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Curso de Matemática - Bacharelado
Professor: Lazzarin Disciplina: Anéis e Grupos Estudante: Rafael P Poerschke Matrícula: 201951079 Santa Maria, June 15, 2021
1 Lista 2 - Subanéis
1.1 Exercício 12
DEFINIÇÃO:
(Subanéis) Seja A um anel tal que ( A , +, ·) , S ⊆ A é um subanel de A se S é não vazio e fechado para + e · e forma um anel para essas operações. Proposição: Um subconjunto S de um anel ( A , +, ·) é um subanel se e somente se as seguintes condições se verificam:
( S A 1) 0 ∈ S ;
( S A 2) Para cada S 1 , S 2 ∈ S , ⇒ S 1 − S 2 ∈ S ; ( S A 3) Para cada S 1 , S 2 ∈ S , ⇒ S 1 · S 2 ∈ S.
Portanto, temos que existe inverso em C para todo a + bi 6 = 0.
1) S = Z, S = 2 Z + 1 = {2 k + 1 : k ∈ Z} no anel A = Z;
(SA1): Se 0 ∈ S ⇐⇒ ∃ a ∈ Z tal que 0 = 2 a + 1 ⇐⇒ a = − 12 , desse modo, 0 ∉ S uma vez
que a não é inteiro. Portanto, S não é subanel. Sendo assim, é suficiente demonstrar que se uma das condições não se verificam, não podemos dizer que o subconjunto será subanel.
2) S = R, S = Q[p 7 ]^ = { a + b p7 : a , b ∈ Q}^ no anel R;
Vamos mostrar que a , b , [p 7 ]^ ∈ Q =⇒ S ⊂ sa R com o auxílio da prop.(1):
(SA1): Nesse caso é notório mostrar que 0 ∈ S , pois se tomarmos a = b = 0, temos:
0 + 0
[p 7
]
[p 7
]
∈ S.
Tomemos agora, ( a + b [p 7 ])^ − ( c + d [p 7 ])^ quaisquer de S para todo a , b , c , d ∈ Q. Logo
(SA2): ( a + b [p 7 ])^ − ( c + d [p 7 ])^ = ( a − c ) + ( b − d ) p 7 ∈ S. Como a − c , b − d ∈ Q, isto é,
como é uma operação entre racionais, teremos um resultado racional. Assim, podemos concluir
que ( a + b [p 7 ])^ − ( c + d [p 7 ])^ ∈ Q[p 7 ]^ ∈ S. 1
(SA3): Observe que
( a + b
[p 7
])
c + d
[p 7
])
= ( ac + 7 bd ) + ( ad + bc ) p 7 ∈ S
Como ac + 7 bd , ad + bc ∈ Q , temos que ( a + b p 7 )^ · ( c + d p 7 )^ ∈ S , portanto S ⊂ R.
Assim, provamos as três prposições, temos um subanel. Agora vamos verificar algumas proprie- dades do anel sobre comutatividade (produto), se não tem divisores de zero e unidade. Comutatividade: ( a ∗ b ) = ( a − b ) e ( b ∗ a ) = ( b − a ) =⇒ a − b = b − a. Portanto, ela será
comutativa. S seria comutativo também pelo critério de herança, pois herda do anel dos R , uma
vez que ele é válida no reais (argumento foi a hierarquia).
Unidade / ter o neutro da multiplicação? se valer 1 ∈ A , ∀ ∈ A , x · 1 = 1 · x = x. Nesse caso não iremos aplicar o critério da hierarquia, pois obeserve que Observe que consiguimos descrever o 1, pois 1 =
[p 7
])
∈ S
. Será unidade, pois observe que ele não irá alterar a operação da multiplicação que segue
( a + b
[p 7
])
[p 7
])
= ( a · 1 + 7 b · 0) + ( a .0 + b · 1) p 7 =
a + b
[p 7
])
divisores de zero caso existam : a e b são divisores de zero de S , se: a) a , b 6 = 0 , isto é, forem não nulos; b) ∃ a , b ∈ S , a , b 6 = 0, tal que a. b = 0, isto é, a. b = 0 =⇒ a. b. Portanto, como no anel dos reais, com operções usuais, são um corpo, e um corpo não temos divisores de zero, portanto, ela também é herdada. Se funciona no anel, irá também funcionar no conjunto que está contido no conjunto maior.
3) S = {0, 3, 6, 9}^ no anel Z 12 ;
(SA1): Nesse caso é notório, e não resta dúvida que 0 ∈ S. (SA2): Note que podemos generalizar em múltiplos de 3 pois os elementos de S são os elementos
de Z no formato 3 x. Tomemos por essa razão os seguintes elementos 3 a , 3 b ∈ S. Com isso temos
3 a − 3 b = 3
a − b
∈ S Poderia mostrar fazendo os pares: 0 − 0 = 0; 0 − 3 = −3; 0 − 6 = −6; 0 − 9 = −9; 3 − 0 = 3; 3 − 3 = 0; 3 − 6 = −3; 3 − 9 = −6;
(SA1): Nesse caso, se tomarmos a = b = 0 iremos teremos
^0
(^) ∈ S e, portanto, podemos afir-
mar que 0 ∈ S. (SA2): Considere agora a , b ∈ S
a=
a^11 a 21 0
, b=
b^11 b 21 0
. Queremos encontrar a − b , sendo assim, temos
a^11 −^ b^11 a 21 − b 21 0
(^) ∈ S , e
com isso mostramos que a operção a − b ∈ S.
(SA3): Observe agora que a · b =
a^11 b^11 a 21 b 21 0
(^) ∈ S. Assim, temos que a operação a · b ∈ S. Logo,
podemos afirmar que S ⊆ sa A.
Comutatividade: Com base no cojunto dado, não é difícil afirmar que em matrizes não está pre- sente a propriedade comutativa. Considere a matriz do conjunto dado, e uma matriz qualquer, tal que deveria valer as condições que seguem ( a ∗ b ) = ( a − b ) e ( b ∗ a ) = ( b − a ) =⇒ a − b = b − a.
Reescrevendo em termos de matrizes, ∀ a , b ∈ R teremos
a^^0 b 0
^1
(^) e
^1
a^^0 b 0
a^ −^1 −^2 b − 3 − 1
^1 −^ a^^2 3 − b 1
E assim concluímos com o contra-exemplo que não vale a comutativa. Com unidade? se valer 1 ∈ A , ∀ ∈ A , x · 1 = 1 · x = x. No caso das matrizes, temos que a matriz identidade faz o papel de unidade, contudo, pelo con-
junto dado, será impossível. Observe que dado o conjunto em questão teremos
a^^0 b 0
^1
Assim, não sendo possível a presença da matriz identidade. apresentar um par de divisores de zero caso existam A e b são divisores de zero de se as matrizes: a) A , B 6 = 0 , isto é, forem não nulas;
b) ∃ A , B ∈ M 2 (R), A , B 6 = 0, tal que A · B = 0 , isto é, A · B = 0. Suponha A =
a^^0 b 0
(^) e B =
^0
c 0
Disso temos que A · B =
^0
Assim, mostramos que ∃ A , B ∈ M 2 (R), A , B 6 = 0, tal que A · B = 0.
5) S = {^2 an : a ∈ Z, n ∈ N}^ no anel Q;
Vamos mostrar que Q[p 7 ]^ ⊆ sa R com o auxílio da prop.(1)
(SA1): Nesse caso é notório mostrar que o ∈ S , pois se tomarmos a = b = 0, temos:
0 + 0
[p 7
]
= 0 ⇒ 0 ∈ S.
Tomemos agora, ( a + b [p 7 ])^ − ( c + d [p 7 ])^ quaisquer de S. Logo
(SA2): ( a + b [p 7 ])^ − ( c + d [p 7 ])^ = ( a − c ) + ( b − d ) p7. Como a − c , b − d ∈ Q, temos
( a + b [p 7 ]) − ( c + d [p 7 ]) ∈ Q[p 7 ].
(SA3): Observe que
( a + b
[p 7
])
c + d
[p 7
])
= ( ac + 7 bd ) + ( ad + bc ) p 7
Como ac + 7 bd , ad + bc ∈ Q , temos que ( a + b p 7 )^ · ( c + d p 7 )^ ∈ S , portanto S ⊂ R.
6) S = Q[ i ] no anel C;
(SA1): Nesse caso assuma que a = b = 0 , assim não é difícil de ver que 0 + 0 i = 0, logo temos que 0 ∈ S. (SA2): Considere que a + bi , c + di ∈ S. Assim, ( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + ( b − d ) i. Como
sabemos que a − c , b − d ∈ Q temos que ( a + bi ) − ( c + di ) ∈ S.
(SA3): Observe que conforme o que assumimos na proposição anterior, mas alterando a oepração,
temos que ( a + bi ) · ( c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad − bc ) i. Portanto, podemos concluir que S ⊆ sa C.
Comutatividade: ( a ∗ b ) = ( a − b ) e ( b ∗ a ) = ( b − a ) =⇒ a − b = b − a. Portanto, ela será
comutativa. S seria comutativo também pelo critério de herança, pois herda do anel dos C , uma
vez que ele é válida nos complexos (argumento foi a hierarquia).
Unidade? se valer 1 ∈ S , ∀ x ∈ A , x · 1 = 1 · x = x. Contudo, nesse caso em que S está em
parte do Anel dos Q , por hierarquia o conjunto em questão iria herdar a comutatividade com
elemento de unidade. Demonstramos no exercício 2 também a presença de unidade da multipli- cação nos complexos. Porém , se ele contém apenas a parte da parte imaginária i = p−1, ainda assim valeira que 1 ∈ S , pois i^0 = 1, i · 1 = 1 · i = i. divisores de zero caso existam : a e b são divisores de zero de S , se: a) a , b 6 = 0 , isto é, forem não nulos; b) ∃ a , b ∈ S , a , b 6 = 0, tal que a. b = 0, isto é, a. b = 0 =⇒ a. b. Logo, se tomarmos qualquer
. (SA1): Observe que S 1 ⊆ Sa A e S 2 ⊆ Sa. A
=⇒ 0 ∈ S 1 e 0 ∈ S 2 =⇒ 0 ∈ S 1 ⊆ S 2. (SA2): Tomemos a , b ∈ S 1 ∩ S 2. Por um lado, temos a ∈ S 1 e b ∈ S 1. =⇒ a − b ∈ S 1. Por outro lado, a ∈ S 2 e b ∈ S 2. =⇒ a − b ∈ S 2. Com isso podemos afirmar que a − b ∈ S 1 ∩ S 2.
(SA3): Considere agora que a , b ∈ S 1 ∩ S 2 tal que =⇒ a , b ∈ S 1 e a , b ∈ S 2. Assim, se a · b ∈ S 1 , sendo S 1 um anel, e a · b ∈ S 2 com S 2 sendo anel, logo isso implica assumir que a · b ∈ S 1 ∩ S 2. Portanto, satisfeitas SA1 SA2 e SA3 temos que S 1 ∩ S 2. ⊆ Sa A.
2) Calcule o subanel interseção entre os subanéis n Z e m Z do anel Z , para todo n , m ∈ N.
a) Elemento neutro da soma:
Observe que n Z ∩ m Z deverá conter todos os multiplos comuns de n e m. Logo,
n Z ∩ m Z = mdc ( n , m )Z. Pela proposição anterior, mmc ( n , m )Z ⊆ Sa Z.
1.3 Exercício 14: Sobre subanéis centralizadores. Fixe um elemento a perten-
cente a um anel A. Considere o seguinte subconjunto
C ( a ) = { x ∈ A : a · x = x · a }.
1) Mostre que se C ( a ) é um subanel de A. Para mostrar o que foi pedido, precisamos dverificar três passos. Fixando o um elemento a ∈
A , C ( a ) = { x ∈ A : x · a = a · x },
- 0 ∈ C ( a ) Se A é um anel, ele deverá ter o elemento neutro em relação à soma. Tomemos então o zero de A , isto é, 0 · a = 0 = a · 0 , ∀ a ∈ A , no qual o zero representa o elemento neutro de A. Logo, podemos afirmar que 0 ∈ C ( a ).
- S 1 , S 2 ∈ C ( a ) =⇒ S 1 + (− S 2 ) ∈ C ( a ). Sejam x , y , a ∈ C ( a ). Como A é um anel, vale a propriedade distributiva, então calculando S 1 + (− S 2 ), sabendo que S 1 = a · x = x · a e S 2 = a · y = y · a temos
a · x + (− a · y ) a
=⇒ ( x − y ) a = a ( x − y )
. Como podemos verificar, x , y ∈ A , x − y ∈ A ( A é um anel). Assim, a ( x − y ) ∈ C ( a ), ∀ a ∈ A , ∀ S 1 , S 2 ∈ C ( a ).
- S 1 , S 2 ∈ C ( a ) =⇒ S 1 · S 2 ∈ C ( a ). Sejam x , y ∈ C ( a ) e de posse da informação, que vale a propriedade associativa do produto em A, i.e., S 1 = a · x = x · a e S 2 = a · y = y · a em que x , y , a ∈ C ( a ), temos que fazer a comutativa que a igualdade seja válida a ( x · y ) = ( x · y ) a como x , y ∈ C ( a ), então a ( x · y ) = ( a · x ) y = ( x · a ) y = x ( a · y ) = x ( y · a ) = ( x · y ) a. Com isso podemos também afirmar que x · y ∈ C ( a ) Portanto, C ( a ) é sempre um subanel de A, para qualquer valor de a. 2) Calcule C ( a ) para o elemento a =
^1
no anel M 2 (R).
Procuramos por elementos de uma matriz
a^ b c d
pertencentes à M 2 (R) , tais que temos por um
Sejam S 1 = ( x 1 , x 2 ) e S 2 = ( y 1 , y 2 ) , onde x 1 , y 1 ∈ S 1 e x 2 , y 2 ∈ S 2. Calculando S 1 + (− S 2 ), chegaremos em ( x 1 , y 1 ) − ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 − y 1 , x 2 − y 2 )
Como S 1 é um subanel de A, então x 1 − y 1 ∈ S 1. Assim como S 2 é um subanel de B e x 2 − y 2 ∈ S 2. Portanto, ( x 1 − y 1 , x 2 − y 2 ) ∈ S 1 × S 2. SA3. S 1 , S 2 ∈ S 1 × S 2 =⇒ S 1 · S 2 ∈ S 1 × S 2. Sejam S 1 = ( x 1 , x 2 ) e S 2 = ( y 1 , y 2 ) , onde x 1 , y 1 ∈ S 1 e x 2 , y 2 ∈ S 2. Calculando S 1 · S 2 , chegaremos em ( x 1 , y 1 ) · ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 y 1 , x 2 y 2 )
Analogamente, S 1 é um subanel de A, então x 1 y 1 ∈ S 1. Assim como S 2 é um subanel de B, log x 2 y 2 ∈ S 2. Portanto, ( x 1 y 1 , x 2 y 2 ) ∈ S 1 × S 2. (⇐=) Na volta, usaremos a hipótese S 1 × S 2 é subanel de A × B. Verificar-se-á os três itens para mostrar que S 1 é subanel de A e S 2 é subanel de B : SA1. 0 ∈ S 1 e 0 ∈ S 2 Seja 0 = (0 S 1 , 0 S 2 ) o elemento neutro de S 1 × S 2. De fato, podemos verificar que 0 1 é o elemento em relação a soma de S 1 , pois a primeira entrada só terá elementos S 1 , e o 0 dessa entrada deve ser necessariamente o 0 de S 1. Analogamente, 0 2 é o elemento neutro de S 2. Portanto, ambos possuem um zero, isto é, (0, 0) ∈ S 1 × S 2. SA2. x 1 , y 1 ∈ S 1 e x 2 , y 2 ∈ S 2 : x 1 + (− y 1 ) ∈ S 1 e x 2 + (− y 2 ) ∈ S 2. Sejam S 1 = ( x 1 , x 2 ) e S 2 = ( y 1 , y 2 ). Como S 1 × S 2 é subanel de A × B ,
( x 1 − y 1 , x 2 − y 2 ) ∈ S 1 × S 2
Logo, ( x 1 − y 1 ) ∈ S 1 e ( x 2 − y 2 ) ∈ S 2 , no qual x 1 , y 1 ∈ S 1 e x 2 , y 2 ∈ S 2.
- x 1 , y 2 ∈ S 1 e x 2 , y 2 ∈ S 2 : x 1 · y 1 ∈ S 1 e x 2 · y 2 ∈ S 2. Sejam S 1 = ( x 1 , x 2 ) e S 2 = ( y 1 , y 2 ). De fato
( x 1 y 1 ), ( x 2 , y 2 ) ∈ S 1 × S 2
Logo, x 1 y 1 ∈ S 1 e x 2 y 2 ∈ S 2 no qual x 1 , y 1 ∈ S 1 e x 2 , y 2 ∈ S 2. Portando, S 1 é subanel de A e S 2 é subanel de um anel B , se, e somente se, S 1 × S 2 é subanel de A × B.
2) Encontre todos os subanéis do anel Z × Z.
Partimos da mesma ideia utilizada no item anterior. Assim, devemos buscar pelos subanéis em Z.
Com isso, vamos mostrar que n Z, ∀ n ∈ N são, de fato, subanéis de Z: SA1) 0 ∈ n Z
Não é difícil de ver que o zero é, de fato, sempre um elemento de n Z, pois 0 · n = 0.
SA2) S 1 , S 2 ∈ n Z =⇒ S 1 + (− S 2 ) ∈ n Z
Sejam S 1 = nz 1 e S 2 = nz 2 , ∀ z 1 , z 2 ∈ Z. Calculando S 1 + (− S 2 ), chegamos em
nz 1 + (− nz 2 ) = n ( z 1 − z 2 )
em que z 1 − z 2 ∈ Z. Portanto, é possível afirmar que n ( z 1 − z 2 ) ∈ n Z.
Este item é importante para mostrar como n Z são os únicos subanéis de Z. Seja S 1 o menor
elemento positivo de n Z. Suponhamos que S 1 | S 2 , ∀ n ∈ N, Sn ∈ n Z. Digamos, no entanto, que
∃ d 1 ∈ n Z tal que S 1 - d 1. Logo, d 1 = S 1 q + r , no qual 0 < r < S 1 , isto é, r = d 1 − S 1 q.
Como d 1 ∈ n Z e S 1 q ∈ n Z, então r ∈ n Z(pois n Z é fechado na subtração). Porém, se r está no
conjunto e r < S 1 ,chegamos em uma contradição. Portanto, somente os múltiplos de S 1 devem estar nesse conjunto.
SA3) S 1 , S 2 ∈ n Z =⇒ S 1 · S 2 ∈ n Z
Sejam S 1 = nz 1 e S 2 = nz 2 , ∀ z 1 , z 2 ∈ Z. Calculando S 1 · S 2 , teremos
nz 1 · nz 2
= n ( z 1 z 2 n )
onde z 1 , z 2 n ∈ Z. Portanto, n ( z 1 z 2 n ) ∈ n Z.
Como, n Z é um subanel de Z e são os únicos subanéis possíveis desse conjunto, então os únicos
subanéis do anel Z × Z serão n Z × m Z, ∀ m , n ∈ N.
