Sistemas de Numeração: Decimal, Binário, Octal e Hexadecimal, Notas de aula de Informática

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Sistemas de Numeração

Prof. Francisco Veríssimo Luciano

PRONATEC

Programador de Sistemas

• Até o final do século VI os números eram apenas:
  • 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
• Apenas no final do século VI que foi introduzido o “ 0 ” zero.
  • Passando a ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
• Durante o ano 825 d. c. o califa al-­‐Mamum deseja transformar seu reino em um grande centro de cultura.
• Contratando al-­‐Khowarizmi (maior matemá]co arabe de todos os tempos. Criando o sistema Decimal, que u]lizamos até hoje.
• Termo Algarismo é homenagem a al-­‐Khowarismi.

1. O que é um número?

• O sistema decimal u]liza como base “ 10 ” u]lizando os Algarismos:
• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
• Podendo ser representado: 5.326 = 5000 + 300 + 20 + 6 ou 5 x 100 + 3 x 100 + 2 x 10 + 6 ou 5 x 10³ + 3 x 10² + 2 x 10¹ + 6 x 10⁰
• Polinômio: Nro = dn10ⁿ + dn-­‐ 1 10ⁿ⁻¹ + d 1 10¹ + d 0 10⁰

3. Sistema Decimal

Nenhum algarismo do número pode ser maior ou igual a dez.

• O sistema binário possui apenas os Algarismos:
  • 0 e 1 Exemplo 1:
• Podendo ser representado: Número 1101001 2 1x2⁶ + 1x2⁵ + 0x2⁴ + 1x2³ + 0x2² + 0x2¹ + 1x1⁰ = 105 10 Exemplo 2:
• Podendo ser representado: Número 1111 2 1x2³ + 1x2² + 1x2¹ + 1x1⁰ = 15 10
• Polinômio: Nro = bn2ⁿ + bn-­‐ 1 2ⁿ⁻¹ + b 1 2¹ + b 0 2⁰

4. Sistema Binário

• O sistema hexadecimal possui os Algarismos:
  • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F Exemplo 1:
• Podendo ser representado: Número 3BF4C 16 3x16⁴ + B(11)x16³ + F(15)x16² + 4x16¹ + C(12)x16⁰ = 245580 10 196608 + 45056 + 3840 + 64 + 12 = 245580 Exemplo 2:
• Podendo ser representado: Número 2AE 16 2x16² + A(10)x16¹ + E(14)x16⁰ = 686 10 512 + 160 + 14 = 686
• Polinômio: Nro = bn16ⁿ + bn-­‐ 1 16ⁿ⁻¹ + b 1 16¹ + b 0 16⁰

6. Sistema Hexadecimal

Algarismo Valor A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15

• Mudança de base decimal para qualquer outra base é muito simples. Sempre trabalhada com divisões.
• Nesse momento veremos a mudança para a base binária: 61 2 1 30 2 0 15 2 1 7 2 1 3 2 1 1 Ficando: 111101 Sendo que: 61 10 = 111101 2

1. Mudança de base decimal para outras bases

• Nesse momento veremos a mudança para a base hexadecimal: 61 16 13 3 Ficando: 3D 16 Sendo que: 61 10 = 3D 16
• Logo podemos dizer: 6110 = 111101 2 = 75 8 = 3D 16

2. Mudança de base decimal para outras bases

Exercícios -­‐ converta os valores da

base decimal para as demais:

Decimal Binário Octal Hexa

• Exemplo: X 16 = (10100110) 2 Separamos em dois grupos de quatro dígitos: 1010 0110 A 6 Sendo: A6 16 = 10100110 2
• Exemplo: X 16 = (110011) 2 Separamos em dois grupos de quatro dígitos: 0011 0011 3 3 Sendo: 33 16 = 110011 2

2. Mudança de binário para hexadecimal

Decimal Binário Hexadecimal 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F

• A conversão de números Hexadecimais em Binários é feita transformando-­‐se os símbolos Hexadecimais em números binários de 4 dígitos:
• Exemplo: X 2 = (A6) 16 1010 0010 A 6 Sendo: 10100010 2 = A6 16
• Exemplo: X 2 = (33) 16 0011 0011 3 3 Sendo: 00110011 2 = A6 16 ou 110011 2 = A6 16

3. Mudança de hexadecimal para binário

Decimal Binário Hexadecimal 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F

• Exemplo: X 8 = (1110010) 2 Separamos em grupos de três dígitos: 001 110 010 1 6 2 Sendo: 162 8 = 00110010 2 ou 110010 2 = 162 8
• Exemplo: X 8 = (10001) 2 Separamos em grupos de três dígitos: 010 001 2 1 Sendo: 21 8 = 010001 2 ou 10001 2 = 21 8

4. Mudança de binário para octal

Decimal Binário Octal 0 000 0 1 001 1 2 010 2 3 011 3 4 100 4 5 101 5 6 110 6 7 111 7

• Exemplo: X 2 = (77) 8 Separamos em grupos de três dígitos: 7 7 111 111 Sendo: 77 8 = 111111 2
• Exemplo: X 2 = (123) 8 Separamos em grupos de três dígitos: 1 2 3 001 010 011 Sendo: 123 8 = 00101011 2 ou 1010011 2 = 123 8

5. Mudança de octal para binário

Decimal Binário Octal 0 000 0 1 001 1 2 010 2 3 011 3 4 100 4 5 101 5 6 110 6 7 111 7

• Exemplo octal para hexadecimal: X 16 = (77) 8 Separamos em grupos de três dígitos: 7 7 111 111 Sendo: 77 8 = 111111 2 = 3F 16
• Exemplo: X 16 = (123) 8 Separamos em grupos de três dígitos: 1 2 3 001 010 011 Sendo: 123 8 = 00101011 2 ou 1010011 2 = 123 8 = 443 16

6. Mudança de octal para hexadecimal ou

hexadecimal para octal

• Soma de binários: Na soma de binários obedecemos a regra a seguir: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 e vai 1 1 + 1 + 1 = 1 e vai 1

7. Aritmética Binária