Baixe Slides sobre Força de Atrito e outras Esquemas em PDF para Física Clássica, somente na Docsity!
Dependência linear e bases
Sadao Massago
Sumário
1 Dependência linear 1
2 Bases e coordenadas 3
3 Matriz mudança de base 5 Neste texto, introduziremos o que é uma base do plano ou do espaço.
1 Dependência linear
Dado uma sequencia de vetores {~v 1 ,... , ~vn}, a soma dos múltiplos α 1 ~v 1 + · · · + αn~vn é de- nominado de combinação linear. O conjunto de vetores gerados pela combinação linear dos elementos de S será denotados por [S].
Exemplo 1.1. O conjunto gerado por {(1, 0), (1, 1)} é todo plano. De fato, queremos que todo
vetor (x, y) é escrito na forma (x, y) = α(1, 0) + β(1, 1). Então temos
x = α + β y = β
de modo
que basta escolher β = y e α = x − β = x − y.
De nição 1.2. Dado uma sequência de vetores {~v 1 ,... , ~vn}, é dito linearmente independente (abreviadamente l.i.), se α 1 ~v 1 + · · · + αn~vn = ~ 0 implica em α 1 = · · · = αn = 0. Isto é, se a combinação linear for nula, seus coe cientes devem ser nulos.
Como o vetor nulo pode ser obtido como a combinação linear com coe cientes nulos, ser l.i. signi ca que só tem uma forma de escrever o vetor nulo como combinação linear dos vetores dados. Esta unicidade da representação como combinação linear pode ser generalizado como segue.
Proposição 1.3. Um conjunto {~v 1 ,... , ~vn} é l.i., se, e somente se, a combinação linear é única, isto é, l.i. se, e somente se, α 1 ~v 1 + · · · αn~vn = β 1 ~v 1 + · · · + βn~vn implica αi = βi.
Demonstração. ( =⇒ ) Suponha que é l.i. Então α 1 ~v 1 + · · · αn~vn = β 1 ~v 1 + · · · + βn~vn implica que (α 1 − β 1 ) ~v 1 + · · · (αn − βn) ~vn = ~ 0 e consequentemente, αi − βi = 0 para todo i. Logo, αi = βi. (⇐=) Seja α 1 ~v 1 + · · · + αn~vn = ~ 0 então α 1 ~v 1 + · · · αn~vn = 0~v 1 + · · · + 0~vn implica αi = 0.
De nição 1.4. O conjunto que não é linearmente independentes é dito linearmente dependen- tes (abreviadamente, l.d.).
Exemplo 1.5. {(1, 2 , 1), (− 1 , 1 , 2), (0, 3 , 3)} é l.d., pois α 1 (1, 2 , 1) + α 2 (− 1 , 1 , 2) + α 3 (0, 3 , 3) =
(0, 0 , 0) implica que
α 1 − α 2 = 0 2 α 1 + α 3 + 3α 3 = 0 α 1 + 2α 2 + 3α 3 = 0
na qual a matriz do sistema é
(^) cuja
determinante é nulo. Então o sistema tem in nitas soluções ou não tem solução. Como ele tem pelo menos uma solução que é a solução nula, terá in nitas soluções e tem solução não nula. Assim, ele será l.d. (nem todos αi's são nulas).
Observando que no sistema acima, o número de variáveis é igual ao número de vetores dados e o número de equações é igual ao número de coordenadas, podemos concluir que
Proposição 1.6. {~v 1 ,... , ~vn} com n maior que o número de coordenadas do vetor é l.d.
Por exemplo, {(1, 1), (− 1 , 2), (3, 1)} é l.d.
Proposição 1.7. No caso de {~v 1 ,... , ~vn} com n igual ao número de coordenadas, é l.i. se, e somente se, determinante da matriz formado pelos vetores forem não nulas.
Por exemplo, {(1, 1), (− 1 , 2)} é l.i. por ter determinante igual a 3.
Teorema 1.8. O conjunto {~v 1 ,... , ~vn} é l.d. se, e somente se, algum dos vetores é combinação linear dos restantes.
Demonstração. (=⇒) Suponha α 1 ~v 1 + · · · + αn~vn = ~ 0 de modo que αi 6 = 0 para algum i. Então
temos αi~vi = −α 1 ~v 1 − · · · − α̂ i~vi − · · · − αn~vn onde α̂ i~vi signi ca que é para omitir αi~vi nesta
soma. Como αi 6 = 0, podemos dividir por ele e obter ~vi = −α α^1 i ~v 1 − · · · − α α̂ii ~vi − · · · − α αni ~vn o que conclui que ~vi é uma combinação linear dos restantes.
(⇐=) Se ~vi = β 1 ~v 1 +· · ·+ β̂ i~vi+· · ·+βn~vn, podemos escrever β 1 ~v 1 +· · ·+(−1)~vi+· · ·+βn~vn = ~ 0 que é uma combinação linear na qual coe ciente de ~vi não é nula.
Corolário 1.9. Dois vetores não nulos é l.d. se, e somente se, um for múltiplo do outro.
Exercício 1.10. Mostre que {(1, 2 , −1), (2, 1 , 3)} é l.i.
Exercício 1.11. Mostre que {(2, 4 , −2), (3, 6 , −3)} é l.d.
Exercício 1.12. Mostre que {~ 0 , ~v 2 ,... , ~vn} é l.d.
Quando o vetor esta escrito em coordenadas, a forma rápida de descobrir se é l.i. ou l.d. é através do escalonamento. Pelo Teorema 1.8, um conjunto de vetores é l.d. se tiver pelo algum vetor escrito como combinação linear dos restantes. Se montar uma matriz cuja linhas são vetores dados, isto signi ca que alguma linha é combinação linear das outras linhas. Assim, se efetuar escalonamento nestas matrizes, aparecerá a linha nula. Isto ajuda na determinação da dependência linear com vetores de mais de 3 coordenadas (que não será estudado na geometria analítica) ou determinar qual vetores está sobrando no conjunto para ser conjunto l.i.
Exercício 1.13. Através do processo de escalonamento, veri que que {(2, 1 , −1), (3, 0 , −1), (1, − 1 , 0)} é l.d.
Exemplo 1.14. Determine um subconjunto l.i. de {(2, 1 , −1), (3, 2 , 1), (1, 1 , 2), (− 1 , 0 , 2)} com maior número de vetores. Como tem mais vetores que número de coordenadas, é l.d., mas precisamos saber quais vetores estão sobrando, ou seja, quem vai anular pelo escalonamento. Colocando os vetores nas linhas e montando a matriz, temos
Demonstração. Considere o vetor ~v = (x 1 ,... , xn) ∈ Rn. Queremos que ~v = α 1 ~v 1 + · · · + αn~vn
para algum αi. Isto signi ca que o sistema [[v 1 ] · · · [~vn]]
α 1 .. . αn
= [~v]^ tenha uma solução. Como
o conjunto é l.i., o matriz do sistema que é matriz formado pelos vetores tem o determinante diferente de zero. Logo, tem pelo menos uma solução (logo, tem solução).
Proposição 2.3. Um único vetor não gera o plano.
Demonstração. Seja dado um vetor ~v = (a, b) e (x, y) = λ(a, b). Então
x = λa y = λb
implica que
ay = bx. Como existem pontos do plano que não satisfaz a equação ay = bx que é equação da reta. Os pontos que são soluções da equação ay = bx + 1 não é gerado pelo vetor ~v. Assim, um único vetor não deve gerar o plano todo
Assim, a base do plano é composta exatamente de 2 vetores l.i. Isto acontece para n coordenadas.
Teorema 2.4. Se um conjunto S = {~v 1 ,... , ~vn} gera Rm, então qualquer conjunto com mais de n vetores é l.d.
Demonstração. Considere S′^ = { w~ 1 ,... , ~wp} com p > n e queremos mostrar que S′^ é l.d., isto é, se α 1 w~ 1 + αp w~p = ~ 0 tendo algum αi diferente de zero. Como S gera Rm, podemos escrever
w ~ 1 = a 11 ~v 1 + · · · + an 1 ~vn .. .
w ~p = a 1 p~v 1 + · · · + anp~vn
Assim, α 1 (a 11 ~v 1 + · · · + an 1 ~vn) + · · · + αp (a 1 p~v 1 + · · · + anp~vn) = ~ 0 de onde ( α 1 a 11 + · · · + αpa 1 p) ~v 1 + · · · + (α 1 an 1 + · · · + αpanp) ~vn = ~ 0. Para isso, basta que
α 1 a 11 + · · · + αpa 1 p = 0 .. .
α 1 an 1 + · · · + αpanp = 0
na qual tem pelo menos uma solução (solução nula). Como
p > n, tem mais equações do que incógnitas e consequentemente tem in nitas soluções. Consequentemente, tem a solução não nula para αi e portanto S′^ é l.d.
Com isso, temos que
Corolário 2.5. A base de Rn^ tem exatamente n vetores l.i.
Em particular, a base de espaço é composta de exatamente três vetores l.i. Em virtude da Proposição 1.3, os vetores é escrito unicamente como combinação linear dos elementos da base.
De nição 2.6. Seja B = {~v 1 ,... , ~vn}, uma base. Se ~v = a 1 ~v 1 + · · · + an~vn então (~v)B = (a 1 ,... , an) é denominado de coordenada do vetor ~v na base B e escrevemos ~v = (a 1 ,... , an)B.
O vetor em coordenadas também pode ser denotado como sendo matriz coluna. [~v]B =
a 1 .. . an
ou ~v =
a 1 .. . an
B
. Quando a base estiver evidente, podemos abreviar o B e escrever simplesmente
como sendo ~v = (a 1 ,... , an) =
a 1 .. . an
Exemplo 2.7. Seja B = {(1, 1), (1, −1)}. Escreva o vetor (2, 3) em coordenadas da base B.
Queremos que (2, 3) = a(1, 1) + b(1, −1) então
2 = a + b 3 = a − b
. Assim, 5 = 2a =⇒ a = 52. Daí,
b = 2 − a = 2 − 52 = −^12. Portanto, ~v =
2 ,^
− 1 2
B e sua forma matricial é^ ~v^ =
[ 5
−^21 2
]
B
3 Matriz mudança de base
Para calcular as coordenadas de um vetor, costumamos usar a matriz mudança de base. Considere a base A = {v 1 ,... , vn} e B = {w 1 ,... , wn}, bases de Rn. Então podemos escrever os vetores de B como sendo combinação linear dos elementos de A.
w 1 = a 11 v 1 + · · · + an 1 vn .. .
wn = a 1 nv 1 + · · · + annvn Dado um vetor ~v = (b 1 ,... , bn)B, temos que ~v = b 1 w 1 +· · ·+bnwn = b 1 (a 11 v 1 +· · ·+an 1 vn)+ · · · + bn(a 1 nv 1 + · · · + annvn). Fatorando em vi's, temos que ~v = (b 1 a 11 + · · · + bna 1 n)v 1 + · · · +
(bnan 1 + · · · + bnann)vn e as coordenadas de ~v na base A será [~v]A =
b 1 a 11 + · · · + bna 1 n .. . bna 1 n + · · · + bnann
a 11 · · · a 1 n .. .
an 1... ann
b 1
... bn
(^) = M (^) AB[~v]B onde M (^) AB =
a 11 · · · a 1 n .. .
an 1... ann
= [[^ w~ 1 ]A · · ·^ [^ w~n]A]^ é chamado
de matriz mudança de base de base B para A, pois a multiplicação deste matriz nas coordenadas escrito na base B fornece as coordenadas escrito na base A. Note que existem autores que invertem esta nomenclatura, denominando M (^) AB de matriz mudança de base de A para B, o que requer cuidados. No entanto, independente do nome dado, [~v]A = M (^) AB[~v]B.
Observação 3.1. A matriz mudança de base é inversível (exercício) e como [~v]A = M (^) AB [~v]B
implica que
M AB
[~v]A = [~v]B de modo que M (^) BA =
M AB
. Também temos que, se A, B e C são bases, então M (^) CA = M (^) CB M (^) BA.
Caso particular da mudança de base quando uma das bases é base canônica tem interesse especial. Dado uma base B = {~v 1 ,... , ~vn}, então Mβ = [[~v 1 ]...[~vn]] é a matriz mudança de base de B para canônica, tendo a propriedade de [v] = MB[v]B. Pela observação anterior, também temos que [v]B = M (^) B− 1 [v], o que permite obter rapidamente as coordenadas do vetor na base dada. Também podemos obter a mudança de base A para B por M (^) BA = M (^) B− 1 MA.
Exemplo 3.2. Obtenha a matriz mudança de base de A = {(1, 1), (1, −1)} para B =
{(− 1 , −1), (1, −1)}. Colocando os vetores da base nas colunas, temos que MA =
[
]
e MB =
[
]
. Como M (^) BA = M (^) B− 1 MA, calculemos o M (^) B− 1. M (^) B− 1 =
[
]− 1
