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Aluno: Darah Emmanuelle Garcia Lopes Engenharia Civil
Capítulo 1 – Funções
●Definição
Função é uma relação entre dois conjuntos A e B, não vazios, de forma que todo elemento de A tem um elemento correspondente em B e um elemento de A só possui um único correspondente no conjunto B. Para ilustrar a definição anterior através do diagrama de flechas. Então, temos: Analisando a figura, pode-se concluir que:
- O conjunto A é o domínio. - O conjunto B é o contradomínio. - Os elementos de B, que estão relacionados a elementos em A é chamado de imagem da função.
●Função definida por fórmulas
As funções são definidas por uma lei de formação, é dessa forma que estabelecemos uma relação entre dois conjuntos. Elas servem para expressar situações com base na álgebra. Exemplo 1: A função que representa o quadrado de um número é dada através da função f (x) = x² ou y = x². É considerada uma função que possui domínio e imagem nos reais.
f: R→R tal que f(x) = x² Exemplo 2: A função f (x) = x² + x é considerada uma função do 2º grau. Nesse caso ela representa o quadrado de um número adicionado ao próprio número. Dessa forma podemos construir o seguinte diagrama:
●Classificação das funções
Crescente: uma função é crescente quando para quaisquer valores x1 e x2 do domínio, sendo x1 < x2, temos que f(x1) < f(x2). Isto quer dizer que se os valores de x aumentam, os valores de y também aumentam.
Sobrejetora ou sobrejetiva: Temos que f: A → B é sobrejetora ou sobrejetiva se, e somente se, todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A. Bijetora ou bijetiva: Um função f : A → B é bijetora ou bijetiva se, e somente se, ela for injetora e sobrejetora. Isto é, todos os elementos de B é imagem de apenas um elemento de A. Compostas: Devemos entender que a função composta nada mais é que uma função “dentro” de outra. Usam-se duas notações para se representar uma composição de funções.
Para podermos calcular essa composição, devemos começar representando as funções de fora para dentro, ou seja, primeiro a função f(x) e logo em seguida a função g(x), “dentro” da primeira função. Quando por exemplo, calculamos f(1) na função f(x) = x + 2, basta substituirmos todas variáveis x pelo valor 1, então teríamos, pelo exemplo f(1) = 1 +2, então f(1) = 3. No caso da função composta é a mesma coisa, a mudança é apenas que ao invés de substituirmos o “x” por algum número, substituímos o “x” por uma função correspondente. Inversa: Devemos entender que a função inversa “transforma” o que é domínio em imagem e “transforma” o que é imagem em domínio. Antes de fazermos essa transformação, devemos tomar cuidado para ver se a função é bijetora (injetora e sobrejetora ao mesmo tempo), pois se não for, não existirá função inversa. Siga então os passos listados para encontrar a função inversa de dada função: (1). Verifique se a função dada é bijetora (2) Em caso afirmativo, substitua, onde existir “x” na função troque por “y” e vice- versa. (3) Isole o “y”. Esses são os passos para se encontrar a função inversa. A notação da inversa é a função “elevada” a menos 1. Devemos lembrar que a notação f (x) é a mesma coisa que y.
●Raiz de uma função de primeiro grau
Para calcular a raiz de uma função de primeiro grau basta: a) Igualar a equação a zero. b) Isolar o x. Exemplo: y = 10x + 5 10x + 5 = 0 10x = – 5 x = – 5/ x = -1/
Capítulo 3 – Função do 2º grau
●Definição
Forma geral: f (x) = ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c Onde: a, b e c devem pertencer ao conjunto dos números reais e a ≠ 0.
●Gráfico
Toda função do segundo grau pode ser representada geometricamente no plano por meio de uma parábola. Em primeiro lugar, para construir uma parábola, é necessário possuir alguma referência do formato dessa figura. A imagem a seguir é um exemplo de parábola: Nas funções do segundo grau, esse gráfico pode ter a concavidade (abertura) voltada para cima ou para baixo. Exemplo: f (x) = x^2 x f (x) y
- 2 f (– 2) = (– 2)^2
- 1 f (– 1) = (– 1)^2 0 f (0) = (0)^2 1 f (1) = (1)^2 2 f (2) = (2)^2 Ao marcar os pares ordenados no plano cartesiano e ligar esses pontos, tendo como base para isso a parábola dada anteriormente, temos a seguinte representação:
0 → a função do 2º grau possui duas raízes reais distintas. = 0 → a função do 2º grau possui apenas uma raiz real. < 0 → a função do 2º grau não possui nenhuma raiz real. Exemplo 1: x² – 5x + 6 = 0 ? = b² – 4ac ? = (– 5) ² – 4 * 1 * 6 ? = 25 – 24 ? = 1 Possui duas raízes reais e distintas, isto é, a parábola intersecta o eixo x em dois pontos. Exemplo 2: x² – 4x + 4 = 0 ? = b² – 4ac ? = (– 4) ² – 4 * 1 * 4 ? = 16 – 16 ? = 0 Possui apenas uma raiz real, a parábola intersecta o eixo x em um único ponto.
Exemplo 3: x² + 2x + 2 = 0 ? = b² – 4ac ? = (2) ² – 4 * 1 * 2 ? = 4 – 8 ? = – 4 Não possui raiz real, a parábola não intersecta o eixo x.
●Ponto máximo e mínimo
Para determinar o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau , basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas: Onde: Xv é o ponto máximo. Yv é o ponto mínimo. O ponto máximo e o ponto mínimo podem ser atribuídos a várias situações presentes em outras ciências, como Física, Biologia, Administração, Contabilidade entre outras. Física: movimento uniformemente variado, lançamento de projéteis. Biologia: na análise do processo de fotossíntese. Administração: estabelecendo pontos de nivelamento, lucros e prejuízos.
Referencias: https://matematicabasica.net/ https://brasilescola.uol.com.br/ https://waldexifba.wordpress.com/ https://blogdoenem.com.br/ https://www.somatematica.com.br/ https://www.stoodi.com.br/ https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/
