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Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática - Departamento de Matemática Disciplina : MAT AO1 – Geometria Analítica Última atualização: 2005
4ª Lista de Exercícios - Superfícies
1. Determine as equações das superfícies esféricas, definidas pelas seguintes condições: a) Centro no ponto C( -4, 2, 3) e é tangente ao plano α: 2x - y - 2z + 7 = 0. b) De diâmetro AB, onde A(6, 2, -5) e B(-4, 0, 7). c) Centro na interseção de S: x = 4( z - 1 ) com o eixo Oz e é tangente à reta r: x = 2y = z - 2. d) O centro pertence à reta r : X = (-2, 0, 0) + t( 0 ,0 ,1), t ∈ℜ e é tangente aos planos: α x - 2z - 8 = 0 e β: 2x - z + 5 = 0. e) O centro pertence a reta m : X = (0 , 2, 0) + t( 1, 0, 0 ), t ∈ℜ, é tangente ao plano π: x + y - 3 z + 3 = 0 e à reta s: X = (0 , 1, - 3) + h( 0, 2, 1 ), h ∈ℜ. 2. Seja S uma superfície esférica de equação x + y + z + 3x - 7y + 4z - 3 = 0. Verifique a posição relativa dos pontos dados a seguir em relação a S ( interior, exterior ou sobre S). a) O (0, 0, 0 ) b) P ( 1, 5, 2 ) c) Q ( 1, 1, 1 ) d) R ( 0, 2, 1). 3. Determine o raio e as coordenadas do centro do círculo, que se obtém seccionando a superfície esférica S: x + y + z = 16 com o plano α: x + y + z - 1 = 0. 4. Em cada item abaixo, determine uma equação da superfície cilíndrica de diretriz C cujas geratrizes são paralelas à reta r. Esboce essas superfícies.
c) C: (^)
x 0
y 2 4(z 2) e r: 3
z 2 1 x y^1 = − −
d) C: (^)
y 0
4x 2 z^2 4z y^20 e r: t R z 2 2t
y 1 t
x t ∈
5. Dada a superfície cilíndrica S, determine em cada item, uma equação da diretriz e a direção da geratriz. Esboce as superfícies. a) S: (x - 4) + 4(y + 3) - 16 = 0 b) S : y - 4 y - 4z – 4 = 0
6. Em cada um dos itens abaixo, determine uma equação da superfície de revolução, gerada pela rotação da curva C, em torno do eixo especificado. Esboce a superfície.
y 3 0 , eixos: x-^40 y 3 0 f) C: x-^20
7. Mostre em cada um dos itens a seguir, que a equação dada representa uma superfície de revolução e determine as equações do eixo de revolução e de uma geratriz num plano contendo o eixo. Esboce a superfície. a) S: x + y - 2z = 0 b) S : 2x + 2z - y - 8 = 0 c) S : e - y - z = 0 d) S : x y + z y – 1 = 0 e) S : (x - 1) - 5 (y - 3) - 5 ( z + 2 ) - 25 = 0 f) S : 4 ( x - 2 ) + ( y - 4 ) + 4 ( z + 1 ) -16 = 0 8. Considere a superfície S : x - 2 y + x z - 4 z + 6 = 0. a) Determine uma equação da superfície simétrica de S em relação ao eixo Ox. b) Verifique se S é simétrica em relação ao plano y O z. c) Determine e identifique a interseção de S com os planos α: x = 2 e β: z = 4. 9. Identifique e esboce cada superfície dada a seguir. a) S: 16 x + 9 y + 4 z - 144 = 0. b) S: ( x - 2 ) - 2 y = 0. c) S: 4 x - 9 ( y - 2) + 4 z = 0. d) S: x + y + z + 8 x + 4 y - 6 z + 13 = 0. e) S: 36 x - 16 y - 9 z - 144 = 0. f) S: 9 y - x - 9 = 0.
Superfície cilíndrica parabólica oblíqua Superfície cilíndrica elíptica oblíqua
e) 2 x + 3 z - 6 = 0
Superfície cilíndrica elíptica reta Superfície cilíndrica parabólica reta 6. a) x - 2 y - 2 z - 1 = 0 b) x + y - 2 z - 1 = 0
Hiperbolóide de revolução de duas folhas Hiperbolóide de revolução de uma folha
c) ( y + 10 ) - 4 x - 4 z = 0 d) ( y + 2 ) + ( z - 2 ) + x - 5 = 0
Superfície cônica de revolução Parabolóide de revolução (esboço no sist. O´x´y´z´)
e) 9 ( x - 1 ) + 9 ( y - 2) + ( z + 2 ) - 9 = 0 f) ( x - 4 ) + ( y + 3 ) - 4 = 0
Elipsóide de revolução(esboço no sist. O´x´y´z´) Cilindro de revolução 7. a) Eixo Oz e G:
x 0
y 2 z b)Eixo Oy e G:
x 0
z 2 21 (y 8)
c) 1) P: (^)
x 2
y 2 (z 5) Parábola com vértice em V(2,0,5)
c) 2) H: (^)
z 4
(x 2)^2 2y^214 Hipérbole com centro em C(-2,0,4)
9. a) 16 x + 9 y + 4 z - 144 = 0 b) S: ( x - 2 ) - 2 y = 0.
Elipsóide Sup. Cilíndrica parabólica reta
c) 4 x - 9 ( y - 2) + 4 z = 0 d) x + y + z + 8 x + 4 y - 6 z + 13 = 0.
Superfície cônica de revolução Superfície esférica
e) S: 36 x - 16 y - 9 z - 144 = 0 f) S: 9 y - x - 9 = 0
Hiperbolóide de duas folhas Superfície cilíndrica hiperbólica reta
g) S: 4 y + 9 z - 36 y = 0. h) S: 4 y - 9 x - 36 z = 0.
Superfície cilíndrica elíptica reta Parabolóide hiperbólico(sela)
i) S: x - 4 x + 4 y + 16 z - 12 = 0 j) S: 12 x + 9 y - 16 z = 0.
Elipsóide Parabolóide Elíptico
k) S: 9 x - 4 y + 36 z - 36 x - 8 y - 72 z + 32 = 0 l) S: 4 ( x + 4 ) - ( y + 2 ) + 2 ( z - 1 ) = 0
