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Curso de Matemática - Bacharelado
Professor: Lazzarin Disciplina: Anéis e Grupos Estudante: Rafael P Poerschke Matrícula: 201951079
Santa Maria, June 2, 2021
1 Lista 1
1.1 Exercício 1
1) Em Z, a ∗ b = a − b (subtração usual);
Associatividade: ( a ∗ b ) ∗ c = ( a − b ) ∗ c = a − b − c , de outro lado temos a ∗ ( b ∗ c ) = a ∗ ( b − c ) = a − b + c. Portanto, ela não será associativa, pois se tomarmos a = 2 e b = 3 iremos concluir que − 1 − c = − 1 + c , o que, obviamente não é válido. Comutatividade: ( a ∗ b ) = ( a − b ) e ( b ∗ a ) = ( b − a ) =⇒ a − b 6 = b − a. Portanto, ela não será comutativa.
Elemento Neutro: Se existe e ∈ Z, tal que e ∗ a = a , ∀ a ∈ Z, dizemos que e é o elemento neutro
(à esquerda) para ∗. Então, olhando pelo lado direito: a ∗ e = a =⇒ a − e = a =⇒ e = 0 ⇐⇒ a ∗ 0 6 = a. Se olharmos pela esquerda temos que e − a = a =⇒ e = 2 a. Portanto, a operção não posssui elemento neutro à esquerda, contudo ela
admite como elemento neutro à direita - o zero. Isto implica aceitar que existe um único e ∈ Z
que irá satisfazer a condição.
Elemento Simetrizáveis: Dizemos que e ∈ Z, é um elemento simetrizável para essa operação se
existir a ′^ tal que a ′^ ∗ a = e e de elemento neutro = a ∗ a ′. Aí, dizemos que a ′^ é o elemento chamado simétrico para a operação ∗.
a ∗ a ′^ = e =⇒ e = a − a ′. Por outro lado, a ′^ ∗ a = e =⇒ e = a ′^ − a. Portanto, não existe a ′^ ∈ Z
com simétrico. Logo, ⋃( A ) = {;}.
2) Em Q∗, a ∗ b = ab (divisão usual);
Associatividade: ( a ∗ b ) ∗ c = ( ab ) ∗ c = (^) bca , de outro lado temos a ∗ ( b ∗ c ) = a ∗ ( bc ) =
b 2 ca^. Portanto, ela não será associativa, pois se tomarmos^ a^ =^ 2 e^ b^ =^ 3 iremos concluir que 3 c =^23 c , o que, obviamente não é válido. Comutatividade: ( a ∗ b ) = ab e ( b ∗ a ) = ba =⇒ ab 6 = ba. Portanto, ela não será comutativa.
Elemento Neutro: Se existe e ∈ Q, tal que e ∗ a = a , ∀ a ∈ Q, dizemos que e é o elemento neutro
(à esquerda) para ∗. Então, olhando pelo lado direito: a ∗ e = a =⇒ ae = a =⇒ e = 1 ⇐⇒ a ∗ 1 = a. Se olharmos pela esquerda temos que ea = a =⇒ e = 2 a. Portanto, a operção não posssui elementro neutro à esquerda, contudo ela
admite como elemento neutro à direita. Isto implica aceitar que existe um único e ∈ Q que irá
satisfazer a condição.
Elemento Simetrizáveis: Dizemos que e ∈ Q, é um elemento simetrizável para essa operação se
existir a ′^ tal que a ′^ ∗ a = e = a ∗ a ′. Aí, dizemos que a ′^ é o elemento chamado simétrico para a operação ∗.
a ∗ a ′^ = e =⇒ e = aa ′. Por outro lado, a ′^ ∗ a = e =⇒ e = a a ′. Portanto, não existe a ′^ ∈ Q com
simétrico. Logo, ⋃( A ) = {;}.
3) Em A = {0, 1} onde 0 ∗ 0 = 0 ∗ 1 = 1 ∗ 0 e 1 ∗ 1 = 1 ; O conjunto A é um conjunto fechado. Associatividade: A associatividade é verificável para todos os elementos do conjunto. (0 ∗ 0) ∗ 0 = 0 ∗ (0 ∗ 0) = 0 (0 ∗ 0) ∗ 1 = 0 ∗ (0 ∗ 1) = 0 (0 ∗ 1) ∗ 0 = 0 ∗ (1 ∗ 0) = 0 (0 ∗ 1) ∗ 1 = 0 ∗ (1 ∗ 1) = 0 (1 ∗ 0) ∗ 0 = 1 ∗ (0 ∗ 0) = 0 (1 ∗ 0) ∗ 1 = 1 ∗ (0 ∗ 1) = 0 (1 ∗ 1) ∗ 0 = 1 ∗ (1 ∗ 0) = 0 (1 ∗ 1) ∗ 1 = 1 ∗ (1 ∗ 1) = 1 Comutatividade: O conjunto apresenta comutatividade nos elementos. 0 ∗ 1 = 1 ∗ 0 = 0 1 ∗ 1 = 1 0 ∗ 0 = 0. Elemento Neutro: O elemento neutro do conjunto existe, pois 0 ∗ = 1 = 0
1 ∗ ( a + bi ) = a + bi.
Elemento Simetrizáveis: Vamos procurar quais seriam os a + bi queadmi t em c+di t al que (a+bi)∗( c + di ) = 1 ⇐⇒ ( ac + bd ) ∗ ( bc + ad ) i = 1
=⇒
ac − bd = 1 bc + ad = 0
=⇒
ac = 1 + bd ad = − bc
=⇒
c = 1 + abd =⇒ a 6 = 0 c = − bac =⇒ b 6 = 0
Portanto, temos que existe inverso em C para todo a + bi 6 = 0.
6) Em R, a ∗ b = a − 2 b (nos números Reais);
Associatividade: ( a ∗ b ) ∗ c = a − 2 b ∗ c = a^ −^ b 4^ − 2 c , de outro lado temos a ∗ ( b ∗ c ) = a ∗ b − 2 c = 2 a^ − 4 b^ +^ c. Portanto, ela não será associativa, pois ( a ∗ b ) ∗ c 6 = a ∗ ( b ∗ c ). Comutatividade: a ∗ b = a − 2 b = b ∗ a 6 = b − 2 a. Logo, a operação não será comutativa, pois a ∗ b 6 = b ∗ a. Elemento Neutro: a ∗ e = a =⇒ a − 2 e = a =⇒ e = − a. Sendo assim, a operação em questão não possui elemento neutro (somente à esquerda).
Elemento Simetrizáveis: a ∗ a ′^ = e =⇒ a − 2 a ′ = a =⇒ a ′^6 = − a. Portanto, não existe a ′^ ∈ R
com simétrico, exceto o zero, tal que a ∗ a ′^ = a ′^ ∗ a = 0. Logo, ⋃( A ) = {0}.
7) Em M 2 (R) , (com entrada nos reais em ai j ),
a^11 a^12 a 21 a 22
b^11 b^12 b 21 b 22
a^11 b^11 −^ a^12 b^21 a^11 b^12 −^ a^12 b^22 a 21 b 11 − a 22 b 21 a 21 b 12 − a 22 b 22
Associatividade:
( A ∗ B ) ∗ C =
( a^11 b^11 −^ a^12 b^21 ) c^11 −^ ( a^11 b^12 −^ a^12 b^22 ) c^21 ( a^11 b^11 −^ a^12 b^21 ) c^12 −^ ( a^11 b^12 −^ a^12 b^22 ) c^22 ( a 21 b 11 − a 22 b 21 ) c 11 − ( a 21 b 12 − a 22 b 22 ) c 21 ( a 21 b 11 − a 22 b 21 ) c 12 − ( a 21 b 12 − a 22 b 22 ) c 22
A ∗ ( B ∗ C ) =
a^11 ( b^11 c^11 −^ b^12 c^21 )^ −^ a^12 ( b^21 c^11 −^ b^22 c^21 )^ a^11 ( b^11 c^12 −^ b^12 c^22 )^ −^ a^12 ( b^21 c^12 −^ b^22 c^22 ) a 21 ( b 11 c 11 − b 12 c 21 ) − a 22 ( b 21 c 11 − b 22 c 21 ) a 21 ( b 11 c 12 − b 12 c 22 ) − a 22 ( b 21 c 12 − b 22 c 22 )
Portanto, ∀ A , B , C ∈ M 2 (R), ( A ∗ B ) ∗ C = A ∗ ( B ∗ C ) é associativa.
Comutatividade:
A ∗ B =
a^11 a^12 a 21 a 22
b^11 b^12 b 21 b 22
a^11 b^11 −^ a^12 b^21 a^11 b^12 −^ a^12 b^22 a 21 b 11 − a 22 b 21 a 21 b 12 − a 22 b 22
B ∗ A =
b^11 b^12 b 21 b 22
a^11 a^12 a 21 a 22
b^11 a^11 −^ b^12 a^21 b^11 a^12 −^ b^12 a^22 b 21 a 11 − b 22 a 21 b 21 a 12 − b 22 a 22
Portanto, ∀ A , B , ∈ M 2 (R), A ∗ B = B ∗ A não será comutativa, pois os elementos não
serão mesmos nas diagonais da matriz resultado da operação.
Elemento Neutro: A ∗ e =
a^11 e^11 −^ a^12 e^21 a^11 e^12 −^ a^12 e^22 a 21 e 11 − a 22 e 21 a 21 e 12 − a 22 e 22
a^11 a^12 a 21 a 22
Ao resolveros o sistema teremos como solução: e 11 = 1, e 12 = e 21 = 0 e e 22 = −1. Matricial-
mente, teríamos
e^11 e^12 e 21 e 22
^1
Sendo assim, é poss;ivel concluir que E não atua como elemento neutro da operação, pois se a matriz A for operada por E , não teremos A como resultado da operação. Elemento Simetrizáveis: Em matrizes, para se ter seu inverso precisamos estabelecer que o determinante de A deverá ser
diferente de zero, isto é, det ( A 6 = 0). Logo, ⋃( A ) = { A ∈ M 2 (R) : a 11 a 22 − a 21 a 12 6 = 0}.
1.2 Exercício 8
1) A = 5 Z
Em matrizes, para se ter seu inverso precisamos estabelecer que o determinante de A deverá ser diferente de zero, isto é, det ( A 6 = 0. Logo, ⋃( A )
n Z = { nk | k ∈ Z}
. a) Elemento neutro da soma:
b) O formato do oposto de um elemento qualquer: Agora, tomando o par ordenado: a ′^ = (− a , − b ), ( a , b ) + (− a , − b ) = (− a , − b ) + ( a , b ) = ( a − a , b − b ) = (0, 0).
Portanto, ∀ a ∈ Z × Z, ∃ a ′^ ∈ Z × Z tal que a + a ′^ = a ′^ + a = x.
c) Elemento neutro do produto: Tomando um novo par, tal que y = (1, 1), teremos: ( a , b ).(1, 1) = (1, 1).( a , b ) = ( a .1, b .1) = ( a. b ).
Portanto, ∀ a ∈ Z × Z, ∃ y ∈ Z × Z tal que a. y = y. a = a.
d) dar o formato inverso de um elemento qualquer, decidindo quando ele existe ou não no anel:
Nem todos os elementos em Z×Z tem inverso. Isso ocorre pois ( a , b ).( c. d ) = ( c. d ).( a. b ) =
( ac , bd ), no qual c deve ser inverso de a e d deve ser o inverso de b. Mas os pares ordenados só estão definidos nos inteiors, logo só têm inverso os pares ordenados tais que os inversos de a e b sejam números inteiros; e como sabemos, os únicos inteiros com inverso inteiro são 1 e -1.
Portanto, os elemos com inverso em Z × Z são (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1).
e) apresentar um par de divisores de zero caso existam: Um divisor de zero é um elemento diferente de zero que, multiplicado por um outro ele- mento também diferente de zero, gera o zero. ( a , b ).( c. d ) = (0, 0) =⇒ ( ac , db ) = (0, 0) =⇒ ac = 0 e bd = 0. É necesário que a = 0 ou c = 0 , assim como b = 0 ou d = 0. Sendo assim, basta tomar 0 em pares ordenados diferentes e em entradas alternadas, que tere- mos pares ordenados não-nulos tais que ( a , b ).( c. d ) = (0, 0). Um exemplo é o par (1, 0) e (0, 2): (1, 0).(0, 2) = (0, 2).(1, 0) = (1.0, 0.2) = (0, 0).
3) A = Z 6
a) Elemento neutro da soma:
Se tomarmos a classe do zero ( x = 0) (essa classe e composta ∀ a ∈ Z, tal que a ≡ 0 (mod
7)), teremos: a + 0 = (^0) ︸ ︷︷ ︸ + a comutativada soma
= a + 0 = a (classe do a). Portanto, ∀ a ∈ Z 6 , ∃ x ∈ Z 6 tal que a + x = x + a =
a.
b) O formato do oposto de um elemento qualquer:
a é 6 − a , pois a + 6 − a = 6 = 0, isto é Se a classe a for fixada a fim de se procuar x , temos a + x = 0 ⇐⇒ a + 0 = 0 =⇒ n |( a + x − 0) =⇒ n |( a + x ) =⇒ a + x tem que ser um múltiplo de n
∴ ∃ k ∈ Z : − a + nk = ( n − a ) + n ( k − 1)
x = n − a é o oposto de a x = − a = n − a.
c) Elemento neutro do produto: Não conhecendo a classe, tomamos um candidato x
a. x = a , ∀ a ∈ Z, ∃ x ∈ Z tal que a. x = x. a = a
a. x = a =⇒ n | ( a. − a ) =⇒ n | a ( x − 1) como é para todo a , irá funcionar para a = 1 e, assim, n | ( x − 1)
∴ x − 1 ∈ n Z =⇒ x ∈ (1 + n Z) =⇒ x = 1.
Uma segunda maneira seria tomar x = 1, e assim temos: a .1 = a .1 = a
∴ ∀ a ∈ Z 6 , ∃ x ∈ Z 6 tal que a. x = x. a = a. Então, ele é o elemento neutro.
d) dar o formato inverso de um elemento qualquer, decidindo quando ele existe ou não no anel: Os elementos que tem inverso seguem a definição: a tem inverso ⇐⇒ mdc ( a , n ) = 1 ⇐⇒ a. x = 1.
Assim, U (Z 6 ) = {1, 5}
e) apresentar um par de divisores de zero caso existam:
a e b são divisores de zero de Z 6 , se:
a) a , b 6 = 0 , isto é, forem não nulos;
b) ∃ a , b ∈ Z, a , b 6 = 0, tal que a. b = 0, isto é, a. b = 0 =⇒ a. b é um múltiplo de 6.
Os elementos que são divisores de zero de Z 6 são: 2, 3 ; 4 =⇒ a , b ∈ {2, 3, 4}.
Agora, Z será considerado sem dividores de zero quando: a. b = 0 =⇒ a = 0 ou b = 0.
4) A = Z 5
a) Elemento neutro da soma:
Se tomarmos a classe do zero ( x = 0) (essa classe e composta ∀ a ∈ Z, tal que a ≡ 0 (mod
a e b são divisores de zero de Z 5 , se:
a) a , b 6 = 0 , isto é, forem não nulos;
b) ∃ a , b ∈ Z, a , b 6 = 0, tal que a. b = 0, isto é, a. b = 0 =⇒ a. b é um múltiplo de 5. Portanto, não
existem divisores de zero em Z 5.
5) A = M 2 (Z 3 )
a) Elemento neutro da soma:
Se tomarmos X como uma matriz nula de dimensão 2, tal que X =
^0
. Como M 2 (Z)
é um anel, decorre daí que a soma será comutativa. Logo, basta verificar que A + X = A. Assim temos a^ b c d
^0
a^ +^0 b^ +^0 c + 0 d + 0
a^ b c d
. testando também a comutativa, veremos que tam-
bém é válido: ^0 0 0
a^ b c d
^0 +^ a^^0 +^ b 0 + c 0 + d
a^ b c d
Portanto, ∀ A ∈ M 2 (Z 3 ) , ∃ X ∈ M 2 (Z 3 ) tal que A + X = A.
b) O formato do oposto de um elemento qualquer:
Se tomarmos A ′^ como uma matriz do tipo A ′^ =
^3 −^ a^^3 −^ b 3 − c 3 − d
. De maneira análoga ao
item anterior, será suficiente verificar que A + A ′^ = X. Teremos assim a^ b c d
^3 −^ a^^3 −^ b 3 − c 3 − d
^3
^0
. A comutativa é igualmente válida
^3 −^ a^^3 −^ b 3 − c 3 − d
a^ b c d
^3
^0
. Portanto, ∀ A ∈ M 2 (Z 3 ) , ∃ A ′^ ∈ M 2 (Z 3 ) tal que
A + A ′^ = X.
c) Elemento neutro do produto:
Tomaremos um candidato^ Y^ como uma matriz identidade de dimensão 2, tal que^ Y^ = ^1 0 1
. Primeiro, é possível verificar que vale A. Y = A , pois
a^ b c d
^1
a .1^ +^ b .0^ a .0^ +^ b. c .1 + d .0 c .0 + d.
a^ b c d
A seguir, verificamos que o outro lado, no qual também válido Y. A = A , isto é ^1 0 1
a^ b c d
1. a^ +^ 0. b^ 0. a^ +^ 1. b
- c + 0. d 0. c + 1. d
a^ b c d
Portanto, ∀ A ∈ M 2 (Z 3 ) , ∃ Y ∈ M 2 (Z 3 ) tal que A. Y = Y. A = A.
d) dar o formato inverso de um elemento qualquer, decidindo quando ele existe ou não no anel: Nas matrizes, podemos escrever o invero de um número como:
A. A −^1 = I 2 =
^1
. Assim, considerando que A −^1 = (^) det A^1. A co f , a matriz irá admitir
inversa por A −^1 = (^) ad^1 − bc.
a^ − b − c d
(^) se e somente se ad − bc 6 = 0.
Portanto, para considerar um elemento inverso em M 2 (Z 3 ) , devemos ter em conta que
somente existirá se ad − bc 6 = 0, isto é, o determinante for não nulo. No caso de ad − bc = 0, ou
seja, com determinante nulo, o elemento de M 2 (Z 3 ) não terá inverso.
e) par de divisores de zero:
Tomando A =
a^^0 0 0
, e B =
^0
c 0
, teremos
a^^0 0 0
^0
c 0
^0
E o mesmo é válido se
^0
c 0
a^^0 0 0
^0
Portanto, existem elementos não nulos A e B que pertencem a M 2 (Z), tal que a.b=0, para A , B 6 = 0
é válida.
6) A = M 2 (Z)
a) Elemento neutro da soma:
Se tomarmos X como uma matriz nula de dimensão 2, tal que X =
^0
. Como M 2 (Z)
é um anel, decorre daí que a soma será comutativa. Logo, basta verificar que A + X = A. Assim temos
Portanto, existem elementos não nulos A e B que pertencem a M 2 (Z), tal que A , B , para A , B 6 = 0
é válida.
1.3 Exercício 9
a) Sejam ( A , +, ·) um anel qualquer e x , y , z ∈ A. Mostre que a) 0. x = x .0 = 0; A propriedade do elemento neutro nos diz que ∃ e ∈ A tal que x ∗ e = e ∗ x = x , assim: (IDA) Se A é um anel, então: 0. x = x .0 = 0 ⇐⇒ (0 ︸ +︷︷ 0). x ︸
Distributiva^ Prop.
= 0 =⇒ 0.︸ x + (^) ︷︷0. x = (^0) ︸ adicionando aos doislados -(0.x)
=⇒ x .0 = 0
(VOLTA) x .0 = 0. x = 0 ⇐⇒ x ︸ .(0︷︷ + 0)︸
Distributiva^ Prop.
= 0 =⇒ x ︸ .0 + (^) ︷︷ x .0 = (^0) ︸ adicionando aos doislados -(x.0)
=⇒ 0. x = 0.
b) Cada x , tem um único oposto. Use isso para provar que −( x. y ) = (− x ). y = x .(− y ); Inverso aditivo (oposto): Para cada a ∈ A , ∃ − a ∈ A , tal que a + (− a ) = 0. (IDA) −( x. y ) = (− x ). y ⇐⇒ − ︸ ( x. y ) +︷︷ ( x. y ) = (^0) ︸ oposto de-(x.y)
=⇒ y .( x − x ) = 0 =⇒ y .(0) = 0, que é válido, como
mostramos no item anterior. (VOLTA) −( x ). y = x .(− y ) ⇐⇒ − ︸ ( x ). y + {−︷︷[(− x ). y ]}^ = (^0) ︸ oposto de-(x.y)
=⇒ − x. y + x. y = 0 =⇒ x (− y + y ) = 0 =⇒
x .(0) = 0.
c) (− x ).(− y ) = x y ; (− x ).(− y ) = x y =⇒ −[ x .(− y )] =⇒ x ︸ .[−︷︷(− y )]︸ pelo itemb
=⇒ y. x.
d) x ( y − z ) = x. y − x. z ; x. y − x. z =⇒ x .( y − z ) =⇒ x [ y + (− z )] =⇒ x y + x .(− z ) =⇒ (^) ︸ x y +︷︷ (− xz ︸)
x em evidência^ pelo item b e
=⇒ x ( y − z ).
e) (−1). x = − x ;
- x = 0 =⇒ (− 1 + 1). x = 0 =⇒ −︸ 1 x +︷︷ 1 x = (^0) ︸ dois lados^ -1x nos
=⇒ − x = 0 Não sei se fui claro, talvez: Note que
1 + (−1) = 0 logo temos que [1 + (−1) x = 0. x , que pelo item (a), nos leva a
1. x + (−1). x = 0 =⇒ x + (−1) = 0 e como o seu oposto será único, decorre daí que (−1) x = − x
f ) (−1)−^1 = −1; Por (a), sabemos que (−1).(−1) = 1.1 , bem como (−1).(−1) = 1 , logo o inverso multiplicativo de - será ele mesmo. Não sei se o que demosntrei aqui está de acordo, mas segue: (−1)−^1 ⇐⇒ (^) (−^1 1) ⇐⇒
− 11 =⇒ − 1 = (−1).^
g) ( xn^ ) m^ = xnm^ ;
(−1)−^1 ⇐⇒ (−^1 1) ⇐⇒ − 11 =⇒ − 1 = (−1).^
h) ( x + y )^2 = x^2 + 2 x y + y^2 ; Isso nem sempre valerá para matrizes quadradas
x=
^1
(^) e, y=
^2
^12
^14
2) Encont r et odososdi vi sor esdezer odosan é i s :Z 8 e Z 24.
O conjunto ⋃^ (Z n ) = { a ∈ Z n : mdc ( a , n ) = 1} representa os elementos invertíveis de Z. Caso
contrário, são divisores de zero. No anel Z 8 , temos as classes: {1, 2, 3, · · · , 7}. Os únicos com
mdc 1 formam o subconjunto que existe simétrico multiplicativo: ⋃^ (Z 8 ) = {^ 3, 5, 7}. Portanto,
os divisores próprios de zero de Z 8 são: {2, 4, 6}.
No anel Z 24 , temos as classes: {1, 2, 3, · · · , 17}. Os únicos com mdc = 1 formam ⋃^ (Z 24 ) =
{3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} (^) com inversos multiplicativos. Portanto, os divisores próprios de zero de
Z 24 são: {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22}
5) Mostre que Z 6 a equação x^2 − x = 0 tem quatro soluções.
Classes de Z 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}^ Se tomarmos:
0 : 0^2 − 1 = 0 =⇒ 0 = 0 X
1 : 1^2 − 1 = 0 =⇒ 0 = 0 X
2 : 2^2 − 1 = 0 =⇒ 3 = 0 X
3 : 3^2 − 1 = 0 =⇒ 8 = 0 X
4 : 4^2 − 1 = 0 =⇒ 15 = 0
5 : 5^2 − 1 = 0 =⇒ 20 = 0
Portanto, {0, 1, 2, 3}^ são as soluções uma vez que deixam resto zero.
Lembre que ba = − ab =⇒ ba = (−1) ab Logo, (−1) ab = ab. E assim provamos que A é um anel comutativo.
1.4 Exercício 10
1) Um anel não comutativo: DEF (Comutatividade) Seja A um anel. Dados a , b , c ∈ A , definimos o comutador de a e b (ou colchete de Lie) por ser: [ a , b ] = ab − ba , e o associador por ser: ( a , b , c ) = ( ab ) c − a ( bc ). Dizemos que um anel é comutativo se [a, b] = 0 para todo a , b ∈ A e é associativo se ( a , b , c ) = 0 para todo a , b e c ∈ A.
Tipicamente, o exemplo de anel não comutativo são os anéis de matrizes do tipo Mn (R) ≥ 2. Ob-
serve que um exemplo de anel não comutativo seria M 2 (R), pois tomando
A =
a^ b c d
B =
e^^0 0 f
, teremos que AB 6 = BA ⇐⇒
ae^ b f ce d f
ea^ eb f c f d
∀ e , f ∈ R, tal que e , f 6 =
1 ∧ e , f > 0. 2) Um anel comutativo sem unidade: DEF (Anel unitário) Um anel unitário é um conjunto A que tem duas operações binárias + e · (soma e produto), va- lendo as seis propriedades da soma, tais que: (1) A com a operação + é um grupo comutativo com elemento neutro 0 e o inverso (aditivo) de a é a ; (2) A com a operação · é associativa e existe um elemento neutro 1. Logo se o conjunto A tem as duas propriedades ele estará munido de soma e produto , e será escrito sempre como ( A , +, ·); (3) Propriedade distributiva (compatibilidade entre soma e produto): a ( b + c ) = ab + ac e ( a + b ) c = ac + bc ∀ a , b , c ∈ A. Unitário refere-se à existência do elemento 1 (elemento neutro do produto). Um anel A é dito comutativo se a sua operação de multiplicação é comutativa, isto é, se ab = ba ∀ a , b ∈ A. E unitário se valer 1 ∈ A , ∀ ∈ A , x · 1 = 1 · x = x.
Assim, considere o conjunto A = n Z = { nx : x ∈ Z} = {· · · , − 2 n , − n , 0, n , 2 n , · · · } valem a soma
e produto, contudo se tomarmos um n > 1, como por exemplo, 2Z, ele seria comutativo mas sem
unidade, uma vez que 1 não faz parte do conjunto A = 2 Z.
3) Um anel não comutativo e sem unidade:
Decorre de 10.1 e 10.2, como vimos, que se tomarmos M 2 (2Z) teremos um anel não comutativo e
sem unidade.
4) Um anel sem unidade que tenha divisores de zero:
DEF (Domínio de Integridade) Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero. Um domínio de integridade também é chamado de anel de integridade ou simplesmente domínio. A estrutura algébrica de um conjunto depende das operações consideradas. Com as operações
usuais em Z o conunto sera um domínio, mas se definirmos as operações em Z tal como segue,
ele não será um domínio
- a ∗ b = a + b ;
- a. b = 0. Sendo assim, definimos ∗ como a operação usual da soma, que implica conservar as propriedade descritas pelos axiomas (A1), (A2), (A3) e (A4) listadas no item que segue (5 Um anel finito). Ob- serve que valem também
- Associativa do Produto: a. ( b. c ) = 0 = ( a. b ). c ;
- Distributiva do Produto: a. ( b ∗ c ) = 0 = 0 + 0 = ( a. b ) + ( a. c ) = ( a. b ) ∗ ( a. c ), ( a^ ∗^ b ).^ c^ =^0 =^0 +^0 =^ ( a^.^ c ) +^ ( b^.^ c ) =^ ( a^.^ c ) ∗^ ( b^.^ c ).
Não é difícil de ver que (Z, ∗, .) é um anel uma vez que conserva as propriedades A1...A6, bem
como é comutativo, uma vez que vale a. b = b. a ∀ a , b ∈ Z. Mas, (Z, ∗, .) não possui
unidade:
- Suponha que x ∈ Z é o candidato a unidade, então, teremos 5 = x. 5 = 0, que indica uma con-
tradião. Iso nos leva a concluir que (Z, ∗, .) é um anel comutativo mas sem unidade, e portanto
não é domínio. Observe ainda que (Z, ∗, .) é um anel com divisores de zero, pois 2 6 = 0, 5 6 = 0 e
5) Um anel finito: Seja A = { e , a } um conjunto de dois elementos, pois valem as os axiomas (A1) Associativa da Soma; (A2) Comuitativa da soma; (A3) Elementro neutro da soma; (A4) Inverso aditivo; (A5) Associativa do produto e (A6) distributiva do produto. Não precisa demonstrar essa, né professor? Ufa...
6) Um corpo que contenha os racionais e que esteja contido nos Reais:
citados: (A1) Associativa da Soma: não tem elemento para associar, então ele vale; (A2) Comuitativa da soma: a + e = e + a = 1; (A3) Elementro neutro da soma: Se 0 A = e , então e + e = e e e + a = a ; (A4) Inverso aditivo: a é o inverso aditivo dele memso, bem como e tem universo aditivo e; (A5) Associativa do produto: decorre que vale, como em A2; (A6) distributiva do produto:.
10) Um anel finito que tenha divisores de zero:
Não é difícil encontrar matrizes A , B ∈ An (R) tais que AB 6 = BA. Vale para o Binômio de
Newton também: ( A + B )^2 6 = A^2 + 2 AB + B^2
11) Mostre que Z munido com
SOMA: x ⊕ y = x + y + 1; PRODUTO: x Ø y = x. y + x + y ; É anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Vamos verificar:
1) (Z, ⊕, Ø) é grupo Comutativo na soma
a) Esperamos que seja válido: a ⊕ b = b ⊕ a
Assim, x + y + 1 = y + x + 1 X
b) ( a ⊕ b ) ⊕ c = a ⊕ ( b ⊕ c ) ( x + y + 1) ⊕ z = x ⊕ ( y + z + 1)
x + y + 1 + z + 1 = x + 1 + y + z + 1 X
c) Existência de elemento neutro: Para valer a propriedade temos que mostrar que a ⊕ e = a : x + e + 1 = x =⇒ e = −1. Logo, x + (−1) + 1 = x será válida. Como o grupo é associativo, não preciso olhar à direita e à
esquerda, bastando observar por apenas um dos lados. X
d) Todos elementos são simetrizáveis, se, e somente se, a + a ′^ = 1 (pelo fato de ser comutativo, fazemos apenas para um lado):
x + x ′^ + 1 = 1 =⇒ x ′^ = − x ⇐⇒ ∴ ∀ x ∈ Z, − x ∈ Z X.
Assim, todos elementos são simétrizávei e isso nos garante dizer que (Z, ⊕) é um grupo comuta-
tivo.
- Associatividade no operador Ø : ( x Ø y ) Ø z = x Ø ( y Ø z ) =⇒ ( x. y + x + y ) Ø z = x Ø ( y. z + y + z ) =⇒ ( x. y + x + y ). z + ( x. y + x + y ) + z = x .( y. z + y + z ) + x + ( y. z + y + z )
=⇒ x y z + xz + y z + x y + x + y + z = x y z + x y + xz + x + y z + y + z X
Não é difícl verificar que ambos os lados da igualde sao idênticos, portanto a Associatividade é válida para o operador Ø.
- Verificar a distributividade do operador Ø em relação ao operador ⊕. a Ø ( b ⊕ c ) = ( a Ø b ) ⊕ ( a Ø c ) (1) ( a ⊕ b ) Ø c = ( a Ø c ) ⊕ ( b Ø c ) (2) Iniciamos então por (1), tal que de (1) aplicando as operações passa a ser escrito x Ø ( y + z + 1) = ( x. y + x + y ) ⊕ ( x. z + x + z ) x .( y + z + 1) + x + ( y + z + 1) = ( x. y + x + y ) + ( x. z + x + z ) + 1
x y + xz + x + x + y + z + 1 = x y + x + y + xz + x + z + 1 X
Pelo outro lado, (2) aplicando as operações passaria a ser escrito por ( x + y + 1) Ø z = ( x. z + x + z ) ⊕ ( y. z + y + z ) ( x + y + 1). z + ( x + y + 1) + z = ( x. z + x + z ) + ( y. z + y + z ) + 1 xz + y z + z + x + y + 1 + z = xz + x + z + y z + y + z + 1
Até o momento demonstramos que nosso grupo é un Anel, contudo nos falta mostrar a não exis- tência de dividores de zero. Para tal, lembremos que para a , b elementos não nulos de A , a ∈ A é chamado de divisor de zero do anel, se equistir um elemento não-nulo (diferente do zero do anel) b que tal que: a. b = (^0) A à esquerda; b. a = (^0) A à direita. Portanto, um anel será dito sem divisor de zero quando:
a. b = 0 A =⇒ a = 0 ou b = 0, ∀ x , y ∈ A. Sabemos que anéis nos R e nos Z são anéis sem
divisores de zero
