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Tópico 4 fia Gravitação 1. Introdução | Gravitação é o estudo das forças de atração entre massas (forças de campo gravitacional) e dos movi- mentos de corpos submetidos a essas forças. Muitas teorias se sucederam até que chegás- | semos à concepção atual do Sistema Solar a que | pertencemos. De início, o misticismo e a religião dissociavam as idéias sobre o Universo do caráter | científico. | cd sa Fte Retrato de Ptolomeu. Foram os antigos gregos os fundadores da ciên- | | cia modernamente conhecida por Astronomia. No século II d.C., Cláudio Ptolomeu, matemático, geó- dé p: A = Deferente grafo e astrônomo, propôs um modelo planetário de Marte em que a Terra era o centro do Sistema Solar, de modo que todos os astros conhecidos, inclusive o Sol e a Lua, deveriam gravitar ao seu redor. Esse modelo - geocêntrico, pois tinha a Terra como cen- o tua tro — foi aceito por mais de quinze séculos, sobre- É jp | tudo por ser coerente com a filosofia e os valores 4 | correntes. Terra Sol | No século XVI. o monge polonês Nicolau Co- | 5 pérnico (1473-1543), estudioso de Medicina, Ma- | temática e Astronomia, apresentou uma concepção O) (1 | revolucionária para o Sistema Solar. Segundo ele, o da AMne | À Sol, e não a Terra, seria o centro em torno do qual foiicoide | jeMarte | a deveriam gravitar em órbitas circulares a Terra e to- dos os planetas conhecidos. Embora mais simples. yraçãocom tamanhos estâncias fora de escla que o de Ptolomeu, o modelo de Copémico - heliocên- ico, pois admitia o Sol como centro do sistei trico, pois admitia o Sol como centro do sistema | qi mentos cireuares concomitantemente Marte, por - encontrou grandes obstáculos para sua aceita NOR re rice ida cio cera reaima ua já que se contrapunha aos preceitos antropocêntri- . deferente ao redor da Tera. O mesmo, porém, não acontecia com a Lua e com o Sol, que descreviam apenas a deferente. No modelo ptolomáica do Sistema Solar, cada planeta realizava cos da Igreja Tópico 4- Gravitação 217 Nicolau Copérnico. Sua obra mais importante, o livro Das revoluções dos mundos celestes, escrito originalmente em latim (De Revolutionibus Orbium Coelestium), conforme a tradição da época, constitui um dos mais importantes marcos da evolução dos conceitos referentes à situação da Terra diante do panorama universal. Copérnico recebeu o primeiro exemplar de seu livro no dia de sua morte (25 de maio de 1543), em Frauenburg, na Polônia. Nessa obra, ele propunha a Teoria Heliocêntrica, além de explicar os fundamentos do movimento de rotação da Terra, responsável pela suces- são dos dias e das noites. Por contestar o dogma de que o ser humano, obra- prima da criação divina, deveria ocupar juntamente com a Terra o centro do Universo, esse livro foi imediatamente incluído no Index — relação das leituras proibidas pela Igreja. Ta FRNECORALSC EIS: CANON e Um importante adepto do pensamento coperni- cano foi o físico e astrônomo italiano Galileu Galilei (1564-1642). Devido às necessidades de suas obser- vações astronômicas, Galileu construiu diversas lu- netas. Com elas, ele descobriu os satélites de Júpiter, os anéis de Saturno, as manchas solares e detalhes da Lua. Além disso, elaborou mapas celestes de rara pre- cisão para a época. Seus estudos o levaram a também concordar com a idéia de que o Sol, e não a Terra, deveria ser o centro do Sistema Solar, Por essa razão, foi perseguido e pre- so pela Inquisição e, sob pressão, negou perante um tribunal as teses que defendia. A crescente controvérsia entre as proposições de Atualmente, o modelo aceito para o Sistema Solar é basicamente o de Copérnico, feitas as correções su- geridas por Kepler e por cientistas que o sucederam Sabe-se que oito planetas gravitam em torno do Sol, descrevendo órbitas elípticas. Na ordem crescen- te de distância ao Sol, são eles: Mercúrio, Vênus, Ter- ra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno. Nota; « Na época de Kepler (por volta de 1600), eram conhecidos apenas seis planetas: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Jú- piter e Saturno, todos observáveis a olho nu. À presença de Urano, Netuno e Plutão (planeta anão) só foi cons- tatada com a evolução de equipamentos de observação, como lunetas e telescópios. Ptolomeu e Copémico levou os astrônomos à estudos mais profundos. Foi o astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630) quem conseguiu descrever de modo preciso os movimentos planetários. Johannes Kepler. Autor de uma obra extensa que inclui vários opúsculos e livros, como Epitome | Istronomiae Copernicanae e Harmonice Mundi, | em que ratifica e amplia as teorias de Copérnico. descrevendo de maneira precisa os movimentos dos planetas em torno do Sol. Para elaborar seus trabalhos, Kepler fundamentou-se em suas obser- | vações do planeta Marte, em correspondências com Galileu Galilei e, sobretudo, em dados e medidas | astronômicos obtidos pelo seu mestre dinamarquês, Tycho Brahe (1546-1601). com quem trabalhou du- rante algum tempo. Modelo de uneta utilizad Tópico 4- Gravitação 219 e =. FAÇA VOCÊ MESMO ff Desenhar uma elipse é tarefa relativamente simples. Consiga. dois pregos, um pedaço de barbante inextensível e um giz (ou lá pis). Fixe os dois pregos em dois pontos F, e F, de uma superfície plana, de modo que a distância entre eles seja menor que o com- primento do barbante. Em cada prego, amarre uma das extremida- des do barbante (figura 1). Coloque o giz em contato com o barbante (de modo que este permaneça esticado) e, com ele, vá riscando à superfície (figura 2) Barbante 7 Figura 1 Arco de elipse traçado pelo giz Figura 2 A figura obtida será uma elipse, de acordo com a definição apresentada, com os pregos situados em seus res- pectivos focos ,, 2. As leis de Kepler : ajudaram-no a verificar que existem notórias regula- ridades nos movimentos planetários, de modo que ele Foi por intermédio de Kepler que a Astronomia — póde formular, mesmo sem demonstrar matematica- se desvencilhou da Teologia para se ligar definitiva- — mente, três generalizações, conhecidas como Leis de mente à Fisica Kepler, Dono de uma personalidade indagadora e obsti nada, este professor de Matemática e Astronomia, co- nhecedor das teorias de Copérnico, herdou um grande ingredientes 1º Lei — Lei das órbitas Em relação a um referencial no Sol, os planetas mo- vimentam-se descrevendo órbitas elípticas, ocupan- do o Sol um dos focos da elipse. apre yPlaneta Ainda hoje, mesmo dispondo do supertelescópio Hubble, visto aqu ntação artística, e de outros artefatos de exploração 220 PARTE - DINÂMICA O ponto da órbita mais próximo do Sol é denomi- nado periélio, e o mais afastado, afélio. Chamando de d, é d, a, às distâncias do periélio e do afélio ao centro do Sol, respectivamente, defi- nimos raio médio da órbita (R) do planeta como a aritmética entre d, € d De acordo com a definição acima, podemos con- cluir que 0 raio médio da órbita é o semi-eixo maior da elipse, Dentre os planetas do Sistema Solar, Mercúrio é o que descreve órbita de maior excentricidade. Os demais planetas, inclusive a Terra, realizam órbitas praticamente circulares, como pode ser observado na tabela abaixo, em que apresentamos o valor da excen- tricidade da órbita de cada planeta. Planeta Excentricidade da elipse Mercúrio 0,20 Vênus 0,07 Terra 0,02 Marte 0,09 Júpiter 005 Satumo 0,06 Urano 0,05 Netuno 0,009 O fato de existirem órbitas praticamente circula- res não invalida, contudo, a 1º Lei de Kepler, já que a circunferência é um caso particular de elipse que tem os focos coincidentes. Uma evidência de que a órbita da Terra é pratica- mente circular é que, quando observamos o Sol, ele nos aparenta ter o mesmo “tamanho” em qualquer época do ano. Se a órbita terrestre fosse uma elipse de grande excentricidade. visualizaríamos o Sol muito grande quando o planeta percorresse a região do pe- riélio e muito pequeno quando o planeta percorresse a região do afélio. Além disso, na passagem da Terra pela região do períélio, sentiriamos um calor imenso, ficando sujeitos a marés devastadoras. Na passagem da Terra pela região do afélio, porém, nos submeteria- mos a fenômenos opostos: sentiriamos um frio glacial e as marés seriam amenas, provocadas quase que ex- elusivamente pela influência da Lua. 2 Lei — Lei das áreas Asáreas varidas pelo vetor:posição de um planeta em relação ao centro do Sol são diretamente propor- aos respectivos intervalos. de tempo gastos. Sendo A a área e Ato correspondente intervalo de tempo, podemos escrever que: A constante de proporcionalidade v, denomina-se velocidade arcolar e caracteriza a rapidez com que o vetor-posição do planeta, que tem origem no centro do Sol e extremidade no centro do planeta, varre as respectivas áreas. Também podemos enunciar a Lei das áreas da se- guinte maneira: O vetor-posição de um planeta em relação ao centro do Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. Considere a figura a seguir, que ilustra um planeta em quatro instantes consecutivos do seu movimento orbital em torno do Sol. Nela, estão representados os vetores-posição T,, &. K: € Fy associados aos ins- tantes tj, ts to € ty Tespectivamente Representamos porA, A, as áreas varridas pelo vetor-posição do planeta dos intervalos Ay=tp-t, 8 Conforme propõe à 2º Lei de Kepler, temos: | Ses =At, entãoA = 222 PARTE = DINÂMICA Note que o periodo de revolução cresce com o raio médio da órbita descrita pelo planeta em torno do Sol Mercúrio é o planeta mais próximo do Sol e, por isso, é o que tem o menor ano (aproximadamente 88 dias terrestres). Netuno é o planeta mais afastado do Sol e, por isso, é o que tem maior ano (aproximadamente 165 anos terrestres). 3. Universalidade das leis de Kepler As três leis de Kepler apresentadas até aqui são universais, isto é, valem para o Sistema Solar a que pertencemos e também para qualquer outro sistema do Universo em que exista uma grande massa central em torno da qual gravitem massas menores. O planeta Júpiter e seus dezesseis satélites, por exemplo, cons- tituem um sistema desse tipo. O mesmo ocorre com Marte e seus satélites Deimos e Fobos. EXERCÍCIOS Mitged Em torno da Terra, gravitam a Lua e centenas de satélites artificiais, além de muita sucata espacial Nessa situação, podemos aplicar as três leis de Ke- pler, com a Terra fazendo o papel de “Sol” e os citados corpos, o papel de “planetas”. Nesta fotografia, um ônibus espacial coloca um satélite em órbita da Terra. Quanto maior for o raio médio da órbita do satélite, maior será seu periodo de revolução ao redor do planeta. BEBE adotando o Sol como referencia, aponte a alternativa que con diz coma 1 Lei de Kepler da Gravitação (Lei das órbitas: a) Asrbitas planetárias são quaisquer curvas, desde que fechadas. b) As órbitas planetárias são espiraladas, é) As órbitas planetárias não podem ser circulares d) Asórbitas planetárias são elípticas, com o Solocupando o centro da elipse e) As drbitas planetárias são elípticas, com o Sol ocupando um dos focos dalipse BEM Na figura a seguir, está representada a órbita elíptica de um planeta em torno do Sok a) Se os arcos de ór- bita PQ e R$ são percorridos em in- tervalos de tempo iguais, qual a rela- ão entre as áreas Ae? Em que lei física você se baseou para responder ao itema? (PUC-MG) A figura abaixo representa o Sol três astros celestes. esuas respectivas órbitas em torno do Sol: Urano, Netuno e o objeto na dlécada de 1950, descoberto, de nome 1996 Tl. UFSM de e Analise as afirmativas a seguir: |, Essas órbitas são elípticas, estando o Sol em um dos focos dessas elipses IL. Os três astros representados executam movimento uniforme em tomo do Sol, cada um com um valor de velocidade diferente do. dos outros. II. Dentre os astros representados, quem gasta menos tempo para completar uma volta em torno do Sol é Urano. Indique: a) setodas as afirmativas são corretas b) setodas as afirmativas são incorretas. ) seapenasas afirmativas | e são corretas. d) se apenas as afirmativas Ile Il são coretas. e) se apenas as afirmativas | e Ill são corretas, EEB Aoateide Kepler (Lei das áreas) permite concluir que: a) as áreas vamidas pelo vetor-posição de um planeta em relação ao centro do Sol são diretamente proporcionais aos quadrados dos respectivos intervalos de tempo gastos; a intensidade da velocidade de um planeta ao longo de sua órbita em torno do Sol é máxima no periéli; aintensidade da velocidade de um planeta do longo de sua órbita em tomo do Sol é máxima no aféi; ointervalo de tempo gasto pelo planeta em sua translação do afé lo parao peido é maior que o intervalo de tempo gasto por ele na translação do periio para o af o movimento de translação de um planeta em torno do Sol é uni forme, já que sua velocidade areolar é constante EEE O astrônomo alemão Johannes Kepler apresentou três gene raliações a respeito dos movimentos planetários em torno do Sol, conhecidas como Leis de Kepler. Fundamentado nessas les analise as proposições a seg (01) O quociente do cubo do raio médio da órbita pelo quadrado do periodo de revolução é constante para qualquer planeta do S ma Solar. Tópico 4 - Gravitação 223 (02) Quadruplicando-se o raio médio da órbita, o período de revolu- ção de um planeta em torno do Sol fica octuplica. (04) Quanto mais próximo do Sol (menor raio médio de órbita) gravi- tarum planeta, maior será seu periodo de revolução [08) No Sistema Solar, o periodo de revolução dos planetas em tomo. do Sol cresce de Mercúrio para Netuno. (16) Quando a Terra está mais próxima do Sol (reg estação predominante no planeta é o verão. Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas jo do periélio), a BEE (cesgranro-s)) Um satélite de telecomunicações está em sua ita ao redor da Terra com periodo T. Uma viagem do Ônibus Espacial fará a instalação de novos equipamentos nesse satélite, o que duplicará sua massa em relação ao valor original Considerando que permaneça. com amesma órbita, seu novo periodo T' será: a) T=97 a T=51. bjT=3. eaT=lr q T=T. CHEESE MED . - BEM comrelação às Leis de Kepler, podemos afirmar que: a) não se aplicam ao estudo da gravitação ca Lua em torno da Ter; b) sóse aplicam ao Sistema Solar a que pertencemos; o) aplicam-se à gravitação de quaisquer corpos em torno de uma grande massa central; d) contrariam a Mecânica de Neyiton; e) não prevêem a possibilidade da existência de orbita circulares BEBE (unicamp-s) A figura a segui representa a órbita descrita por um planeta em torno do Sol. O sentido de percurso está indicado pela seta. Os pontos À e € são colineares com o Sol o mesmo ocomendo comos pontos Be D.O ponto Andicao loca demaior aproximação do planeta em elação ao Sole o ponto €, o local de maior afastamento. Planeta à) Em que ponto da órbita o planeta tem velocidade de translação. com intensidade máxima? E em que ponto sua velocidade de trans- ação tem intensidade mínima? bj Segundo Kepler, a linha imaginária que liga o planeta ao centro do Sol "varre áreas iquais em intervalos de tempo iguais, Fundamen- tado nessa informação, coloque em ordem crescente os intervalos de tempo necessários para o planeta realizar os seguintes percur sos: ABC, BCD, CDA e DAB, REMET considere um planeta hipotético gravitando em órbita citcular em torno do Sol. Admita que o ralo da órbita desse plane | ta seja o quádruplo do raio da órbita da Terra, Nessas condições, qualo periodo de translação do citado planeta, expresso em anos terrestres? | Resolução: | sejam: “y:talo da órbita da Tera (= RJ: rifa da órbita do planeta hipotético, = 4R| 1, :pertodo de translação da Terra feno da Tera; 7, periodo de translação do planeta hipotético (ano do planeta) Planeta. À hipotético Aplicando a 3º Lei de Kepler (Lei dos periodos) para os dois planetas, temos: T Assim: É +para planeta hipotético: ) (0) > n=(8) hi! Como estabelecemos que t, = 4R er, = R,temos: O) Logo: O ano do planeta hipotético é oito vezes o terestre FEER pois satélites de um planeta tém períodos de revolução iguais a 32 diase 256 dias, respectivamente. Se 0 raio da órbita do primeiro satélite vale 5 unidades, qual o raio da órbita do segundo; Tópico 4 -Gravitação 225 A variação de F em função de d pode ser observa- da no diagrama abaixo: jm Nota: + Dois corpos quaisquer sempre interagem gravitacional- mente, atraindo-se, Entretanto, pelo fato de o valor de G ser muito pequeno (6,67 - 10 !! SI), à intensidade da for- ça atrativa só se torna apreciável se pelo menos uma das massas for consideravelmente grande, É por isso que duas pessoas, por exemplo, se atraem gravitacionalmente, mas com forças de intensidade tão pequena que seus efeitos passam despercebidos. A força de atração gravitacional adquire intensidade considerável quando um dos corpos é, por exemplo, um planeta e, além disso, a distância envol- vida é relativamente pequena. ATerra e a Lua atraem-se gravitacionalmente trocando forças de ação e reação. É devido à força recebida da Terra que a Lua mantém-se em órbita ao seu redor, realizando uma volta completa em, aproximadamente, 27 dias. 5, Satélites Estudo do movimento de um satélite genérico Considere a figura a seguir, em que um satéli- te genérico de massa m gravita em órbita circular em torno de um planeta de massa M, Represente mos por r 0 raio da órbita é por G a Constante da Gravitação. Satélite (m) Planeta (MM) Como prevê, por exemplo, a 2º Lei de Kepler, se a órbita descrita pelo satélite é circular, seu movimen- to é uniforme. Determinação da velocidade orbital (v) A força gravitacional que o satélite recebe do pla- neta é a resultante centrípeta no seu movimento cir- cular e uniforme. Está Mm my Mp E Mas PRE Ea Mm my? Assim; G r r Donde: Observe que v independe da massa do satélite, sendo inversamente proporcional à raiz quadrada de r. Determinação do período de revolução (T) Como o satélite realiza movimento circular e uni- forme, temos que: Sendo v= . segue que: y 226 PARTE = DINÂMICA Donde; Note que T também independe da massa do saté- lite, sendo proporcional à raiz quadrada do cubo de r. Se um outro satélite, com massa diferente do primei- ro, descrevesse a mesma órbita, esta seria percorrida com o mesmo período de revolução. Nota: o formular a Lei da Atração das Massas, Newton pôde demonstrar matematicamente a 3º Lei de Kepler Seguindo um raciocínio semelhante ao que desenvol vemos para obter à equação do periodo de revolução. ele confirmou que, para qualquer corpo em órbita de constante. uma grande massa central, o quociente E. A constante, denominada constante de Kepler no caso do 3M SM qdo Sistema Solar, nada mais é que o quociente fato, só depende da massa central (M) am GM TE am = constante Determinação da velocidade areolar Quando o satélite realiza uma volta completa em sua órbita, seu vetor-posição em relação ao centro do planeta varre uma área A = 1º durante um intervalo detempo At=T Satélite: a Física nas comunicações Da 2º Lei de Kepl . Sabemos que: aà A=v AM a ÃE LE calculemos Jam ealculemos v,: Donde: Da mesma forma que y é T, a velocidade areolar v, independe da massa do satélite, mas depende do raio da órbita (1) e da massa do planeta (M) que, no caso, faz o papel de “Sol”. Satélites estacionários Recebem esse nome pelo fato de se apresentarem “parados” em relação a um referencial solidário à su- perficie do planeta. Os satélites estacionários têm órbitas circulares contidas no plano equatorial. No caso de estarem em órbita em torno da Terra, seu período de revolução é de 24h, igual ao período de rotação do planeta, e o raio de sua órbita é de 6.7 raios terrestres aproximadamente. A aplização mais importante para esses satélites está nas telecomunicações. Um sinal de TV, por exem- plo, é emitido da Terra para o satélite. Este, por sua vez, capta o sinal, amplifica-o e o remete para o ponto que deve receber a transmissão. Vivemos hoje a era das comunicações. Esse novo tempo é possibilitado pela tecnologia, que coloca à nossa disposição a telefonia, a televisão eaintemet. O tráfego de dados eletrônicos é feito em grande parte "via satélite”, como sugere a ilustração ao lado (com tamanhos e distâncias fora de escala). Ondas eletromagnéticas contendo informações são transmitidas para satélites estacionários que as devolvem para a Terra, dirigindo-as aos locais de recepção. 228 PARTE -DINAM Depois de pronta, a EEI terá 450 toneladas e abrangerá uma área equivalente a quase dois campos de futebol, com 10 m de comprimento por 80 m de largura, Ela poderá ser vista da Terra, inclusive durante o dia, constituindo-se no corpo mais brilhante no céu depois do Sol e da Lua. Sua órbita, que tem altura média de 407 km em relação à superfície terrestre, é percorrida a cada 1 h 30 min a uma velocidade próxima de 28000 km/h, o que lhe possibilita percorrer a distância entre Rio de Janeiro e Paris em apenas 20 min. Em plena operação, a EEI servirá de ponto de partida para outras missões de exploração do cosmo. Devido à sua in- dlinação de 51,6 graus em relação ao Equador, será um posto privilegiado de observação da Terra, já que praticamente a totalidade do planeta (85% da sua área superficial) poderá ser visualizada e monitorada. Fenômenos meteorológicos serão mais bem avaliados. Cientistas dos países signatários do ousado empreendimento poderão realizar experimen- tos em ambiente de microgravidade, verificando o comportamento de substâncias e organismos vivos - inclusive do próprio ser humano - submetidos a essas condições, o que permitirá o desenvolvimento de novos materiais, procedi- mentos técnicos, terapias e medicamentos. Será possível criar tecnologias mais avançadas para diversas áreas, como robótica, computação e telecomunicações. | “Fotomontagem da EEI elaborada pela Nasa, A estação é um superlaboratório que comporta até sete astronautas de cada vez. Nessa imagem, a base está passando sobre o Estreito de Gibraltar CID. | EEB (ueaos-as) Um planeta descreve trajetória elíptica em tomo DR EE scorrim pi vento seed de uma estrela que ocupa um dos focos da elipse, conforme indica a Sn, figura abaixo. Os pontos A e € estão situados sobre o eixo maior da b) tag ts E que É, e É, apontam para o centro da estrela, Niandta: ng? tsc e queF, eF,ap p [e A BEER puas particulas de massas respectivamente iguais a Me mes Estrela tão no vácuo, separadas por uma distância d. A respeito das forças de interação gravitacional entre as particulas, podemos afirmar que à) têm intensidade inversamente proporcional a d D b) têm intensidade diretamente proporcional 30 produto M Set, E ts forem os intervalos de tempo para o planeta percorrer osres- c) não constituem entre si um par ação-reação; pectivos arcos de elipse e se F, e F, forem, respectivamente, as forças. d) podem ser atrativas ou repulsivas, resultantes sobre o planeta nos pontos À e B, pode-se afirmar que: e) teriam intensidade maior se o meio fosse Tópico 4 - Gravitação 229 HER (unitorCE) A força de atração gravitacional entre dois corpos le massas M e m, separados de uma dstência d tem intensidade F.En- tão, a força de atração gravitacional entre dois outros corpos de massas de, separados de ma distância 5 teráintensidade b) a E dE. e) 4F, FEEREES considere uma estreia A e dois planetas Be Calinhados | em determinado instant, conforme india a fgura. A massa de A | vale 200 Me as massas de BC, Me 2M, respectivamente. | | Sendo cada a distância x e a Constante da Gravitação (6). calcule, no instante da figura, a intensidade da fora resultante das ações gravi- tacionais de À e Csobre B. | Resolução: | Oplaneta B é atraído gravitacionalmente pela estrela A e pelo plane- | 136 recebendo, especiament as tas é Fc eprsentads no esquema abaixo; As intensidades de É, e de F., ficam determinadas pela Lei de Newton da Atração das Masses. | 200M-M ac M | Fx (mê Euá Ppsdo 2MM Lc Mt ppa | Aintensidade (F] da força resultante das ações gravitacionais de Ae Csobre B é calculada por: Em E qui quis Rad Donde: ] E qua | | Nota: + Aforça resultante calculada é dirigida para a estrela A. HM Em determinado instante, três corpos celestes A, B e € têm seus centros de massa alinhados e distanciados, conforme mostra o esquema abaixo: Sabendo que as massas de À, B e C valem, respectivamente, SM, 2M e M, determine a relação entre as intensidades das forças gravitacio- nais que B recebe de A e de C ET atuação esquematizada na fgura os corpos, e, estão fios nas posições inicadas e uas massas valem 8M e 2M respectivamente. Deve-se fixar no segmento que une P, a P, um terceiro corpo P, de massa M de modo quea força resultante das ações gravitacionais dos dois primeiros sobre este último seja nula. Em que posição deve-se fxarP;? aa RENTE um satélite de massa m descreve uma órbita circular de raio R em tomo de um planeta de massa M, Sendo G a Constante da | Gravitação, responda: à) Qual a velocidade angular o do satélite? b) Ovalorde a depende dem? bj 8 Je db. E Resolução: a) | | Aforçagravitacional F desempenha a função de resultante centri- peta no movimento circular e uniforme do satélite. ER E um | Sendo F=G2M er, =mu?R vem: Mm GM =MOPR = ao Donde: by Ovalor de q independe dem, Nota: * Satélites diferentes percorrendo uma mesma órbita circular não col- dem entre s já que suas velocidades angulares ão iguais. (UEL-PR| O planeta Vênus descreve uma trajetória pratica mente circular de raio 1,0 - 10!! m ao redor do Sol. Sendo a massa de Vênus igual a 5,0 - 102* kg e seu pertodo de translação 224,7 dias [2,0 10º segundos), pode-se afirmar que a força exercida pelo Sol so- bre Vênus é em newtons, aproximadamente a) 50-102, q 25105, bj 50.102 d) 50-102 e) 25:10! (Fuvest-SP) Um satélite artificial move-se em órbita circular ao redor da Terra, ficando permanentemente sobre a cidade de Macapá à) Qual o periodo de revolução do satélite em torno da Terra? bj Por que o satélite não cai sobre a cidade? Tópico 4 Gravitação 231 Bloco 3 6. Estudo do campo gravitacional de um astro Linhas de força do campo gravitacional De acordo com os preceitos da Física Clássica, toda massa tem capacidade de criar em torno de si um campo de forças, denominado campo gravita- cional. Uma estrela, por exemplo, tem ao seu redor um campo gravitacional, o mesmo ocorrendo com um simples asteróide. A intensidade do campo gravitacional em deter- minado ponto aumenta com a massa geradora do cam- po e diminui com a distância até essa massa, como verificaremos mais adiante em nosso estudo, O campo gravitacional é atrativo, já que partícu- las submetidas exclusivamente aos seus efeitos são “puxadas” para junto da massa geradora Linhas de força de um campo gravitacional são nhas que representam, em cada ponto, a orientação da força que atua em uma partícula (massas de prova) submetida exclusivamente aos efeitos desse campo. Se o astro considerado for esférico e homogêneo, as linhas de força do seu campo gravitacional terão a direção do raio da esfera em cada ponto (linhas ra- diais), sendo orientadas para o centro do astro, como representa a figura abaixo. Nesta ilustração, a redução na espessura das linhas de força representa a diminuição da intensidade do campo gravitacional com o aumento da distância à massa geradora A grandeza fisica que caracteriza um campo gra- vitacional é o vetor aceleração da gravidade (£). que é a aceleração adquirida por uma partícula deixada exclusivamente aos efeitos do campo. A aceleração da gravidade tem a mesma direção e o mesmo sentido das linhas de força. isto é. é radial ho astro e dirigida para O seu centro Cálculo da intensidade da aceleração da gravidade num ponto externo ao astro Vamos admitir um astro esférico e homogêneo de raio Re massa M. Nesse caso, podemos considerar toda a sua massa concentrada em seu centro geométrico. Um corpo de massa m, situado a uma altura hem relação à sua superfície, receberá uma força de atração gravitacional F, conforme representa a figura abaixo. Sendo G a Constante da Gravitação. podemos expressar a intensidade de É pela Lei de Newton da Atração das Massas F=6E2 > rg & Remi O Representando, porém, por g à intensidade da ace- leração da gravidade no ponto em que o corpo se en- contra, também podemos expressar a intensidade de F por: F=mg am Comparando (Il) e (I). temos: O resultado acima evidencia que g independe da massa de prova (m), dependendo apenas da massa geradora do campo (M) e da distância d =R +h, como mencionamos anteriormente 232. PARTEI = DINÂMICA Como exemplo, observe, na tabela abaixo, à va- riação da intensidade da aceleração da gravidade na Terra em função da altitude Altitude (m) g(mis) Altitude (m) 9 (mis) 0 9,806 32000 971 1000 9,803 100000 9,60 4000 9,794 500000 8,53 8000 9,782 1000000 7,41 16000 9757 380000000 -0,00271 Cálculo da intensidade da aceleração da gravidade na superfície do astro Retomemos a expressão anterior: M (Rh s=G Desprezando os efeitos ligados à rotação e obser- vando que sobre a crosta do astro h = 0, a intensidade da aceleração da gravidade na superfície (g) fica dada por: Na tabela abaixo, estão relacionados os valores aproximados das acelerações da gravidade nas super- ficies dos planetas do Sistema Solar. Planeta go (m/s) Mercúrio 2,647 Vênus 8433 Terra 9,806 Marte 3,628 Jupiter 25,887 Satumo n4B Urano 9021 Netuno 14,120 e do Sol vale 274.568 m/s” e na a. 1.667 mi Na superfic perfície da L O dia 20 de julho de 1969 entrou pa ria como um marco nas conquistas espaciais. Pela primeira vez um ser humano, representado pelo | astronauta norte-americano Neil Armstrong, colo- cava os pés na Lua, coroando uma era de ousadia e evoluções. O próprio Armstrong reverenciou a importância daquele momento, proferindo uma frase lapidar: “Este é um pequeno passo para um homem, mas um grande passo para a humanida- de”. Na Lua, a aceleração da gravidade tem va- lor igual a um sexto do valor registrado na Terra, aproximadamente, o que permitiu aos astronautas | suportarem seus trajes e equipamentos com tran- quilidade. Há registros em video de alguns deles saltitando com extrema leveza, como que desfru- tando de forma descontraída da baixa gravidade Brasileiro foi ao espaço tenente-coronel aviador Marcos César Pontes tornou-se o primeiro brasileiro air ao espaço em março de 2006, após cerca de oito anos em treinamento divididos entre a Agência Espacial Norte-Americana (Nasa) ea Agência Espacial Russa (Roscosmas). O astronauta executou oito experimentos científicos solicitados por universidades e institutos de pesquisa, cujos resultados iniciais foram apresentados em seminário tealizado em novembro do mesmo ano. Fonte; Adaptado de Ministe 3 e Tecnologia = Agência B Acesso em janeiro INÂMICA 234 PARTE DI Essa energia radiante, entretanto, é emanada pelas estrelas durante um intervalo de tempo limitado. Quando o combustível nuclear = o hidrogênio - se esgota, elas passam a se compactar, desabando sobre si mesmas, pela ação de forças de origem gravitacional, e concentrando suas enormes massas em volumes extremamente pequenos, se com: parados aos volumes originais Dependendo de sua massa, Uma estela poderá transformar-se em um buraco negro - um corpo hipercompacta- do, que tem sua gigantesca quantidade de matéria aglomerada em um volume muito reduzido. O Sol tem uma massa muito pequena para se transformar em um buraco negro. Sua agonia como estrela, prevista para daqui a bilhões de anos, deverá conduzio à condição de aná branca, que é outo tipo de cadáver estelar. Os buracos negros mais comuns têm massa equivalente à de dez sóis. Recordemos que a intensidade da aceleração da gravidade na superfície de um astro (g), desprezada sua rotação, é dada em função de sua massa (M) e de seu raio (R) por: M =Go 9=Sm em que G é a Constante da Gravitação. Como no caso dos buracos negros M é muito grande e R é muito pequeno, g resulta muito grande, o que produz em torno desses corpos campos gravitacionais extremamente intensos, que influem significativamente em todas as massas das proximidades, inclusive na luz, que é sensivelmente desviada pela sua atração. Quando lançamos uma pedra verticalmente para cima, a partir da superfície de um astro, ela atinge determina» da altura máxima e, depois de certo intervalo de tempo, retoma praticamente ao ponto de partida. Se repetirmos o lançamento imprimindo à pedra uma velocidade inicial maior, ela se elevará a uma altura maior, mas ainda voltará ao solo, atrada gravitacionalmente pelo astro Se lançarmos a pedra sucessivamente com velocidades cada vez maiores, chegaremos a situações em que ela “escapará da gravidade do astro”, não mais retornando à sua superfície. A velocidade de escape na Lua, por exemplo, é de 18 km/s; na Terra, de 11,2 km/s, e no Sol, de 620 km/s. Nos bu- facos negros, à velocidade de escape supera à barreira dos 300000 km/s por isso, nem mesmo a luz consegue escapar dasua atração. É por esse motivo que esses corpos celestes são invisíveis, tendo sua presença registrada apenas pela expressiva influência gravitacional manifestada nos arredores. Se o Sol tivesse volume igual ao da Terra, a velocidade de escage desse astra fictício seria de 6500 km/s. Para que aTerra se transformasse em um buraco negro, sua massa deveria ser compactada até volumes menores que o de uma bola de gude. Apesardeserumtemamuitodiscutidonosdliasdehoje osburacosnegrosjávêm sendoestudadosdesdeo século XVil: oastrônomo inglês John Michell (1724-1793) analisou a possibilidade da existência desses corpos, o mesmo ocorrendo com o matemático francês Pierre Simon de Laplace (1749-1827) Atualmente, todas as teorias astronó- micas utilizam essa concepção, dotando o Universo desses pólos invisíveis, verda- deiros sorvedouros de matéria, que desa- fiam a imaginação e levam o ser humano a se questionar em busca de explicações. No Universo, além daquilo que podemos vera olho nu ou com o auxílio de telescópios, há as invisíveis buracos negros, estágio final de estrelas de grande porte. Pelo fato de terem um campo gravitacional extremamente intenso nas suas proximidades, os buracos negros "sugam para sios corpos dos seus amedores. | om Tópico 4 - Gravitação 235 7. Variação aparente da intensidade da aceleração da gravidade devido à rotação do astro Considere um astro esférico e homogêneo de raio R e massa M em rotação uniforme em torno de um eixo imaginário yy”, com velocidade angular igual a 6 Um corpo de prova de massa m, colocado sobre à superficie do astro em um ponto A de latitude q, des- creverá uma circunferência de raio re centro no eixo yy”, com velocidade angular 0. Em A, o corpo de prova ficará sujeito à força de atração gravitacional F, que admite duas com- ponentes, E e P, conforme representa a figura a seguir. ab A componente F.. é a força centrípeta necessá- ria para que o corpo realize o movimento circular e uniforme acompanhando a rotação do astro. | Como vimos no Tópico 3, a intensidade de F,, é dada por E motr A componente P, por sua vez, traduz o peso apa- rente do corpo, isto é, a indicação que seria fornecida por um dinamômetro situado no ponto A, caso o cor- po de prova fosse dependurado nesse aparelho. P=mg em que g é o valor aparente da aceleração da gravida- de no ponto A. Corpo de prova no equador do astro (latitude q = 0º) Neste caso, r = R e a intensidade da força centri- peta será máxima. Isso significa que o peso aparen- te terá intensidade mínima, já que a força de atração gravitacional tem intensidade constante Vamos calcular, então, o valor aparente da acele- ração da gravidade no equador do astro (g,): F Como nesse caso os vetores É, É,, e P têm mesma direção e mesmo sentido, vem: pb sp R4P > P=E-E Ou mg GU marR Cancelando m, obtemos; Destaquemos que, se o valor de q) for aumentado, &, diminuirá. Se o astro fora Terra, por exemplo, pode-se verifi- car que, se a velocidade angular de rotação do planeta fosse aproximadamente 17 vezes a atual, os corpos si- tuados na linha do equador aparentariam peso nulo. Corpo de prova nos pólos do astro (latitude q = 90º norte ou 90º sul) Neste caso, r= 0 ea força centripeta será nula. Isso significa que o peso aparente terá intensidade máxima, igual à intensidade da força de atração gravitacional. Vamos calcular, então, o valor aparente da acele- ração da gravidade nos pólos do astro (g,): Ou,em módulo: P=F > mg,=G o +M Donde: 60 Nos pólos, como não há influência do movimento de rotação do astro, podemos dizer que o valor aparente da aceleração da gravidade coincide com o valor real. Devido à forma não-esférica da Terra, e também por causa da rotação do planeta, a aceleração da gra- vidade em sua superfície sofre variações. Na tabela abaixo, aparecem alguns valores de g medidos ao ni- vel do mar em pontos de diferentes latitudes. Latitude 9 Latitude g (graus) (mis) (graus) (mis) 0 9,78039 E 981071 10 978195 (E) 981918 20 978641 7 9,82608 30 979329 E 9,83059 40 9,80171 90 9,83217 E 
