testes e resumo, Esquemas de Português (Gramática - Literatura)

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Proposta de teste de avaliação

Matemática A

11.O^ ANO DE ESCOLARIDADE

Duração: 90 minutos | Data:

Grupo I

Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o

número do item e a letra que identificam a opção escolhida.

1. Em qual das opções está representado o ângulo generalizado ( θ , n )de amplitude − 1100 °?

(A) ( 20 ,° − 3 ) (B) ( −20 , ° − 3 )

(C) ( −20 , 3 ° ) (D) ( 340 ,° − 4 )

2. Na figura está representado um triângulo (^) [ ABC (^) ].

Sabe-se que:

• AB = 8 cm
• AC = 3 cm

BAC = 60°

A medida do comprimento do lado [ BC ], em centímetros, é igual a:

(A) 7 (B) 8

(C) 55 (D) 73

3. O valor exato de

sin tan cos

é:

(A)

− (B)

(C)

− (D)

4. O valor exato de

sin arccos tan arctan

 ^ ^ ^ 

 ^   

é:

(A)

− (B)

(C)

(D)

A

B

C

3 cm

8 cm

3. Considere a função f , de domínio ℝ , definida por ( )

3 2 cos

x

f x

3.1. Determine o contradomínio de f.

3.2. Sabendo que

tan

θ = e que

, determine f ( θ ).

3.3. Resolva a equação f (^) ( x (^) ) = 2 para x ∈ (^) [ 0 , π[.

4. Na figura ao lado estão representados, em referencial ortonormado Oxy :

• a circunferência trigonométrica;
• a reta r de equação x = 1 ;
• os pontos A e C de coordenadas (^) ( 1 , 0) e (^) ( 0 , − (^1) ), respetivamente;
• o ponto B que se desloca na reta r sempre com ordenada positiva;
• o ponto D tal que [ OCDA ] é um quadrado.

Para cada posição do ponto B seja β a amplitude do ângulo AOB.

Seja g a função que a cada valor de

faz corresponder o perímetro do quadrilátero

[ OCDB ].

4.1. Mostre que ( )

1 sin

cos

g

4.2. Determine o valor exato do perímetro do quadrilátero [ OCDB ] sabendo que

4.2.1. sin β =0,

4.2.2. sin β =cosβ

5. Mostre que:

( )

sin cos tan 2sin tan , π

α − α × α+ α = α α≠ + k com k ∈ ℤ

FIM

Cotações

Grupo I

Grupo II

1 2 3 4 5

(^8 8 8 8 8) 40

1 2.1 2.2 3.1. 3.2. 3.3. 4.1. 4.2.1. 4.2.2 5.

15 20 15 10 20 15 15 15 15 20 160

A x

y (^) r

B

C

D

O^ β

Grupo I

1. −1100º = −20º − × 3 360º

(^ θ ,^ n ) =^ ( −20 ,^ −^3 )

Resposta: (B)

2. Seja BC = a cm.

Pelo Teorema de Carnot:

2 2 2 a = 3 + 8 − 2 × 3 × 8 × cos 60º⇔

⇔ a = + − × × ⇔

2 ⇔ a = 9 + 64 − 24 ⇔

2 a = 49

Como a > 0 , então a = 7.

BC = 7 cm

Resposta: (A)

11 π 29 π 11 π sin tan cos 6 6 3

 −^  +^   −^  =

11 π 24 π 5 π 12 π π sin tan + cos 6 6 6 3 3

12 π π 5 π π sin tan 4 π+ cos 4 π 6 6 6 3

π 5 π π sin 2 π tan cos 6 6 3

π 6 π π π sin tan cos 6 6 6 3

π π 1 sin tan π 6 6 2

1 π 1 3 tan 2 6 2 3

Resposta: (C)

1 π 3 sin arccos tan arctan 2 3 3

 ^ ^ ^ 

   −^ ^ −^ ^ =

 ^ 

 ^ 

1 π arccos 2 3

   =  

porque

π 1 cos 3 2

   =  

e [ ]

π 0,π 3

∈

π π π sin tan 3 3 6

3 π arctan 3 6

   =    

porque

π 3 tan 6 3

   =  

e

π π π , 6 2 2

  ∈ −    

3 π tan 2 6

Resposta: (C)

A

B

C

3 cm

8 cm

a

3. (^) ( )

3 π 2 3 2 cos 2

x f x

, D (^) f = ℝ

3.1. (^) ( ) ( )

3 π 2 3 π 2 3 2 cos 3 2 cos 2 2 2

x x f x f x

( ) ( ) ( )

3 π 3 2 cos 3 2 sin 2

f x x f x x

Como x ∈ ℝ , temos − 1 ≤ sin x ≤ 1.

− 1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ − 2 ≤ −2sin x ≤ 2 ⇔

⇔ 3 − 2 ≤ 3 − 2 sin x ≤ 3 + 2 ⇔ 1 ≤ f ( x )≤ 5

Logo, Df ′ = (^) [ 1 , 5].

tan 4

θ =

2 2

1 tan cos

θ θ

2

2 2 2

4 cos θ 16 cos θ 8 cosθ

2 2

cos 8 cos 9

θ θ

2 2 cos θ + sin θ= 1

sin 1 sin 1 sin 9 9 9

• θ= ⇔ θ= − ⇔ θ=

Como

3 π π , 2

θ

, temos

sin 9 3

θ = − = −.

( ) ( )

3 2 sin 3 2 3 3 3 3

f θ θ

= − = − × − = + =

3.3. f ( x ) = 2 ∧ x ∈ [ 0 , π[⇔

⇔ 3 − 2 sin (^) ( x (^) ) = 2 ∧ x ∈[ 0 , π[⇔

⇔ −2 sin (^) ( x (^) ) = − 1 ∧ x ∈[ 0 , π[⇔

( ) [ [

sin 0 , π 2

⇔ x = ∧ x ∈ ⇔

π π π 6 6

⇔ x = ∨ x = − ⇔

π 5 π

x = ∨ x =

π 5 π , 6 6

S

4. 4.1. AB =tan β

cos cos cos

OA

OB

OB OB

β β β

OC = CD = DA = 1

Como A ∈ r , temos:

[ ]

OCDB

P OC CD DA AB OB

1 1 1 tan cos

β β

sin 1 3 cos cos

1 sin 3 cos

Logo, ( )

1 sin π 3 , 0 , cos 2

g

β β β β

4.2. 4.2.1 sin β =0, 6

2 2

sin β + cos β= 1

(^2 2 2 ) 0,6 + cos β= 1 ⇔ cos β= 1 − 0,36 ⇔ cos β=0,

Dado que β é do 1.º quadrante, temos cos β = 0, 64 = 0,8.

1 sin 1 0,6 1, 3 3 3 3 2 5 cos 0,8 0,

g

β β β

π π sin cos 0 , 2 4

β β β β

π (^2 2 ) 1 sin (^1) π (^4) 2 2 3 3 3 4 π 2 2 cos (^4 2 )

g β g

  ^ 

( 2 2 ) 2 ( 2 2 ) ( 2 2 )^2

+ × + + ×

× ×

2 2 2 2

sin α − cos α × tan α+ 2sinα=

2 2 2 2

= 1 − cos α − cos α × tan α+ 2sinα=

2 2 2

= 1 − 2 cos α × tan α+ 2sinα=

2 2 2 2 = tan α− 2 cos α × tan α+ 2 sinα=

2 2 = tan α−2 cosα

2

2

sin

cos

α

α

×

2

• 2sin α=

2 2 = tan α−2 sin α

2

• 2 sin α =

2 = tan α

π π, 2

α k k

 ≠^ +^ ∈ 

A x

y (^) r

C

D

β

1

B (1, tan β)

O