Introdução aos Tensores: Conceitos, Operações e Aplicações, Notas de aula de Engenharia Mecânica

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Capítulo 02: Tensores

cartesianos

Escalares e vetores

• (^) Um escalar é uma quantidade que é completamente especificada por uma magnitude (somente), junto a uma unidade. Ele é independente do sistema de coordenadas adotado. Exemplos: temperatura, pressão.
• (^) Um vetor é qualquer quantidade que possui uma magnitude e uma direção, que pode ser decomposta em um sistema de coordenadas. Exemplos: velocidade, força.

Rotação de eixos

• Sejam x 1 , x 2 e x 3 os eixos originais e o sistema rotacionado. As componentes do vetor posição x no sistema original e no sistema rotacionado são denotados por x i e , nessa ordem. O cosseno do ângulo entre o eixo antigo ( i ) e o novo ( j ) é representado por c ij . Um pouco de geometria mostra que os componentes no sistema rotacionado estão relacionados aos componentes no sistema original por 1 2 3 x , x  e x  i x 

  (^)     3 1 1 1 2 2 3 3 i i j j j ij i x c x c x c x c x (1)

Rotação de eixos

• (^) Pode-se verificar a validade da Eq. (1) mais facilmente empregando-se um sistema bidimensional, como feito a seguir.

Rotação de eixos

• (^) Como , então
• (^) Observa-se que a Eq. (1) se reduz à Eq. (3) para j = 1 e à Eq. (4) para j = 2 quando se tem um domínio bidimensional.
• (^) Observação: Toda vez que um índice ocorre duas vezes em um termo, deve-se efetuar uma soma sobre os índices repetidos (notação indicial).        11 22 12

  (^)    2 1 2 2 22 1 12 2 cos cos i i i x x  x  c x (4)

Rotação de eixos

• (^) Desta forma, tem-se
• (^) em que a soma no lado direito é feita nos termos em i. As variáveis empregadas como índices são livres, de modo que
• (^) representa a mesma relação que a Eq. (5). j ij i x ^  c x (5) i ki k x ^  c x (6)

Rotação de eixos

• (^) Por analogia com a Eq. (5), u é um vetor se suas componentes se transformam através da relação j ij i u ^  c u (8)

Multiplicação de Matrizes

• (^) Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem 3. O produto de A por B é definido como sendo a matriz P cujos elementos estão relacionados àqueles de A e de B por
• (^) Ou, empregando a notação indicial:

  3 k 1 ij ik kj P A B ij ik kj P  A B (9)

Tensor de Segunda Ordem

• (^) Existem quantidades que necessitam de mais de três componentes para serem completamente especificadas. Tomando-se, por exemplo, o caso da tensão: em qualquer ponto, há a necessidade de nove componentes para uma especificação completa do estado, uma vez que duas direções estão relacionadas à descrição. Uma direção especifica a orientação da superfície na qual a tensão é aplicada e a outra especifica a direção da força sobre a superfície.

Tensor de Segunda Ordem

• (^) Campo de tensões em um ponto:

Tensor de Segunda Ordem

• (^) A especificação das nove componentes de tensão em superfícies paralelas determinam o estado de tensões pois as tensões em qualquer outro plano podem ser determinadas através de uma rotação de sistema de coordenadas, expressa como
• (^) Uma quantidade que obedece à lei de transformação expressa pela Eq. (12) é chamada de tensor de segunda ordem. mn im jn ij  ^  C C  (12)

Tensor de Segunda Ordem

• (^) Na forma matricial, a Eq. (12) pode ser escrita como
• (^) Ou
• (^) Tensores podem apresentar qualquer ordem. Considera-se, por exemplo, que um escalar seja um tensor de ordem zero e um vetor seja um tensor de primeira ordem. ij jn T mn mi    C  C τ C τ C T  

Contração e Multiplicação

• (^) Quando dois índices de um tensor são iguais e realiza-se a soma correspondente a tais índices tem-se o processo denominado contração; por exemplo:
• Nota-se^ que^ A jj é um escalar e, também, é independente do sistema de coordenadas adotado, sendo por isso chamado de invariante. 11 22 33 A A A A jj   

Contração e Multiplicação

• (^) Tensores de ordem superior podem ser formados pela multiplicação de tensores de ordem inferior.
• (^) Tensores de ordem inferior podem ser obtidos empregando-se a contração dessas formas multiplicadas. As quatro contrações de A ij

B

kl são:

ij ki ki ij kj A B  B A  BA

jk T ik T ij ik ji A B  A B  A B

ik T T ij kj ij jk A B  A B  AB

ij jk ik A B  AB (14a) (14b) (14c) (14d)