Análise de Estruturas I - Tabelas de Análise de Estruturas, Notas de estudo de Engenharia Civil

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Departamento de Engenharia Civil

ANÁLISE DE ESTRUTURAS I

Tabelas de Análise de Estruturas

Grupo de Análise de Estruturas

IST, 2011

Formulário de Lajes

Rotações: (^) x w x

= − (^) y w y

θ n = θ x nx +θy ny

Relação curvatura-deslocamento: 2 xx 2

w x

2 yy 2

w y

2 xy

w x y

Integrabilidade de curvaturas:

xx^ xy

yy xy

y x

x y

χ^ χ

Relações constitutivas: 1 0 1 0 0 0 1

xx xx yy f yy xy xy

m m D m

2

xx xx yy yy f xy xy

m m D m

Rigidez de flexão da laje:

3 f 12(1 2 ) D Eh

Momentos em faceta de orientação arbitrária: mnn = mxx n^2 x + 2 mxy n nx y +m (^) yy n^2 y

m nt = (^) ( m (^) yy − m (^) xx ) n nx y + mxy (^) ( n^2 x −n^2 y)

Força de canto: R = (^) a mnt (^) b= mnt +^ −mnt−

Esforço transverso: (^) x xx xy m m v x y

∂^ ∂

= + (^) y yy^ xy

m m v y x

v n = v nx x +v ny y

Esforço transverso efectivo: (^) x x xy

m r v y

= + (^) y y xy

m r v x

rn vn m^ nt t

Equação de equilíbrio:

2 2 2 2 2 2

mxx myy^ mxy q x y x y

∂^ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Eq. de Lagrange:

4 4 4 (^4 22 2 4) f

w w w q x x y y D

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Derivadas direccionais f^ f^ nx fny n x y

( (^) y ) x

f f (^) n fn t x y

T1.

x

y

L

a b

P Caso particular: a=b=L/

M ( x=L =PL

EI

y x L PL 48

3 = =

M x

P

b L x^ x^ a P a

a L x^ a^ x^ L

⎦⎥^ ≤^ ≤

[ (^ ) ]

[ (^ )^ (^ )^ (^ ) ]

y x

P

LEI ab^ b^ a x^ bx^ x^ a P LEI a^ b^ a^ a^ b^ ab^ a^ x^ a b^ a x^ ax^ a^ x^ L

3

3 2 2 2 3

T1.

x

y

L

a b

M

Caso particular: momento a meio-vão

⎪

⎪ ⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥ ≤ ≤ ⎦

⎤ ⎢ ⎣

⎡ (^) − + − +

⎥ ≤ ≤ ⎦

⎤ ⎢ ⎣

⎡ (^) − +

L L x Lx x L x L LEI

M

L x x x L LEI

M yx 2

3 4

11 4

3 6

2

0 ( )^64 (^3223)

(^23)

M x

M

L

x x a

M

M

L

x a x L

[ ( ) ]

⎪ [ ( ) ( ) ( ) ] ⎩

a a b a b bax a bx x a x L LEI

M

b ba a x x x a LEI

M

y x 2 2 2 2 3

2 2 3

3 5 2 4 3 6

( )^6

T1.

x

y

L

p i p

j

Caso particular: p uniforme

( ) Lx x

p

M x = −

= −^3 +^4

3

x

x^1

x L

L

EI

y(x) p

EI

y x L pL

)^5

4

M x p ( )

L

p

L

( ) = (^) i + j x p (^) i x p (^) i p (^) j L x

⎝⎜^

⎠⎟^ −^ +^ −

2 3

y x EI p ( )

L

p

L

x p

L

p

L

( ) = (^) i + j i j x p (^) i x p (^) i p (^) j L x

⎝⎜^

⎠⎟^ +^ −^ −

(^3 33 4 )

Utilização das tabelas Sendo válida a sobreposição é conveniente decompôr as acções (ou os seus efeitos) em parcelas mais simples. Seja, por exemplo, a acção representada na tabela anterior, Tabela 1.5.

Esta carga trapezoidal pode ser representada pela recta p = mx+bcom L

p p m j^ i

e b = pi. É fácil observar que a mesma recta pode ser obtida pela sobreposição de

duas rectas particulares (que tomem o valor unitário numa das extremidades e o valor nulo na outra) devidamente escaladas:

i

j ix p L

p p p +

= pi L

( 1 − x^ ) + Lpj

x

Nas tabelas seguintes recorrer-se-á a esta decomposição ou à decomposição alternativa em que se separa o termo constante (o b no caso anterior) do termo linear ( o mx no caso anterior). Viga simplesmente apoiada sujeita a variações de temperatura

Distribuição de temperatura linear na secção, ΔT^ L :

M ( )x = 0

Caso de variação constante no vão:

( ) 2 2 y x T^ L Lx x h = α Δ^ ⎡ − ⎤ ⎣ ⎦

Caso de variação crescente no vão:

( ) 1 1 3 2 3 3 y x T^ L x x h L = α Δ^ ⎡^ − ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦

Caso de variação decrescente no vão:

( ) 2 2 1 3 2 3 3 y x T^ L^ Lx x x h L = α Δ^ ⎡^ − + ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦

em que α é o coeficiente de dilatação térmica do material e h é a altura da secção

Distribuição de temperatura uniforme na secção, ΔT^ U:

N( x)= 0

Caso de variação constante no vão: u L ( ) = αΔTU L

Caso de variação crescente no vão:

u L ( ) = αΔT U 2 L

Caso de variação decrescente no vão:

u L ( ) = αΔT U 2 L

Viga simplesmente apoiada sujeita a cargas axiais

T1.

x

y

L

a b

Q

N x

Q x a ( ) = (^) a x L

0 0 0 ( ) ( )^1 x xdx EA

u x ε

T1.

x

y

L

qi qj

N x ( q q ) ( )

L

( ) = (^) i + (^) j − q xi + q (^) i −q (^) j L x

2

T.3 Deformadas para deslocamentos impostos

Tipo de barra Imposição de rotação à esquerda

Imposição de deslocamento transversal bi-encastrada

encastrada-rotulada

encastrada-enc desliz.

Deformada da barra sujeita apenas a esforço normal

NOTA: A deformada final da barra é sempre obtida considerando a sobreposição dos diversos efeitos nomeadamente:

• a(s) rotação(ões) independentes;
• o deslocamento transversal relativo entre extremidades;
• o deslocamento axial relativo entre extremidades;
• o efeito das solicitações de vão.

Forças de fixação devidas a cargas de vão na barra bi-encastrada

M A M B V A VB N A NB

PL

− PL

P

P

− Q

−^ Q

2

2 L

Pab 2

2 L

− Pba^2 (^33 ) L

Pb a+ b 3

(^2) ( 3 ) L

Pa a+ b L

− Qb L

−Qa

M

M

L

M

L

M

2

( 2 ) L

Mb a− b 2

( 2 ) L

Ma b− a 3

6 L

Mab 3

6 L

− Mab^0

pL^2 12

pL^2 − (^2)

pL 2

pL 2

− qL 2

−^ qL

pL^2 20

pL^2 − (^20)

3 pL 20

7 pL 6

− qL 3

−^ qL

pL^2 30

pL^2 − (^20)

7 pL 20

3 pL 3

− qL 6

−^ qL

0 0 m − m 0 0

mL 12

− mL 2

m 2

− m^0

− mL 12

mL 2

− m 2

m (^0 )

Δ T T EIL

h

α Δ T EIL h − α^ Δ^0 0 α^ ΔT EA^ U −^ α^ ΔT EAU

Δ T 0 T EIL

h − α^ Δ T EIL Lh − α^ Δ T EIL Lh

α Δ 2

α ΔT EA U 2 −^ α ΔT EA^ U

Δ T T EIL

h

α Δ 0 T EIL Lh

α Δ T EIL Lh − α^ Δ 2

α ΔT EA U 2 −^ α ΔT EA^ U

Forças de fixação devidas a cargas de vão na barra encastrada-encastrada deslizante

M A M B V A δ B N A NB

3 PL

PL P

EI

PL

3 2

− Q

−^ Q

L

Pab L 2

L

Pa 2

2 P

EI

Pa a b 12

(^2) ( + 3 ) L

− Qb L

−Qa

− M

− M^0

EI

ML

2 − 0 0

L

− Mb L

− Ma^0 EI

Mab 2

pL^2 6

pL^2 pL EI

pL 24

4 2

− qL 2

−^ qL

5 pL^2 24

3 pL^2 2

pL EI

pL 240

− qL 3

−^ qL

3 pL^2 24

pL^2 2

pL EI

pL 240

− qL 6

−^ qL

− mL 2

− mL^0 EI

mL 12

3 − 0 0

− mL 3

− mL^0 EI

mL 24

3 − 0 0

− mL 6

− mL^0 EI

mL 24

3 − 0 0

Δ T T EIL

h

α Δ T EIL h − α^ Δ^0 0 α^ ΔT EA^ U −^ α^ ΔT EAU

Δ T

2

T EI L h

α Δ 2

T EI L h − α^ Δ^0 12

T L L h

α Δ 2

α ΔT EA U 2 −^ α ΔT EA^ U

Δ T

2

T EI L h

α Δ 2

T EI L h − α^ Δ^0 12

T L L h − α Δ 2

α ΔT EA U 2 −^ α ΔT EA^ U

Elemento de barra - deslocamentos prescritos

Deslocamentos independentes a considerar em cada nó

• rotação;
• deslocamento transversal. A deformada obtém-se por sobreposição das 4 deformadas, correspondentes a cada um dos 4 deslocamentos considerados:

4 1

i i^ i

y x δ ϕ x

Efeito de δ 1 =1, δi =0 ∀ i ≠ 1

x

y

L

T4.

1 (^ )^12 (^ L^2 x^2 Lx^2 x^3 ) L

ϕ x =− − +

Efeito de δ 2 =1, δi =0 ∀ i ≠ 2

x

y

L

T4.

2 (^ )^12 (^ Lx^2 x^3 ) L

ϕ x =− − +

Efeito de δ 3 =1, δi =0 ∀ i ≠ 3

x

y

L

T4.

3 (^ )^13 (^ L^33 Lx^22 x^3 ) L

ϕ x =− − +

Efeito de δ 4 =1, δi =0 ∀ i ≠ 4

x

y

L

T4.

4 (^ )^13 (^3 Lx^22 x^3 ) L

ϕ x =− −

Existindo deformação axial também se devem considerar os modos de deformação associados aos deslocamentos independentes axiais. Contudo, estes modos não alteram a função y (x), a

distância da corda à posição deformada em cada ponto, que é o que se designa por deformada.

Deformadas e forças de fixação na barra encastrada-apoiada T6.

x

y

L

a b

VA 1 VB

MA

Libertação em B:

b L

M EI

A (^2) = 3 b L

V EI

A (^3) = 3 b L

V EI

B (^3)

= −^3

Libertação em A:

a L

M EI

B (^2) = 3 a L

V EI

A (^3) = −^3 a L

V EI

B (^3)

=^3

Libertação em B:

y x

L a L x^

a L L x^ x^ a a x

L a L x^

a L L x^ a^ x^ L

⎝⎜^

⎠⎟^ +^

⎝⎜^

⎠⎟^ ≤^ ≤

⎝⎜^

⎠⎟^ +^

⎝⎜^

⎠⎟^ ≤^ ≤

2

2 3

3

2 2 3 3

Libertação em A:

⎟ +⎛^ −

⎟ +⎛^ −

x x a L

x L b L

b L

x L b a x L L

x L b L

L b y x 0 2 2

3 3

3 3

Notar que a ( b ) é a distância desde a extremidade inicial (final) à secção da descontinuidade.

T6. x

y

L

a b

VA VB

MA

Libertação em B:

M EI A (^) L

= − 3 2 V EI

A L

= − 3 3 V EI

B L

Libertação em A:

2

L

M EI

B =^ − V^

EI

A = −^ L

3 V^

EI

B =^ L

3

Libertação em B :

y x L

x (^) L x x a

L x^ L x^ a^ x^ L

2 2 3 3

2 2 3 3 Libertação em A :

x x a L

x L

x a x L L

x y x L 0 2

3 3

3 3

Forças de fixação para força e momento unitários T6.

x

y

L

a b

1

VA VB

MA

M

L a La a A = − L

2 2 3 2

V

L La a A =^ L

3 2 3 3 V^

La a B =^ L

2 3 3

T6.

x

y

L

a b

1

VA VB

MA

2

2 2 2

L

M L La^ a A

=−− +^ −

V

La a A = L

2 3 V^

La a B =^ L

2 3

Deformadas e forças de fixação na barra encastrada-encastrada deslizante

T7.

x

y

L

a b

VA 1

MA MB

M

EI

A =^ L M^

EI

B = −^ L VA =^0

Libertação em B:

y x L

x x a

a x (^) L x a x L

2

2

Libertação em A:

x x a L

L b

x a x L L

L x y x 0 2

( )^2

2

2

T7.

x

y

L

a b

1 VA

MA MB

M A = 0 MB = 0 VA = 0

Libertação em B: y x

x a ( ) = (^) a x L

Libertação em A:

a x L

y x x a 0

( )^10

Forças de fixação para força e momento unitários T7.

x

y

L

a b

1

VA

MA MB

M

La a A = − L

2

M

a B = L

2 2 VA = 1

T7.

x

y

L

a b

1

VA

MA MB

L

M L a A

=^ −

L

M a B = V (^) A = 0