[(𝑎
1
1
2
2
)] = Re(𝜔
1
2
(d) Im(𝜔
1
) + Im(𝜔
2
) = Im(𝑎
1
1
) + Im(𝑎
2
2
1
2
) = Im[(𝑎
1
1
2
2
)] = Im(𝜔
1
2
(e) Re(𝜔
1
)Re(𝜔
2
) = Re(𝑎
1
1
)Re(𝑎
2
2
1
2
1
2
1
2
= Re[(𝑎
1
1
2
2
)] = Re(𝜔
1
2
(f)
Im(𝜔
1
)
Im(𝜔
2
)
Im(𝑎
1
+𝑗𝑏
1
)
Im(𝑎
2
+𝑗𝑏
2
)
𝑗𝑏
1
𝑗𝑏
2
𝑏
1
𝑏
2
𝑎
2
𝑏
1
−𝑎
1
𝑏
2
𝑎
2
2
−𝑏
2
2
= Im [
(𝑎
1
𝑎
2
+𝑏
1
𝑏
2
)+𝑗(𝑎
2
𝑏
1
−𝑎
1
𝑏
2
)
𝑎
2
2
−𝑏
2
2
] = Im [
(𝑎
1
+𝑗𝑏
1
)(𝑎
2
−𝑗𝑏
2
)
(𝑎
2
+𝑗𝑏
2
)(𝑎
2
−𝑗𝑏
2
)
Im [
𝑎
1
+𝑗𝑏
1
𝑎
2
+𝑗𝑏
2
] = Im (
𝜔
1
𝜔
2
14. Calcule o período fundamental e a frequência fundamental para cada uma dessas funções.
(a)
𝑔(𝑡) = 10 cos( 50 𝜋𝑡) (c) 𝑔(𝑡) = cos( 50 𝜋𝑡) + sen( 15 𝜋𝑡)
(b)
𝑔(𝑡) = 10 cos( 50 𝜋𝑡 + 𝜋/ 4 ) (d) 𝑔(𝑡) = cos( 2 𝜋𝑡) + sen( 3 𝜋𝑡) + cos( 5 𝜋𝑡 − 3 𝜋/ 4 )
(R.: 2 s ; 1/25 s ; 2,5 Hz ; 1/25 s ; 1/2 Hz ; 0,4 s ; 25 Hz ; 25 Hz )
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜
(a) 𝑇
0
2𝜋
50𝜋
1
25
s = 0,04 s
0
0
= 25 Hz
(b) 𝑇
0
2𝜋
50𝜋
1
25
s = 0,04 s
0
= 25 Hz
(c) 𝑇
0
50
mdc(50,15)
2𝜋
50𝜋
15
mdc(50,15)
2𝜋
15𝜋
= 0,4 s
0
= 2,5 Hz
(d) 𝑇
0
2
mdc(2,3,5)
2𝜋
2𝜋
3
mdc(2,3,5)
2𝜋
3𝜋
5
mdc(2,3,5)
2𝜋
5𝜋
= 2 s
0
Hz
15. Se 𝑔(𝑡) = 7𝑒
−2𝑡−
, escreva por extenso e simplifique:
(a)
𝑔( 3 ) (d) 𝑔(𝑗𝑡)
(b)
) (e)
(c)
𝑔((𝑡/ 10 ) + 4 ) (f)
(R.: 7 cos(𝑡) ; 7𝑒
−7+2𝑡
−𝑗2𝑡−
−(𝑡/5)−
−
cos(2𝑡) ; 7𝑒
−
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜
(a) 𝑔(3) = 7𝑒
−2·3−
−
(b) 𝑔(2 − 𝑡) = 7𝑒
−2(2−𝑡)−
−7+2𝑡
(c) 𝑔((𝑡/10) + 4) = 7𝑒
−2((𝑡/10)+4)−
−(𝑡/5)−
(d) 𝑔(𝑗𝑡) = 7𝑒
−𝑗2𝑡−
(e)
𝑔(𝑗𝑡)+𝑔(−𝑗𝑡)
2
7𝑒
−2(𝑗𝑡)−
+7𝑒
−2(−𝑗𝑡)−
2
−
𝑒
−𝑗2𝑡
+𝑒
𝑗2𝑡
2
−
cos(2𝑡)
(f)
𝑔((𝑗𝑡−3)/2)+𝑔((−𝑗𝑡−3)/2)
2
7𝑒
−2((𝑗𝑡−3)/2)−
+7𝑒
−2((−𝑗𝑡−3)/2)−
2
𝑒
−𝑗𝑡
+𝑒
𝑗𝑡
2
) = 7 cos(𝑡)
17. Determine as componentes par e ímpar das seguintes funções:
(a)
2
− 3 𝑡 + 6 (d) 𝑔(𝑡) = 𝑡( 2 − 𝑡
2
2
(b)
𝑔(𝑡) = 20 cos( 40 𝜋𝑡 − 𝜋/ 4 ) (e) 𝑔(𝑡) = 𝑡( 2 − 𝑡)( 1 + 4 𝑡)
(c)
2
2
; (20/√2) cos(40𝜋𝑡) ; 0 ; −𝑡
2𝑡
2
1−𝑡
2
2
; (20/√2) sen(40𝜋𝑡) ; 2𝑡
2
2
2
6+5𝑡
2
1−𝑡
2
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜
Todo sinal, seja ou não seja par/ímpar, pode ser decomposta em uma soma de sua par com sua parte ímpar:
𝑝
𝑖
onde 𝑥
𝑝
𝑝
(−𝑡) é uma função par e 𝑥
𝑖
𝑖
(−𝑡) é uma função ímpar. Logo:
𝑝
𝑖
Somando a primeira equação com essa última e subtraindo-as, temos que:
𝑝
𝑖
(a) 𝑔
𝑝
1
2
1
2
2
2
2
𝑖
1
2
1
2
2
2
(b) 𝑔
𝑝
1
2
[(20 cos(40𝜋𝑡 − 𝜋/4)) + (20 cos(−40𝜋𝑡 − 𝜋/4))] = 20 cos(40𝜋𝑡) cos (
𝜋
4
20
√
cos(40𝜋𝑡)
𝑖
1
2
[(20 cos(40𝜋𝑡 − 𝜋/4)) − (20 cos(−40𝜋𝑡 − 𝜋/4))] = 20 sen(40𝜋𝑡) cos (
𝜋
4
20
√
sen(40𝜋𝑡)
(c) 𝑔
𝑝
1
2
2𝑡
2
−3𝑡+
1+𝑡
2𝑡
2
+3𝑡+
1−𝑡
1
2
(−2𝑡
3
+5𝑡
2
−9𝑡+6)+(2𝑡
3
+5𝑡
2
+9𝑡+6)
1−𝑡
2
5𝑡
2
1−𝑡
2
𝑖
1
2
2𝑡
2
−3𝑡+
1+𝑡
2𝑡
2
+3𝑡+
1−𝑡
1
2
(−2𝑡
3
+5𝑡
2
−9𝑡+6)−(2𝑡
3
+5𝑡
2
+9𝑡+6)
1−𝑡
2
2𝑡
2
1−𝑡
2
(d) 𝑔
𝑝
1
2
2
2
2
2
𝑖
1
2
2
2
2
2
2
2
20 [cos ( 40 𝜋𝑡 −
𝜋
4
) + cos (− 40 𝜋𝑡 −
𝜋
4
)] =
= 20 {[cos( 40 𝜋𝑡) cos (
𝜋
4
) + sen( 40 𝜋𝑡) sen (
𝜋
4
)]
𝜋
4
) + sen(− 40 𝜋𝑡) sen (
𝜋
4
)]}
= 20 {[cos( 40 𝜋𝑡) cos (
𝜋
4
) + sen( 40 𝜋𝑡) sen (
𝜋
4
)]
𝜋
4
) − sen( 40 𝜋𝑡) sen (
𝜋
4
)]}
= 20 × 2 cos
( 40 𝜋𝑡
) cos (
𝜋
4
)
(e) 𝑔
𝑝
1
2
2
𝑖
1
2
2
