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Apostila de Geometria Descritiva
Tipologia: Notas de estudo
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Apostila de Geometria Descritiva – Sólidos Geométricos
Poliedro é o sólido limitado por planos. O encontro desses planos determina as arestas, as faces, os ângulos e os ângulos poliédricos.
Os poliedros podem ser regulares, semi – regulares e irregulares:
POLIEDROS IRREGULARES
Poliedros irregulares são aqueles que não admitem lei de geração que os caracterize com perfeição.
1.) Pirâmides
Pirâmide é o poliedro resultante da interseção de um ângulo sólido por um plano inclinado às arestas. Pode também ser vista como o resultado da ligação dos vértices de um polígono a um ponto fora do plano do polígono. A pirâmide dita regular tem por base um polígono regular. É chamada reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro da base. Caso contrário é oblíqua. Quando as faces são triângulos equiláteros a pirâmide é regular equilátera. O ponto comum de encontro das arestas laterais é definido como vértice da pirâmide. Define-se como altura de uma pirâmide a distância medida do vértice ao plano da base.
Seja uma pirâmide oblíqua, de base hexagonal regular (ABCDEF) apoiada no PHP, de tal forma que a aresta (AB) fique paralela ao PVP, com afastamento igual a 10 mm. As projeções, vertical e horizontal, do eixo da pirâmide fazem, respectivamente,
A VG da seção pode ser obtida rebatendo os pontos (M1), (N1), (P1), (Q1), (R1) e (S1) sobre (π') utilizando os procedimentos normais do método dos rebatimentos.
1.2) Prisma
Os prismas são os sólidos geométricos que ficam definidos quando um feixe de paralelas não coplanares é cortado por dois planos. Quando os planos não são paralelos fica dito que a figura é um "Tronco de prisma". Os planos são chamados de "bases" e as paralelas são as "arestas laterais". Pode também ser visto como a figura gerada por um polígono qualquer que se desloca segundo uma reta. Quando a reta é perpendicular ao plano do polígono diz-se que o prisma é reto. Caso contrário diz-se que é oblíquo. O polígono da base pode ser qualquer, e se for convexo, o prisma também é convexo. As faces laterais podem ser paralelogramos, retângulos ou quadrados. Quando o polígono da base é regular e as faces são quadrados o prisma é dito "arquimediano", por ser uma figura semi-regular. O prisma arquimediano de base quadrada é o cubo. Outros prismas especiais são os chamados paralelepípedos, de bases e faces laterais retangulares as faces opostas são iguais entre si e todos os ângulos diedros são retos.
Seja um prisma reto de base pentagonal regular (ABCDE) apoiada no PHP de tal forma que a aresta (AB) fique paralela ao PVP, com afastamento igual a 15 mm. As arestas da base medem 25 mm e a altura, 60 mm. O prisma está localizado no 1º diedro. Como a face (ABCDE), base inferior do prisma, está apoiada no PHP, sua projeção horizontal está em VG. Temos, então, que:
Localizado 15 mm abaixo da linha de terra e um pouco à esquerda do seu ponto médio, marcamos o ponto A, projeção horizontal do vértice (A). Por A traçamos, para o lado direito, uma paralela à linha de terra, que vem a ser o suporte da projeção horizontal da aresta (AB), da base. Sobre esta paralela, distante 25 mm de A, marcamos o ponto B, projeção horizontal do vértice (B). Utilizando traços finos e leves, construímos um pentágono regular de lado AB, de modo que todos os demais vértices fiquem abaixo da linha de terra (afastamentos positivos) pois
o prisma está no 1º diedro. Esse pentágono regular é a projeção horizontal da base de apoio do prisma. As projeções verticais de seus vértices, ou seja, A',B',C',D' e E', estarão, obviamente, sobre a linha de terra. Como o prisma é reto, as arestas laterais são perpendiculares ao plano da base e, conseqüentemente, perpendiculares ao PHP. Pelos pontos A', B', C', D' e E', traçamos segmentos perpendiculares à linha de terra que serão os suportes das projeções verticais das arestas laterais. A altura do prisma reto é igual ao comprimento das arestas laterais. Como essas arestas se projetam em VG no PVP, basta cortar seus suportes por uma paralela à linha de terra, 60 mm distante dela. Ligando por segmentos os pontos resultantes, obtemos a projeção vertical da base superior do prisma. A projeção horizontal dessa base se confunde com ABCDE. As projeções horizontais das arestas laterais são pontuais e se confundem, respectivamente, com os pontos A,B,C,D e E. Ficam assim esboçadas as projeções, horizontal e vertical, do prisma.
Os contornos aparentes, vertical e horizontal, são sempre visíveis. Assim sendo, reforçando o traçado do pentágono ABCDE, fica definida a projeção horizontal do prisma. Em projeção vertical, além do contorno aparente, é visível a aresta lateral que contém o vértice (D) por ser este o ponto de maior afastamento do prisma. As arestas (AB), (BC) e (AD) estão encobertas pelas arestas (DC) e (DE), o mesmo acontecendo com suas correspondentes na base superior. A face lateral que contém as arestas laterais que partem de (A) e de (B) tem o menor afastamento e esta encoberta pelas demais faces laterais do prisma. Por essa razão as arestas laterais que partem de (A) e de (B) são invisíveis em projeção vertical.
Suponhamos que o prisma seja cortado por um plano (α) que passa pela linha de terra e tenha declividade igual a 30º. Para simplificar o trabalho, façamos uso de um plano de perfil como um novo plano horizontal de projeção, (π1), localizado à direita das projeções. Nesse novo sistema o plano (α) passa a ser um plano vertical porque:
1º) O traço απ' (απ’ ≡ ππ’ ) é perpendicular à nova linha de terra; 2º) O traço de (α) em (π1), ou seja, α1, faz 30ºE com a nova linha de terra.
Projetamos o prisma nesse novo sistema mantendo fixa a projeção vertical original e transferindo os afastamentos dos vértices no sistema original para o novo sistema. Como (π 1 ) corta todas as arestas laterais do prisma, a seção será, também, um pentágono. As interseções de απ 1 com as novas projeções horizontais das arestas laterais do prisma nos fornecem os pontos M1, N1, P1,Q1 e R1, que são vértices da projeção horizontal da seção no novo sistema. A partir então desses pontos traçamos linhas de chamada perpendiculares à nova linha de terra do novo sistema até encontrar as correspondentes projeções verticais das arestas laterais, determinando os pontos M',N',P',Q' e R'.
A VG da seção pode ser obtida de duas maneiras: 1ª) Rebatendo os pontos (M1), (N1), (P1), (Q1) e (R1) sobre (π) ou (π') utilizando os procedimentos normais do método dos rebatimentos. Essa alternativa depende da disponibilidade de espaço e tem o inconveniente de superpor a figura rebatida com uma de suas projeções. 2º) Criando um terceiro sistema projetivo, fazendo mais uma mudança de plano. Desta vez vamos substituir o plano vertical (π') do sistema anterior - segunda mudança de plano - por um plano paralelo a (α), mantendo agora (π1) como plano horizontal desse terceiro sistema. Para tanto, basta traçar uma terceira linha de terra paralela a απ1, traçar novas linhas de chamada e transferir as cotas de (M), (N), (P), (Q) e (R) em relação à segunda linha de terra.
POLIEDROS SEMI-REGULARES
Também chamado de poliedro arquimediano, é um poliedro convexo constituído por faces regulares (mas de número de lados diferentes) e ângulos sólidos iguais ou simétricos. Estas faces são de dois ou, mesmo, três tipos e os ângulos são triédricos, tetraédricos ou pentaédricos. Os poliedros são divididos em dois grupos: equiangulares e equifaciais.
I) Poliedros regulares convexos
Os poliedros regulares convexos são também conhecidos como platônicos. São assim chamados por terem sido estudados e divulgados por Platão. São também conhecidos como regulares pois todas as faces, ângulos e ângulos entre as faces serem sempre os mesmos. Veremos a seguir o porquê.
Todo ângulo sólido tem que ter um mínimo de três faces, com ângulos de face cuja soma seja menor que 360°. Analisando os polígonos regulares vemos que os possíveis geradores de ângulos sólidos são os de ângulo interno menor que 120°, ou seja: o triângulo (60°), o quadrado (90°) e o pentágono (108°). Portanto, os polígonos regulares que formam os (5) poliedros regulares são o triângulo, o quadrado e o pentágono. Os sólidos platônicos são encontrados na natureza: são as estruturas das radidarias (plarctons marinhos).
I.1) Tetraedro
O tetraedro é sem dúvida o pai de toda a família de poliedro. A partir dele se fazem todos os demais. É o primeiro sólido regular, é um sólido nuclear pois não tem uma diagonal completa.
Considere um tetraedro regular (ABCD), apoiado no PHP pela face (ABC), o poliedro que se quer representar através de suas projeções. Admitamos, ainda, as seguintes condições: 1º) A aresta (AB) está inclinada 45º à direita do observador (45ºD) em relação ao PVP sendo que o vértice (A) tem afastamento nulo e abcissa 50 mm; 2º) A aresta do tetraedro mede 60 mm e o poliedro encontra-se no 1º diedro. Como a face (ABC) pertence ao PHP, ela coincide com sua própria projeção horizontal, ABC, e teremos então: (A) ≡ A (B) ≡ B (C) ≡ C
Logo, as coordenadas descritivas do vértice (A) são (50; 0; 0) e suas projeções são imediatamente determinadas. O ângulo que a aresta (AB) faz com o PVP é o mesmo que sua projeção horizontal, AB, faz com a linha de terra. A partir de A - projeção horizontal de (A) - traçamos uma semi - reta fazendo 45º com a linha de terra de tal modo que a abertura do ângulo fique voltada para a direita e abaixo da linha de terra. Ainda a partir de A, medimos 60 mm sobre essa semi - reta e determinamos o ponto B, projeção horizontal do vértice (B). Como sabemos, as faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros iguais. A obtenção do ponto C, projeção horizontal do vértice (C) passa a ser um problema de desenho geométrico que consiste em construir um triângulo equilátero em que AB é o lado conhecido e C é o vértice a determinar. Esse problema apresenta duas soluções sendo que, numa delas, o ponto C ficaria acima da linha de terra o que a invalida porque a projeção horizontal de (C) estaria no 2º diedro. Utilizamos então a solução que mostra C abaixo da linha de terra. Traçando linhas de chamada por B e por C até a linha de terra, determinamos B' e C', projeções verticais de (B) e (C). Ligando, com traço fino e leve, A a B e a C,
esboçamos a projeção horizontal da face (ABC). Fazendo o mesmo com A',B' e C', esboçamos sua projeção vertical.
As linhas visíveis devem ser mais fortes e contínuas e mais espessas que as linhas de construção e de esboço das projeções. As linhas invisíveis devem ter o mesmo padrão das visíveis, só que tracejadas. A projeção vertical será concluída, considerando que: a) O contorno aparente vertical são os segmentos que ligam D', B' e C'. b) O vértice (C) tem o maior afastamento, fazendo com que a face D'B'C' seja toda visível encobrindo as faces D'A'B' e D'A'C'. Por isso, a aresta D'A' é invisível. c) As arestas A'B' e A'C' também são invisíveis, mas ficam encobertas pela aresta B'C'. A projeção horizontal será concluída, considerando que: a) O contorno aparente horizontal é o triângulo ABC. b) O vértice (D) tem a maior cota, fazendo com que as faces DAB, DAC e DBC sejam todas visíveis. Por essa razão, as arestas BA, DB e DC são, também, visíveis.
Seja (α) um plano de topo que corta o tetraedro passando pelo vértice (B) e fazendo 30ºE com o PHP. O traço horizontal do plano, (α) passa por B, projeção horizontal de (B), e é perpendicular à linha de terra. O ponto α0 (encontro de (α) com a linha de terra) coincide com B', projeção vertical de (B). Por este ponto traçamos απ ' - traço horizontal de (α) - uma semi-reta que faz 30º com a linha de terra e com abertura para a esquerda, cortando D'A' e D'C'. Assim sendo, os pontos em απ' intercepta as arestas D'A', D'B' e D'C' são pontos da seção e vamos designá-los, M',N' e P', respectivamente. Os pontos (M), (N) e (P), são pois os vértices do triângulo (MNP), representativo da seção plana produzida por (α), onde: 2 2 (M) (^) 2 20 8(DA) (N) (^) 0 8(DB) 2 2 (P) (^) 0 8(DC) Pelos dados atribuídos a (α) , temos (N) ≡ (B). Traçando linhas de chamada por M' e P', obteremos M, na aresta DA e P, na aresta DC. O triângulo MNP é a projeção horizontal da seção. Os lados (MN) e (MP) são invisíveis em projeção vertical, mas são encobertas por P'N', que é visível. Em projeção horizontal, as projeções M, N e P pertencem a arestas visíveis. Os lados visíveis da seção devem ser, portanto, desenhados com traços fortes e contínuos.
Como o plano secante é de topo, a VG da seção tanto pode ser feita por mudança de plano horizontal ou por um rebatimento no PHP. No caso de optarmos por uma mudança de plano, basta criar um nova linha de terra, paralela ao traço απ’ e reprojetar o triângulo (MNP) no novo sistema. Se a opção for o rebatimento - aliás, mais simples nesses casos - basta tomar α 0 como centro de rotação, girar M', N' e P'até a linha de terra e construir a figura rebatida.
I.2) Octaedro
O octaedro é composto de seis triângulos equiláteros. Pode ser visto como um antiprisma de base triangular, ou como duas pirâmides de base quadrada, acopladas pelas bases.
As projeções verticais das arestas (AB) e (AD) estão encobertas por CB e CD. As projeções horizontais das arestas (AE) e (AF) são invisíveis e, por isso, devem ser fortes e tracejadas. Em projeção horizontal é visível o vértice (E), por ser o de maior cota, e todas as arestas que para ele convergem. Assim, são visíveis as projeções horizontais das arestas (EA), (EB), (EC) e (ED) cujos traçados devem ser fortes e espessos.
Seja (α) um plano de topo que corta o octaedro passando por (O) e paralelo à aresta (EB). Para que uma dada reta seja paralela a um plano, ou vice-versa, é necessário que exista no plano uma reta paralela à reta dada. Para que um plano de topo seja paralelo a uma reta qualquer, basta que o seu traço vertical seja paralelo à projeção vertical da reta. Ora, a aresta (EB) é um segmento de reta qualquer. Assim sendo, se traçarmos por O' uma paralela à projeção E'B', estaremos determinando o traço vertical απ' do plano secante (α). A determinação do traço horizontal απ é imediata. Sendo (α) um plano projetante, os pontos de interseção de απ' com as projeções verticais das arestas do octaedro são pontos da projeção vertical da seção.
Como o plano secante é de topo, a VG da seção tanto pode ser feita por mudança de plano horizontal como por rebatimento no PHP, tal como foi dito para o tetraedro regular.
I.3) Hexaedro ou cubo O hexaedro é composto de 6 quadrados. O cubo é um sólido sociável. Ele pode ser aglomerado perfeitamente, isto é, podemos juntar cubos sem que sobrem espaços vazios. É a modulação básica das nossas construções atuais. Isso não quer dizer que seja a maneira mais econômica de aglomeração.
Seja um hexaedro regular ou, simplesmente, um cubo (ABCDEFGH) localizado no 1º diedro, cuja face (ABCD) se apóia sobre o PHP. Seja, este cubo, a figura que dará origem ao hexaedro. As arestas medem 50 mm, a aresta (AB) faz 30ºD com o PVP e o vértice (A) tem afastamento igual a 10 mm.
Se a face (ABCD) está apoiada no PHP, sua projeção horizontal ABCD estará em VG. A representação gráfica das projeções do cubo será iniciada por esta face. Os elementos do cubo não estão amarrados a coordenadas descritivas e podem ser localizados, na épura, onde melhor convier. Vamos fixar a linha de chamada do vértice (A) próximo ao centro da linha de terra. Nesta linha de chamada marcamos o ponto A, projeção horizontal do vértice (A). Sua projeção vertical, A', está, obviamente, na linha de terra. A partir de A traçamos uma semi-reta fazendo 30ºD com a linha de terra e sobre ela marcamos o ponto B, projeção horizontal do vértice (B), distante 50mm de A. A projeção vertical de (B), B', está também na linha de terra. Construímos, então, o quadrado ABCD, projeção horizontal da face (ABCD). Os pontos C'e D' estão na linha de terra. Aa arestas (AE), (BF), (CG) e (DH) são segmentos de retas verticais e são, portanto, perpendiculares ao PHP. Logo, as projeções horizontais dos vértices (E),
(F), (G) e (H) se confundem, respectivamente, com as projeções horizontais dos vértices (A), (B), (C) e (D). As cotas de (E), (F), (G) e (H) são iguais e medem 50 mm uma vez que as arestas (AE), (BF), (CG) e (DH) se projetam em VG no PVP. Os pontos E', F', G' e H', são marcados nas respectivas linhas de chamada, distantes 50 mm da linha de terra.
O contorno aparente vertical B'F'H'D' e o contorno aparente horizontal ABCD (ou EFGH) são visíveis. A aresta (CG) por ter maior afastamento é visível em projeção vertical. A aresta (AE)tem o menor afastamento, é encoberta pela face (CGHD) e não é visível em projeção horizontal. Em projeção horizontal, é visível a face (EFGH) que tem a maior cota. As projeções horizontais dos elementos das demais faces se confundem com as projeções horizontais dos elementos da face (EFGH). Se nos limitássemos às projeções do cubo, as arestas visíveis deveriam ser traçadas com linhas fortes e contínuas ao passo que as invisíveis deveriam ser fortes e tracejadas, o que não é o caso.
Inicialmente, vamos determinar os pontos médios de cada aresta do cubo. Os pontos médios de cada uma das três arestas que convergem para um mesmo vértice determinam um plano. A seção que cada um desses planos determina no cubo é um triângulo equilátero. Cada face original do cubo se transforma em um quadrado menor, cujos lados são iguais aos segmentos que unem os pontos médios das arestas de um mesmo vértice. O novo poliedro assim formado tem oito faces triangulares equiláteras e seis faces quadradas. As arestas são todas iguais assim como são iguais os ângulos poliédricos para cujos vértices convergem dois triângulos equiláteros e dois quadrados. O poliedro assim constituído é chamado cuboctaedro. As visibilidades de seus elementos seguem os mesmos critérios já vistos anteriormente e o conhecimento das visibilidades dos elementos do cubo original facilitam extremamente a tarefa
A VG das faces quadradas fica evidenciada na projeção horizontal do poliedro, porque a posição do cubo que originou o cuboctaedro não foi modificada. Nenhuma das projeções das faces triangulares se apresenta em VG. Tal fato, todavia, não constitui problema porque sabemos que a seção é um triângulo equilátero cujo lado é igual ao da face quadrada da qual a VG é conhecida. Basta construir, então, um triângulo equilátero tomando como lado, um dos lados do quadrado em VG na projeção horizontal do cuboctaedro.
II) Poliedros regulares estrelados São poliedros que seguem a definição de poliedro regular e ao mesmo tempo a definição de poliedro estrelado. Além de ter todos os ângulos sólidos iguais entre si e as faces também iguais entre si, é seccionado por qualquer dos planos de suas faces.
