Modulação em Frequência: Características, Equações e Propriedades, Provas de Engenharia Elétrica

Baixe Modulação em Frequência: Características, Equações e Propriedades e outras Provas em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica

FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

Capítulo 5

Modulação

Angular

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica

FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

5.1 Introdução

Existem alguns aspectos da modulaÁ„o linear que diferem sensivelmente na modulaÁ„o angular. Na modulaÁ„o linear o espectro do sinal modulado È idÍntico ao espectro do sinal modulante, na banda de transmiss„o n„o excede a duas vezes a banda do sinal modulante e para se aumentar a relaÁ„o sinal ruÌdo somente com o aumento da potÍncia do sinal modulante. Em modulaÁ„o angular todos os aspectos acima citados tÍm caracterÌsticas diferentes. O espectro do sinal modulado difere do sinal modulante, a banda de transmiss„o È geralmente maior que duas vezes a banda do sinal modulante e a relaÁ„o sinal ruÌdo pode ser melhorada pelo aumento das bandas de transmiss„o. A modulaÁ„o angular pode ser dividida em duas classes, a modulaÁ„o em fase (PM) e a modulaÁ„o em freq¸Íncia (FM). As variaÁıes de freq¸Íncia e fase ser„o agora consideradas e teremos a oportunidade de ver que as diferenÁas entre modulaÁ„o em fase e em freq¸Íncia s„o muito pequenas sendo que, por isso, concentraremos nosso estudo apenas na modulaÁ„o em freq¸Íncia. A caracterÌstica marcante e que viabiliza a modulaÁ„o em freq¸Íncia È o fato de que ela representa uma melhor discriminaÁ„o ao ruÌdo e interferÍncias que a modulaÁ„o linear, possibilitando uma melhor qualidade do sinal transmitido.

5.2 Conceitos Fundamentais

Podemos comeÁar intuitivamente dizendo que o sistema de modulaÁ„o FM È aquele em que a freq¸Íncia da portadora varia de acordo com o sinal de informaÁ„o. Assim poderÌamos escrever a freq¸Íncia de portadora como Wp + ∅(t), onde ∅(t) È o desvio de fase instant‚neo, sendo uma funÁ„o do tempo e proporcional ao sinal modulante. Assim, o sinal modulado pode ser representado em notaÁ„o fasorial como: x (^) p(t) = Re[A (^) p.e j θθθθ p(t)] = A (^) pcos θθθθ pt (1) Onde θp (t) È funÁ„o do sinal modulante x(t) e Ap È constante. Como θp È a posiÁ„o angular do fasor, um nome apropriado para o processo È modulaÁ„o angular. O ‚ngulo θp È dado por:

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica

FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

Onde ∅ (^) ∆ È o desvio m·ximo de fase e f∆ È o desvio m·ximo de freq¸Íncia instant‚neo. Estas constantes s„o caracterÌsticas do modulador. Quadro resumo:

∅(t) f(t)

PM ∅ ∆x(t)

÷ ø

ç ö è

÷æ ø

ç ö è

æ /^ ∆ dt

. dx(t) 2

O π

FM

2 πf∆ (^) ò− (^) ∞

t x( λ )d λ

f∆x(t)

O esboÁo de um sinal modulado em AM e FM È apresentado abaixo para ilustrar a diferenÁa que existe entre os dois processos, o sinal modulante È uma dente-de-serra. A medida que a onda dente-de-serra aumenta sua amplitude, o sinal de FM oscila mais rapidamente, mas com amplitude constante. A modulaÁ„o em freq¸Íncia È um processo n„o linear e, assim, devemos esperar a geraÁ„o de novas freq¸Íncias no processo de modulaÁ„o.

Figura 5.2.1 – Modulação em Freqüência. (a) Sinal modulante; (b) Sinal modulado em AM; (c) Sinal modulado em FM

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica

FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

5.3 Sinal FM Modulado por um TOM

Em face da pequena diferenÁa existente entre os sinais FM e PM, passaremos a analisar apenas os sinais FM sendo que os resultados obtidos, ser„o v·lidos tambÈm para PM. Consideremos um tom de modulaÁ„o dado por.

x(t) = A m cos Wmt

Aplicando a express„o (4), obtemos a freq¸Íncia instant‚nea

f i (t) = f p + f (t) = f p + f∆x(t) = f p + Amf∆ cos W mt

A partir da freq¸Íncia instant‚nea obtemos o ‚ngulo do sinal modulado.

θp(t) = 2π (^) ò f^ i (t)dt = 2 πf (^) pt + (^) ÷÷ ø

ö ççè

æ m

p m W

2 πf A sen W

mt

θθθθ p(t) = 2 ππππ f (^) p + (^) ÷÷ ø

ö ççè

æ m

m ∆ f

A f sen W (^) m t

(8)

O produto Amf∆ (amplitude do sinal modulante x m·ximo desvio de freq¸Íncia instant‚neo) nos fornece uma importante grandeza chamada desvio m·ximo da freq¸Íncia de portadora; que È dado por

∆∆∆∆ f = A (^) mf ∆∆∆∆ (9) Assim, nosso ‚ngulo do sinal modulado fica

θθθθ p(t) = 2 ππππ f (^) pt + (^) ÷÷ ø

ö ççè

æ (^) ∆ f m

f sen W (^) m t

(10)

Todos agora uma nova grandeza a definir que È o Ìndice de modulaÁ„o do sinal FM modulado por um tom de freq¸Íncia FM. Ele È dado por:

ββββ = fm

∆f (11)

Com esta definiÁ„o, o nosso sinal de FM fica definido por x (^) p(t) = A (^) pcos (2 ππππ f (^) pt + ββββ sen W (^) m t) (12)

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica

FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

5.5 Análise Espectral de um Sinal FM

A fim de simplificar o estudo da modulaÁ„o em freq¸Íncia com relaÁ„o ao espectro, vamos dividi-la em duas partes: FM banda estreita e FM banda larga.

5.5.1 FM Banda Estreita

Pequenos valores de β correspondem a bandas estreitas e por isso os sistemas FM

com β << 2 π^ s„o denominados de FM banda estreita.

As equaÁıes de um sinal de FM banda estreita tÍm a mesma forma das equaÁıes do sinal de saÌda anterior, de AM, e assim d„o origem a freq¸Íncias laterais equidistantes da freq¸Íncia central, de modo semelhante a um sinal AM. Normalmente, considera-se β < 0,2; embora algumas vezes se utilize o critÈrio de β < 0,5. Consideraremos daqui por diante um sinal FM em banda estreita sempre que β ≤ 0,5. Consideraremos o sinal FM modulado por um tom dado por:

x p(t) = Apcos(2πf pt + βsen Wmt)

onde

∅(t) = βsen Wmt

por simplicidade de desenvolvimento faÁamos Ap = 1. Desenvolvendo a express„o para o sinal modulado por tons

x p(t) = cos 2πf pt + cos (β sen W mt) ñ sen 2πf pt. sen (β sen W mt)

β ≤ 0,5 FM banda estreita

ent„o:

cos (β sen W mt) ≅ 1 e sen (β sen W mt) = β sen Wmt

e o sinal modulado fica simplificado a

x p(t) = cos 2πf pt - βsen 2πf pt. sen Wmt

x (^) p(t)=cos 2 ππππ f (^) pt+^ β 2 [cos 2 ππππ (f (^) p+f (^) m )t-cos 2 ππππ (f (^) p-f (^) m )t] (14)

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica

FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

Pela espress„o ( 1 4) observa-se claramente a formaÁ„o do espectro do sinal FM banda estreita sendo substituÌdo da freq¸Íncia de portadora mais duas freq¸Íncias laterais fp + f (^) m e fp ñ fm resultando numa banda BT = 2fm semelhante a obtida para um sinal AM.

Figura 5.5.1.1 – Espectro unilateral FM banda estreita. A express„o ( 1 4) pode ser colocada na forma fasorial, resultando

x (^) p(t)=Re[e jW^ pt(1+ (^) 2

β e jW^ mt^ - (^) 2

β e -jW^ mt) ]

(15)

A envoltÛria resultante para este sinal pode ser observada na Figura 5.5. 1 .2 (a). A mesma abordagem de fasores se aplica ‡ AM, resultando

x p(t) = cos W pt + mcos Wmt.cos W pt

x (^) p(t) = cos W (^) pt + m 2 [cos(W (^) p + Wm )t + cos(W (^) p – W (^) m )t]

x (^) p(t)=Re[e jW^ p^ t(1+ (^) 2

m e jW^ mt^ + (^) 2

m e -jW^ mt) ]

(16)

A envoltÛria resultante pode ser verificada na Figura 5.5. 1 .2 (b).

f p-f m

f p f p+f m

x p(f)

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica

FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

5.5.2 FM Banda Larga

A reduÁ„o do ruÌdo e interferÍncia s„o as grandes vantagens do FM sobre o AM. Estas vantagens tornam-se significativas somente no FM banda larga quando o Ìndice de modulaÁ„o for grande. A maioria dos sistemas de FM È de banda larga. Neste caso, deixa de ser v·lida a comparaÁ„o entre FM e AM que fizemos para pequenos Ìndices de modulaÁ„o. Analisaremos o aumento da banda-passante com o aumento de β considerando um tom modulante senoidal.

Consideremos 1 ,5 ≤ β ≤ 6. O sinal FM ser· mais uma vez considerado na forma

abaixo com Ap = 1.

x p(t) = cos W pt. cos(βsen Wmt) ñ sen W pt. sen (βsen Wmt)

Expandindo em sÈrie de potÍncias considerando β dentro do intervalo acima definido

cos(βsen Wmt) = 1 - ÷÷

ø

ö ççè

æ 2

β^2 sen 2Wmt + .....

cos(βsen Wmt) = 1 - ÷÷

ø

ö ççè

æ 4

β^2 +

÷÷ø

ö ççè

æ 4

β^2 cos 2 W mt

Podemos ainda substituir sen(βsen Wmt) por βsen Wmt, o primeiro termo de sua sÈrie de potÍncia de modo que

x p(t)=[1- ÷÷

ø

ö ççè

æ 4

β^2 ]cosWpt-

β [cos(Wp-Wm )t-cos(Wp+Wm )t]+ ...

...+ (^) ÷÷ ø

ö ççè

æ 8

β^2 [cos(Wp+2Wm )t+cos(Wp-2Wm )t

(17)

Observe que o termo da portadora diminui um pouco com o aumento de β; a amplitude das bandas laterais de primeira ordem, em Wp ± Wm, aumenta com β e um novo conjunto de bandas laterais aparece em Wp ± 2Wm. O espectro do sinal da express„o ( 1 7) È mostrado na Figura 5.5.2. 1.

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica

FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

Figura 5.5.2.1 – Espectro de sinal FM 1,5 < ββββ < (^) 6. Este pequeno acrÈscimo de β j· acarretou o aparecimento de mais duas raias espectrais, com o censequente alargamento do espectro sendo agora a banda igual a 4fm. A potÍncia mÈdia do sinal modulado em freq¸Íncia È independente do sinal modulante. O aumento de potÍncia nas bandas laterais, ent„o, deve corresponder a uma diminuiÁ„o da potÍncia associada a portadora. Isto explica a diminuiÁ„o do nÌvel da portadora, como È observado na Figura 5.5.2. 1. Se β continua a crescer, um n˙mero maior de termos dever· ser considerado na expans„o em sÈrie de potÍncias de cos(βsen Wmt) e sen(βsen Wmt). Em conseq¸Íncia, aparecer„o novas freq¸Íncias laterais de amplitude significativa a banda-passante aumentar· com β, ou seja, com a amplitude do sinal modulante. Embora esta abordagem atravÈs de sÈries de potÍncias possa ser utilizada na an·lise da FM banda larga, a manipulaÁ„o algÈbrica necess·ria ‡ determinaÁ„o das bandas laterais significativas e de suas amplitudes torna-se bastante enfadonha. Por isso usaremos uma abordagem diferente. Estamos interessados basicamente em determinar componentes de freq¸Íncia de um sinal de FM expresso por:

x (^) p(t)=cos(W (^) pt+βsenWmt)=cosWpt.cos(βsenWmt)+senWpt.sen(βsenWmt) (^) (18)

Observe que cos(βsen Wmt) e sen(βsen Wmt) s„o funÁıes periÛdicas de perÌodo:

T =

Wm

2 π

Cosiderando a funÁ„o exponencial

v(t) = e j ββββ sen(W^ mt) 2

t T

− T^ < < (19)

Xp (t)

β^2

β

1 - β 4

2

β 8

β^2 f (^) p -f (^) m f (^) p -2f (^) m f (^) p f (^) p +f (^) m f (^) p +2f (^) m

f

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica

FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

Desenvolvendo v(t) dado pela equaÁ„o (2 1 ), temos: v(t)=J 0 ( ββββ )+2[J 2 ( ββββ ).cos2Wm t+J 4 ( ββββ ).cos 4Wmt...]+ +2j[J 1 ( ββββ ).sen W (^) m t + J 3 ( ββββ )sen 2Wm t+...]

(25)

Comparando com o desenvolvimento da express„o de e jβsen Wmt

cos(βsenWmt) = J 0 (β)+2J 2 (β)cos2Wmt+2J 4 (β)cos4Wmt+...

sen(βsenWmt) = 2J 1 (β)senW mt+2J 3 (β)sen3Wmt+...

x p(t) = Ap.cosW pt.cos(βsenWmt)-ApsenWpt.sen(βsenWmt)

x p(t) = ApJ 0( ββββ )cosW pt-ApJ 1( ββββ )[cos(Wp-Wm )t-cos(Wp+Wm )t]+

+ApJ 2( ββββ )[cos(Wp-2Wm )t+cos(Wp+2Wm )t]-

-ApJ 3( ββββ )[cos(Wp-2Wm )t-cos(Wp+3Wm )t]+...

(26)

A expres„o (26) pode ser simplificada para

x (^) p(t) = A (^) p å

∞ =∞

n -

Jn ( β )cos(Wp nWm)t (27)

A express„o (26) nos fornece uma funÁ„o do tempo que consiste de uma portadora e de um n˙mero infinito de bandas laterais, distantes de ± fm, ± 2fm, ± 3fm,..., etc da portadora. A figura abaixo d· uma idÈia da configuraÁ„o do espectro do sinal FM.

Figura 5.5.2.2 – Espectro de um sinal FM banda larga

Xp (f) FM

f J 3 ( ββββ ) J1 ( ββββ )

J 2 ( ββββ )

J0 ( ββββ ) J 1 ( ββββ ) J2 ( ββββ ) J 3 ( ββββ ) f (^) p -3f (^) m f (^) p -2f (^) m

f (^) p -f (^) m f (^) p f (^) p +f (^) m f (^) p +2f (^) m f (^) p +3f (^) m

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica

FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

5.6 Conteúdo de Potência da Portadora e das Faixas Laterais em Sistemas

de Modulação Angular

Considere a equaÁ„o (27) acima. O sinal FM nesse caso, È uma funÁ„o periÛdica e È expresso, por isso, como a soma de componentes senoidais discretas. A potÍncia de x (^) p (t) È igual a soma das potÍncias das componentes individuais, como resultado do teorema do Parseval. Logo,

P = x (^2) p(t) = å

∞ n=-∞

(^2) n

2 p (^) J ( ) 2

A β

(28)

Pode-se mostrar que a soma do lado direito È 1 para todos os valores de β que resulta em:

P = (^) 2

A (^) p 2 (29)

Obtendo-se um resultado an·logo ao obtido no Ìtem 5.4. A potÍncia da portadora n„o modulada Ap cos Wp t È A 2 p

2

. Por isso, a potÍncia da

onda FM È a mesma que a da portadora n„o modulada. Entretanto, o sinal modulado tem uma componente portadora e componentes de faixas laterais como indica a express„o (26). Nessa equaÁ„o Ap J 0 (β) representa a amplitude da componente de portadora e Ap J (^) n (β) representa a amplitude da faixa lateral de n-Èsima ordem. Pela escolha adequada de β, È possÌvel tornar J 0 (β) t„o pequene quanto se deseja. Assim, pode-se tornar a potÍncia transportada pela portadora t„o pequena quanto se deseja, pois J 0 (β) = 0 para: β = 2,405; 5,52 e assim por diante como se pode ver pela figura 5.6. 1.

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica

FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

BT = 2B (31) No caso de um sinal modulante cuja maior freq¸Íncia for B Hz. As curvas da Figura 5.6. 1 nos mostram que a medida que β aumenta as amplitudes das freq¸Íncias laterais de ordem mais altas comeÁam a crescer, a amplitude da portadora comeÁa a diminuir e a banda passante necess·ria aumenta. O n˙mero de freq¸Íncias laterais significativas depende do Ìndice de modulaÁ„o. Observe que J 8 (β) È essencialmente nula para β = 4 e comeÁa ent„o a crescer, atingindo um m·ximo em β = 9,5. As funÁıes de Bessel de ordem mais alta, Jn (β), n >> 1 ,

s„o essencialmente nulas para β << n. a partir desse ponto, elas crescem atÈ atingirem um m·ximo, decrescem novamente e passam a oscilar como senÛides amortecidas. Isto significa que, para β >> 1 , o n˙mero de freq¸Íncias laterais significativas È aproximadamente igual a β. Logo, J (^) n (β) ≅ 0, para n > β, de modo que as freq¸Íncias laterais correspondentes s„o despresÌveis. Como as freq¸Íncias laterais s„o espaÁadas de fm Hz e como h· dois conjuntos de freq¸Íncias laterais, um de cada lado da portadora, a largura da banda do sinal de FM È aproximadamente

BT = 2 ββββ f (^) m = 2 (^) ÷÷ ø

ö ççè

æ (^) ∆ f m

f (^) f (^) m = 2 ∆∆∆∆ f ββββ >> 1 (32)

A banda-pasante È igual a 2∆f apenas para Ìndices de modulaÁ„o muito grandes. Para β menores, podemos determinar a banda contando o n˙mero de freq¸Íncias laterais significativas. Entende-se por significativas, geralmente, as freq¸Íncias laterais com amplitudes igual ou maior que 1 % da amplitude da portadora n„o modulada. Temos considerado a amplitude da portadora n„o modulada como unit·ria, de modo que as freq¸Íncias laterais significativas ser„o aquelas para as quais Jn (β) > 0,0 1. O quadro de freq¸Íncias laterais significativas dado fornece resultados que permitem fazer um gr·fico da largura de banda em funÁ„o do Ìndice de modulaÁ„o. Uma curva mostrando a banda de transmiss„o total BT normalizada em relaÁ„o ao desvio de freq¸Íncia em funÁ„o de β È mostrada na Figura 5.7. 1. S„o tambÈm mostradas as curvas obtidas atravÈs da regra de algibeira ou regra de CARSON.

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica

FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

BT = 2∆f + 2f m = 2f m(β + 1 )

BT = 2 ∆∆∆∆ f + 2B = 2B(1+ ββββ ) (33) Esta express„o nos servir· de referÍncia, pois ela permite obter-se com grande aproximaÁ„o a banda necess·ria, considerando as freq¸Íncias laterais com amplitudes igual ou maiores que 1 0% da amplitude da portadora n„o modulada. A banda-passante para este ˙ltimo caso, obviamente, È menor que a banda onde s„o incluÌdas as freq¸Íncias laterais de 1 %. Quadro de Freq¸Íncias Laterais Significativas

ββββ J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 J10 J11 J12 J13 J14 J15 J 0,0 1 ,00 - - - - - - - - - - - - - - - - 0,25 0,98 0, 12 - - - - - - - - - - - - - - - 0,5 0,94 0,24 0,03 - - - - - - - - - - - - - - 1 ,0 0,77 0,44 0, 11 0,02 - - - - - - - - - - - - - 1 ,5 0,5 1 0,56 0,23 0,06 0,0 1 - - - - - - - - - - - - 2,0 0,22 0,58 0,35 0, 13 0,03 - - - - - - - - - - - - 2,5 -0,05 0,50 0,45 0,22 0,07 0,02 - - - - - - - - - - - 3,0 -0,26 0,34 0,49 0,3 1 0, 13 0,04 0,0 1 - - - - - - - - - - 4,0 -0,40 -0,07 0,36 0,43 0,28 0, 13 0,05 0,02 - - - - - - - - - 5,0 -0, 18 -0,33 0,05 0,36 0,39 0,26 0, 13 0,05 0,02 - - - - - - - - 6,0 0, 15 -0,28 -0,24 0, 11 0,36 0,36 0,25 0, 13 0,06 0,02 - - - - - - - 7,0 0,30 0,00 -0,30 -0, 17 0, 16 0,35 0,34 0,23 0, 13 0,06 0,02 - - - - - - 8,0 0, 17 0,23 -0, 11 -0,29 -0, 10 0, 19 0,34 0,32 0,22 0, 13 0,06 0,03 - - - - - 9,0 -0,09 0,24 0, 14 -0, 18 -0,27 -0,06 0,20 0,33 0,30 0,2 1 0, 12 0,06 0,03 0,0 1 - - - 1 0,0 -0,25 0,04 0,25 0,06 -0,22 -0,23 -0,0 1 0,22 0,3 1 0,29 0,20 0, 12 0,06 0,03 0,0 1 - - 1 2,0 0,05 -0,22 -0,08 0,20 0, 18 -0,07 -0,24 -0, 17 0,05 0,23 0,30 0,27 0,20 0, 12 0,07 0,03 0,0 1 1 5,0 -0,0 1 0,2 1 0,04 -0, 19 -0, 12 0, 13 0,2 1 0,03 -0, 17 -0,22 -0,09 0, 10 0,24 0,28 0,25 0, 18 0, 12

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica

FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

f

B (^) T ∆ = 5,6^ BT^ =^1 40 kHz Usando a regra de CARSON

BT = 2 x 25 + 2 x 1 5 = 80 kHz

Considerando o quadro de freq¸Íncias laterais significativas, vemos que para β = 1 ,7 terÌamos 5 raias significativas.

BT = 2nf m = 1 50 kHz

As bandas relativamente grandes necess·rias a FM em radiodifus„o, comparadas com as necess·rias ‡ transmiss„o de som em AM, s„o o preÁo que se tem que pagar para obter uma melhoria significativa no desempenho em relaÁ„o ao ruÌdo e interferÍncias. As amplitudes dos espectros de sinais modulados em freq¸Íncia, para β = 0,2; 1 ; 5 e 1 0 s„o mostrados na Figura 5.7.3. Observe que a medida que β aumenta, a banda mais se aproxima de 2∆f.

Faculdade de Engenharia – Departamento de Engenharia Elétrica

FUNDAMENTOS DE TELECOMUNICAÇÕES

Figura 5.7.2 – Amplitude do espectro de freqüência de um sinal (sinal modulador senoidal, fm fixo, amplitude variável). (a) ββββ = 0,2; (b) ββββ = 1; (c) ββββ = 5; (d) ββββ = 10.

Observe agora na Figura 5.7.3 a caracterÌstica do sinal espectral quando o Ìndice de modulaÁ„o È aumentado pela diminuiÁ„o da freq¸Íncia do sinal modulante de 1 5 para 5 kHz.