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Versão preliminar 16 de fevereiro de 2004
Notas de Aula de Física
19. TEMPERATURA, CALOR E PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA.......................... 2
T EMPERATURA ................................................................................................................... 2
E QUILÍBRIO TÉRMICO........................................................................................................... 2
L EI ZERO DA T ERMODINÂMICA ............................................................................................. 2
MEDINDO A T EMPERATURA .................................................................................................. 2
A escala Celsius............................................................................................................ 3 A escala Fahrenheit ...................................................................................................... 4 Relação entre as escalas Celsius e Fahrenheit ............................................................ 4 A escala Kelvin.............................................................................................................. 4 DILATAÇÃO TÉRMICA ........................................................................................................... 5 CALOR ............................................................................................................................... 6 UM OLHAR MAIS DE PERTO NO CALOR E T RABALHO ............................................................... 7 A ABSORÇÃO DE CALOR ...................................................................................................... 8 P RIMEIRA L EI DA T ERMODINÂMICA ....................................................................................... 9 A LGUNS CASOS ESPECÍFICOS DA P RIMEIRA L EI DA T ERMODINÂMICA ....................................... 9 Processos adiabáticos .................................................................................................. 9 Processos a volume constante ................................................................................... 10 Processos cíclicos....................................................................................................... 10 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ...................................................................... 10 Condução.................................................................................................................... 11 Radiação..................................................................................................................... 13 S OLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ..................................................................................... 14 03 ................................................................................................................................ 14 05 ................................................................................................................................ 15 07 ................................................................................................................................ 16 09 ................................................................................................................................ 16 16 ................................................................................................................................ 17 18 ................................................................................................................................ 17 21 ................................................................................................................................ 18 22 ................................................................................................................................ 19 23 ................................................................................................................................ 20 25 ................................................................................................................................ 21 “32”.............................................................................................................................. 21 “33”.............................................................................................................................. 22 35 ................................................................................................................................ 23 43 ................................................................................................................................ 24 46 ................................................................................................................................ 24 49 ................................................................................................................................ 25
- ............................................................................................................................... 26 53 ................................................................................................................................ 27 57 ................................................................................................................................ 28 60 ................................................................................................................................ 28 61 ................................................................................................................................ 29 65 ................................................................................................................................ 30
19. Temperatura, Calor e Primeira Lei da Termodinâmica
Temperatura
O tato constitui uma das maneiras mais simples de fazer uma distinção entre cor- pos quentes e frios. Mas essa maneira de avaliação é bastante imprecisa, e além do mais poderá causar dificuldades se as temperaturas dos corpos estiverem muito próximas. Se construirmos uma experiência com três recipientes contendo água, onde um deles está a temperatura ambiente, o segundo a uma temperatura acima da ambiente e o terceiro a uma temperatura abaixo da ambiente. Vamos mergulhar uma das mãos no recipiente com água a uma temperatura acima da ambiente e a outra mão no recipiente com água a uma temperatura abaixo da ambiente, e permanecer pouco mais de um minuto nessa situação. Ao mergulhar as duas mãos no recipiente a temperatura ambiente iremos ter a sensação estranha onde uma mão manda a informação que a água está numa certa temperatura enquanto a outra mão manda uma informação de uma temperatura diferente. A mão que estava no recipiente com água mais fria sente a água mais quente, e a mão que estava no recipiente com água mais quente sente a água mais fria. Felizmente existem substâncias que nos dão uma medida da temperatura de ou- tros corpos e a relação entre elas. São chamadas de substâncias termométricas. A temperatura é uma medida da agitação das partículas que compões um certo material. Se considerarmos as moléculas um gás, quanto maior a sua temperatura mais energia cinética terão essas moléculas.
Equilíbrio térmico
Dois corpos em contato físico, estão em equilíbrio térmico quando param de trocar energia, quando o fluxo líquido de energia entre eles é nulo. Quando isso acontece, a temperatura dos dois corpos é a mesma.
Lei Zero da Termodinâmica
Se dois corpos A e B estão em equilíbrio térmico com um terceiro corpo C (o termômetro) , eles também estarão em equilíbrio térmico entre si.
Medindo a Temperatura
Existem várias grandezas que variam as suas características quando varia a nossa percepção fisiológica de temperatura. Entre essas grandezas estão:
- o volume de um líquido,
- o comprimento de uma barra
- a resistência elétrica de um material
- o volume de um gás mantido a pressão constante
Qualquer dessas pode ser usada para construir um termômetro, isto é: estabelecer uma determinada escala termométrica. Uma tal escala termométrica é estabelecida pela escolha de uma determinada substância termométrica e também uma propriedade ter- mométrica desta substância.
Isso equivale a dividir a escala entre X 0 e X 100 em cem partes iguais, cada subdivisão correspondendo a 1 0 C , ou seja equivale a dizer que a dilatação da coluna de mercúrio é linear com T(X).
A escala Fahrenheit
A escala Fahrenheit é usada nos Estados Unidos e Inglaterra. Para calibrar este termômetro na escala Celsius vamos considerar que as temperaturas T(X 1 )=32 0 C e T(X 2 )=212 0 C são respectivamente o ponto de vapor e o ponto do gelo, e que X 1 e X (^2) são os respectivos comprimentos da coluna de mercúrio. Desse modo, encontramos que:
( F) X X
X X
T F X F^0
212 32
Relação entre as escalas Celsius e Fahrenheit
Se considerarmos dois termômetros de mesmo formato, feitos do mesmo material e calibrados nestas escalas, podemos dizer que quando estiverem medindo a mesma si- tuação, a coluna terá um tamanho X , e portanto:
Vapor Gelo
F C Gelo X X
X X
C
T
F
T F
0 0
0
180 100
ou seja:
TF T C
ou ainda:
( 32 ) 9
TC TF
A escala Kelvin
Se considerarmos o comportamento de um gás de N moléculas, constata-se expe- rimentalmente que para uma dada temperatura:
const N
pV
onde p é a pressão do gás e V é o volume ocupado por ele. Esta é a equação dos ga- ses ideais é comprova-se que ela é válida sempre que a densidade N/V for pequena. A escala de temperaturas Kelvin é definida de modo que a relação entre a constante e a temperatura seja de proporcionalidade. Em outras palavras, a escala Kelvin é tal que:
k T N
pV = B
onde k (^) B é a constante de Boltzmann. Usando o raciocínio anterior, relembramos que a substância termométrica nesse caso é um gás e a propriedade termométrica é a pressão desse gás a volume constante. Temos então que:
X
X
T X
T X aX T X
0
( ) ( ) (^0 )
Considerando o ponto triplo da água, escolhemos a temperatura de calibração na escala Kelvin.
p p
K
T
Tr
Uma vez calibrada a escala obtemos o valor de kB = 1,38x10 -23J/K. A correspon- dência entre as escalas Celsius e Kelvin é tal que:
0 0 C = 100 0 C =
273,16K
373,15K
ou seja: TK = TC + 273,
Dilatação térmica
Quando aumentamos a temperatura de um sólido ele se dilata. A dilatação térmica desse sólido está associada ao aumento da distância entre os átomos vizinhos que o compõe. Poderíamos dizer que a força de interação elétrica entre esses átomos já não é suficiente para mantê-los tão próximos um dos outros devido a agitação térmica oriunda do aumento da temperatura. Consideremos que em uma temperatu- ra inicial TI um sólido tenha um compri- mento L 0. Se aumentarmos a temperatura de ∆T , esse sólido aumentará o seu com- primento de ∆L. Para uma dada variação de temperatura podemos entender que a
L 0 ∆L
L
a dilatação do sólido ∆L será proporcional ao seu comprimento inicial L 0. Para uma va- riação de temperatura suficientemente pequena, podemos ainda inferir que a dilatação do sólido ∆L também será proporcional ao aumento da temperatura ∆T. Desse modo, po- demos resumir, como: ∆L = α L 0 ∆T onde a constante de proporcionalidade α é chamada de coeficiente de dilatação linear do material considerado. Como ∆L = L – L (^0) L = L 0 ( 1 + α ∆T ) Para muitos sólidos os coeficientes de dilata- ção é o mesmo nas suas diversas dimensões. Dize- mos que eles têm uma dilatação isotrópica. Vamos considerar que uma chapa plana tenha dimensões L (^01) e L 02 para uma dada temperatura inicial. Quando va- riamos a temperatura de ∆T as dimensões se alteram para L 1 e L 2 conforme a figura ao lado. Consideran- do que os coeficiente de dilatação são os mesmos nas duas dimensões, teremos que:
L 1 = L 01 ( 1 + α ∆T ) L 2 = L 02 ( 1 + α ∆T )
L 01
L 02
L 1
L 2
Um olhar mais de perto no Calor e Trabalho
Calor Q é energia em trânsito de um corpo para outro devido à diferença de tem- peratura entre eles. Trabalho W é a energia que é transferida de um sistema para outro de tal modo que a diferença de temperaturas não esteja envolvida. As grandezas Q e W não são características do estado de equilíbrio do sistema, mas sim dos processos termodinâmicos pelos quais o sistema passa quando vai de um estado de equilíbrio para outro. Desse modo, se um sistema vai de um estado de equilí- brio inicial para um outro estado de equilíbrio final, por dois caminhos diversos, para cada caminho ele terá um valor de Q e W específico. Q e W são definidos como: Q = calor transferido para o sistema W = trabalho realizado pelo sistema De modo geral, nós separamos uma certa quantidade de material que desejamos analisar. A esse material chamamos de sistema, que pode estar isolado (ou não) da sua vizinhança. A interação com a vizinhança pode ser de vários tipos: trocando calor, trocan- do trabalho, ou ambos os casos simultaneamente. Um sistema sofre transformações que o levarão de um estado de equilíbrio inicial a um estado final, através de diversos estados intermediários. O caminho entre os estados inicial e final, através dos estados intermediários se dá por causa da interação do sistema com a sua vizinhança. Para exemplificar, calculemos o tra- balho feito por um sistema formado por um gás isolado no interior de um pistão, cujo êmbolo pode movimentar-se livremente sem atrito. Considere que inicialmente o êmbolo estava preso e continha um volume V (^) i , após ser solto ele moveu-se e o volume passou a ser Vf , quando então ele tornou a ser preso. O êmbolo subiu como conse- quência da pressão p exercida pelo gás. O trabalho elementar feito por esse sistema é definido como:
Vf V (^) i
dW = F dx = p A dx ou seja: quando o êmbolo moveu-se de dx , sob a ação de uma pressão interna p , o sistema executou um trabalho dW. A área do êmbolo é A , daí a variação de volume associada a dx é igual a dV = A dx , e portanto:
dW = p dV
O trabalho total executado pelo siste- ma entre os estados inicial e final, é definido como:
= ∫
f
i
Wif pdV
e considerando a definição de integral, te- mos que esse trabalho será a área abaixo da curva que vai do estado inicial até o es- tado final.
p
p (^) i i
p (^) f a f
Vi Vf V
Como já tínhamos antecipado o valor do trabalho associado á mudança de estado do sistema não é único. Quando o sistema for do estado inicial até o final através do esta- do dos percursos ia e af o trabalho associado a esse percurso será diferente daquele considerado inicialmente.
A absorção de Calor
Quando uma certa quantidade de calor é transmitida para um corpo, na maioria dos casos a sua temperatura cresce. A quantidade de calor necessária para aumentar de um certo valor a temperatura de uma substância, depende da quantidade dessa substância, e varia de acordo com a substância. Se foi necessário 3min para ferver 1litro de água numa certa chama, serão necessários 6min para ferver 2litros de água na mesma cha- ma. Se no entanto formos aquecer 1litro azeite na mesma chama, será necessário um tempo maior que 3min. A propriedade física que define a quantidade de calor Q necessária para aquecer determinado material de ∆T é chamada capacidade térmica, e é definida como:
Q = C. ∆T
Desse modo poderemos calcular a capacidade térmica de 1litro de água, de 2litros de água, de 1litro azeite e etc. A capacidade térmica é uma característica de uma amostra de determinada substância. Outra amostra diferente dessa mesma substância terá uma capacidade térmica diferente. Fica claro que são limitadas as vantagens dessa propriedade física, a capacidade térmica. Mas à partir dela, definiu-se uma outra propriedade chamada calor específico c , que é uma característica de cada substância. A propriedade física que define a quantidade de calor Q necessária para aquecer de ∆T uma massa m de determinado material é chamada calor específico, e é definida como: Q = m. c. ∆T
Como foi mencionado, calor é uma forma de energia e portanto a unidade de calor é a mesma de energia. Mas por razões históricas, ainda se usa como unidade de calor a caloria ou cal, que se define como a quantidade de calor necessária para aquecer 1g de água de 14,5 0 C até 15,5^0 C. Desse modo, a unidade do calor específico será cal/g. 0 C. Como foi mencionado, uma substância altera a sua temperatura quando ela troca calor com a sua vizinhança. No entanto, existem algumas situações onde não acontece exatamente desse modo; um corpo pode absorver certa quantidade de calor e no entanto manter-se com a sua temperatura constante. Quando isso acontece, diz-se que o corpo passou por uma mudança de fase. Existe um exemplo corriqueiro: uma pedra de gelo numa temperatura de 0 0 C é retirada do congelado e colocada dentro de um copo na temperatura ambiente de 30 0 C. Esse material irá absorver calor da sua vizinhança e paulatinamente transformar-se-á em água a uma temperatura de 0 0 C. A propriedade física que define a quantidade de calor Q necessária para uma mu- dança de fase de uma massa m de determinada substância é chamada calor latente, e é definida como: Q = m L
Quando estamos considerando a mudança do estado sólido para o estado líquido, chamamos de calor latente de fusão L (^) F , e quando estamos considerando a mudança do
rapidamente que o sistema chega ao seu estado final antes que possa trocar calos com a vizinhança. Num processo adiabático, Q = 0 e de acordo com a Primeira Lei da Termodi- nâmica: ∆E (^) Int = - W
Processos a volume constante
São os chamados processos isométri- cos. Usando a definição de trabalho execu- tado pelo sistema entre os estados inicial e final, encontramos que:
= ∫
f
i
W (^) if pdV= 0
porque não aconteceu variação de volume. Através da Primeira Lei da Termodinâmica encontramos que:
∆E (^) Int = Q
p
p (^) i i
p (^) f f
Vi = Vf V
Processos cíclicos
Num processo cíclico o sistema passa por várias transformações, mas ao final do processo ele retorna ao estado inicial. Desse modo, temos que E (^) I = E (^) F e portanto não existe variação de energia interna, logo: Q = W
Mecanismos de transferência de Calor
A transferência de calor de um ponto a outro de um meio se dá através de três pro- cessos diferentes: convecção, radiação e condução. A convecção ocorre tipicamente num fluido, e se caracteriza pelo fato de que o ca- lor é transferido pelo movimento do próprio fluido, que constitui uma corrente de convec- ção. Um fluido aquecido localmente em geral diminui de densidade e por conseguinte tende a subir sob o efeito gravitacional, sendo substituído por um fluido mais frio, o que gera naturalmente correntes de convecção. O borbulhar da água fervente em uma panela é o resultado de correntes de convecção. A radiação transfere calor de um ponto a outro através da radiação eletromagnéti- ca. A radiação térmica é emitida de um corpo aquecido e ao ser absorvida por outro corpo pode aquecê-lo, convertendo-se em calor. O aquecimento solar é uma forma de aprovei- tamento da radiação solar para a produção de calor. Um ferro em brasa emite radiação térmica e aquece a região que o rodeia. A condução de calor só pode acontecer através de um meio material, sem que haja movimento do próprio meio. Ocorre tanto em fluidos quanto em meios sólidos sob o efeito de diferenças de temperatura. H. Moysés Nussenzveig Curso de Física Básica – Vol2 – 4 a. edição Editora Edgard Blücher Ltda. São Paulo – 2002
Quando colocamos uma panela com água no fogo, ele começa a aquecer a água. Esse processo inicial de aquecimento se dá por condução de calor, e a parte na superfície da água vai sendo aquecida paulatinamente. No entanto a taxa de aquecimento da água no fundo da panela é maior do que a taxa de aquecimento da água na superfície. A água entre o fundo e a superfície não dá conta da condução do calor que é comunicado através do fogo. Começam a se formar no fundo bolsões de água mais quentes que a vizinhança, e esses bolsões começam a subir para a superfície. Nesse instante a convecção passa a ser o processo principal de condução de calor na panela. E isso acontece por causa da incapacidade da água conduzir calor de maneira adequada nesta panela sobre o fogo.
Condução
Consideremos dois reservatórios tér- micos que estão a temperaturas diferentes TQ e TF, tais que TQ > TF. Estes dois reser- vatórios serão conectados por uma placa de área transversal A e comprimento L , conforme mostra a figura ao lado. Vamos supor que a placa está isolada das vizi- nhanças, de modo que através dela passa apenas o fluxo de calor entre os reservató- rios. Intuitivamente pode-se perceber que a taxa de transferência de calor dQ/dt que flui através da placa é proporcional à sua área e a diferença de temperatura entre os reservatórios de calor, e inversamente pro- porcional ao seu comprimento. Ou seja:
L
x
Reservatório quente Reservatório frio TQ TF TQ > TF
L
T T
kA dt
dQ (^) Q − F
onde a constante de proporcionalidade k é conhecida como condutividade térmica da barra. Se considerarmos uma placa de comprimento ∆x , que una dois reservatórios que têm uma diferença de temperatura ∆T , encontraremos que:
x
T
kA dt
dQ ∆
onde o sinal negativo exprime o fato que o calor flui de temperaturas mais quentes para temperaturas mais frias. Quando tivermos ∆x → 0 , encontraremos que:
dx
dT kA dt
dQ =−
No estado estacionário, a temperatura na barra não depende mais do tempo t , e o fluxo de calor é o mesmo em qualquer parte da barra. Desse modo dQ/dt é uma cons- tante, e a equação anterior toma a forma:
F Q^ (x^ F xQ) kA
dx T T kA
dT dx
dT kA −
No entanto
1
1 2
1 22 L
T T
kA L
T T
k A Q^ X X F
ou seja: TX ( L 2 k 1 + L 1 k 2 ) = TQ L 1 k 2 + TF L 2 k 1
1
1 2
2 1 2
1
1 2
2 1 2
2 1 1 2
1 2 2 1
L
k L
k LL
L
k T L
k LL T
Lk Lk
T Lk T Lk T
Q F Q F X
1
1 2
2
1
1 2
2
L
k L
k
L
k T L
k T T
Q F X
Por outro lado:
dt
dQ dt
dQ dt
dQ (^1 ) = =
ou seja:
( )
= − = F
Q F X F T
L
k L
k
L
k T L
k T
L
kA T T L
kA dt
dQ
1
1 2
2
1
1 2
2
1
1 1
1
e finalmente: ( )
1
1 2
2 k
L
k
L
AT T
dt
dQ (^) Q F
Radiação
A taxa Ρ com que um objeto emite radiação depende da área A da superfície deste objeto e da temperatura T dessa área em Kelvins, e é dada por:
Ρ = σ ε A T^4
Nesta equação σ = 5,67x10 -8W/m^2 K 4 é chamada a constante de Stefan-Boltzmann. E a grandeza ε é a emissividade da superfície do objeto que vale entre 0 e 1 dependendo da composição da superfície.
Solução de alguns problemas
Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker
(^03) Um certo termômetro a gás é construído com dois bulbos contendo gás, cada um dos quais é colocado em banho-maria, como mostrado na figura à seguir. A diferença de pressão entre os dois bulbos é medida por um manômetro de mercúrio como mostra- do. Reservatórios apropriados, não mostrados no diagrama, mantêm o volume de gás constante nos dois bulbos. i. Não há nenhuma diferença de pressão quando as duas cubas estão no ponto tríplice da água. ii. A diferença de pressão é de 120Torr quando uma das cubas está no ponto tríplice e a outra está no ponto de ebuli- ção da água. iii. Ela vale 90Torr quando uma das cubas está no ponto tríplice da água e a outra está a uma temperatura desconhecida a ser medida. Qual a temperatura a ser medida?
i.
1Torr = 1mmHg
Esse termômetro será construído considerando-se que um dos bulbos estará na temperatura do ponto triplo e o outro numa temperatura desconhecida, a ser medida. A diferença de pressão ∆p é a propriedade termométrica a ser usada neste termô- metro, logo: T = a ∆p + b Quando o segundo bulbo também estiver na temperatura do ponto triplo, teremos que: TTr = a. 0 + b ∴ b = TTr
ii. Quando o segundo bulbo estiver no ponto de ebulição, teremos que:
TEb = a. p 1 + b ; p 1 = 120Torr
1 p 1
T T
a p
T b a Eb^ Eb Tr
ou seja:
Tr
Eb Tr p T p
T T
T ∆ +
1
iii. Para a temperatura desconhecida teremos que:
T = a. p 2 + b ; p 2 = 90Torr ou seja:
Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker
(^07) Observa-se no dia-a-dia que objetos quentes e frios se esfriam o aquecem até a
temperatura do ambiente ao seu redor. Se a diferença de temperatura ∆T ente um objeto e o seu ambiente ( ∆T = TObj – TAmb ) não for muito grande, a taxa de resfria- mento ou de aquecimento de um objeto é proporcional, aproximadamente, a essa diferença de temperatura; ou seja: ( ) A( T) dt
d T =− ∆
onde A é constante. O sinal negativo aparece porque ∆T diminui com o tempo se ∆T for positivo e aumenta com o tempo se ∆T for negativo. Essa equação é conhe- cida como a Lei de resfriamento de Newton.
a) De que fatores depende A? Qual é a sua unidade?
A depende principalmente da condutividade térmica do objeto. O lado esquerdo da equação tem unidades de temperatura sobre tempo, e desse modo, a unidade de A é o inverso de tempo: s-^.
b) Se em algum instante t = 0 a diferença de temperatura for ∆T 0 , mostre que em um instante posterior ela será ∆T = ∆T 0 e – A t
Da equação diferencial, encontramos que:
( ) Adt T
d T =− ∆
e quando integramos: ln ( ∆ T ) =−At+c 1 ou seja ∆T t =ec^ e−^ At =ce−At 2
()^1
Considerando as condições iniciais:
∆T ( 0 )=c 2 =∆T 0 chegamos a: ∆T = ∆T 0 e – A t
Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker
(^09) Suponha que em uma escala linear de temperatura X , a água ferva a -53,5 0 X e se
congele a -170 0 X. Qual a temperatura de 340K na escala X?
Vamos supor que a relação entre a escala X e a escala Kelvin seja linear, ou seja:
X(K) = a. K + b e ainda temos que:
X K
T 1 -53,5^0 X^ 373,16K
T 2 -170,0 0 X 273,16K
Desse modo: X 1 = a K 1 + b
X 2 = a K 2 + b logo:
( ) 373 , 16 273 , 16
1 2
1 2 (^1 212) −
K K
X X
X X aK K a
ou seja: a = 1,165 0 X/K E ainda: b = X 1 – a K 1 = - 488,045 0 X Portanto: X(K) = 1,165. K – 488,
Quando a temperatura T 0 = 340K , usando essa relação anterior, encontramos
T 0 = - 91,945 0 X
Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker
(^16) A área S de uma placa retangular é ab .O seu coeficiente de expansão linear é α.
Após um aumento de temperatura ∆T , o lado a aumenta de ∆a e o lado b au- menta de ∆b. Mostre que se a pequena quantidade ( ∆a ∆b)/ab for desprezada, então ∆S = 2 α S ∆T. ∆a = α (^) a ∆T e ∆b = α b ∆T
S = a b
S + ∆S = ( a + ∆a) ( b + ∆b)
S + ∆S = a b + a ∆b + b ∆a + ∆a ∆b
a ∆a
b
∆b
S + ∆S = a b + 2 ab α ∆T + a b ( α ∆T)^2 Considerando que: 2 α ∆T >> ( α ∆T)^2 teremos ∆S = 2 α S ∆T
Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker
(^18) A 20 0 C , uma haste mede exatamente 20,05cm de comprimento em uma régua de aço. Tanto a haste quanto a régua são colocadas em um forno a 270 0 C , onde a haste passa a medir 20,11cm na mesma régua. Qual o coeficiente de expansão térmica para o material do qual é feita a haste?
ou seja: V – V 0 = ( h – h 0 ) A 0 = ∆h A (^0) Mas por outro lado: V – V 0 = V 0 β ∆T = β h 0 A 0 ∆T Portanto: ∆h = h 0 β ∆T
Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker
(^22) Quando a temperatura de uma moeda de cobre é elevada de 100 0 C o seu diâmetro aumenta de 0,18%. Calcule com dois algarismos significativos:
∆T = 100 0 C
0 0
^ =
d
d d
d
logo
( 1 ) 0 , 0018 0 0
0 0 = ∆ =
= + ∆ ∴ T
d
d d
d d d d α T α
a) O aumento percentual da área de uma face.
( 1 ) 2 0 , 0036 0 0
0 0 = ∆ = ∆ =
= + ∆ ∴ T T
A
A
A
A A
A A γ T γ α
logo:
% 0 , 36 % 0
^ =
A
A
b) O aumento percentual da espessura.
0
T
L
L
α
logo:
% 0 , 18 % 0
^ =
L
L
c) O aumento percentual do volume.
0
T T
V
V
β α
logo:
% 0 , 54 % 0
^ =
V
V
d) O aumento percentual da massa da moeda.
A massa obviamente não se modifica quando aumenta a temperatura.
e) O coeficiente de expansão linear da moeda.
( 1 ) (^0) , 0018 0 0
0 0 = ∆ =
= + ∆ ∴ T
d
d d
d d d d α T^ α
logo: 6 0 1 0
= x C d T
d α
Capítulo 19 - Halliday, Resnick e Walker
(^23) Um relógio de pêndulo com um pêndulo feito de latão é projetado para medir com precisão o tempo a 20 0 C. Se o relógio operar a 0 0 C , qual a intensidade de seu erro, em segundos por hora? O relógio adianta ou atrasa?
Ti = 20 0 C Tf = 0 0 C ∆T = -20 0 C
αL = 0,7x10 -6^0 C-
g
l Τ= 2 π
O período do pêndulo Τ vai se alterar da seguinte maneira:
' (^1 )
T
l
l T l
l
g
l
g
l
L
αL α
π
π
ou seja: Τ'=Τ 1 +αL ∆ T
Como o tempo esfria, a haste do pêndulo se contrai diminuindo o seu tama- nho, e portanto diminuindo o seu tempo correspondente ao seu período, ou seja : Τ’ < Τ. Desse modo, o mesmo intervalo de tempo passa a ter mais períodos que antes. Como o tempo é medido nesse tipo de relógio em relação ao número de períodos o relógio irá adiantar. Se inicialmente em 10s temos 10 períodos, depois do esfria- mento teremos mais períodos neste intervalo de tempo, e o relógio irá indicar um in- tervalo de tempo maior que os 10s iniciais. Imaginemos a medição de um certo a medição de um certo intervalo de tem- po t que corresponde a um certo número n de períodos Τ. Temos então que:
t n
Para calcular qual intervalo de tempo t’ será medido quando a temperatura variar, devemos multiplicar o número de períodos n pelo valor do novo período Τ’. Ou seja:
