trabalho de sistemas, Notas de estudo de Mecatrônica

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SUMÁRIO

• 1 INTRODUÇÃO
• 2 SISTEMAS
• 2.1 Propriedades dos sistemas
• 2.2 Estabilidade
• 2.3 Causalidade
• 2.4 Invertibilidade
• 2.5 Linearidade
• 2.6 Invariância temporal

INTRODUÇÃO

O projeto de um sistema de controle pode ser considerado como um problema de posicionar os pólos e zeros da sua função de transferência tal que o sistema desempenhe de acordo com especificações estabelecidas.

Entre as muitas formas de especificações de desempenho usadas em projeto, a mais importante é a estabilidade do sistema. Um sistema instável é geralmente considerado sem utilidade. Quando todos os tipos de sistemas são considerados – linear, não lineares, invariante no tempo, variante no tempo – a definição de estabilidade pode ser dada de muitas formas diferentes, o que foge do escopo de nosso curso. Nós trataremos somente com a estabilidade de sistemas monovariáveis lineares invariantes no tempo.

Para propósitos de análise e projeto, nós podemos classificar a estabilidade como estabilidade absoluta e estabilidade relativa. Estabilidade absoluta refere-se à condição do sistema ser estável ou não; isto é: a resposta é sim ou não. Uma vez que o sistema é estável, é interessante determinar como esta estabilidade se apresenta, isto é, o grau de estabilidade é uma medida da estabilidade relativa.

2 SISTEMAS

O retificador ideal de meia-onda e também um sistema fácil de representar matematicamente:

Tal como o retificador ideal de onda-completa;

y(t) = H[x(t)] = |x(t)|

Relações entre a entrada e a saída destes dois sistemas, retificação de onda completa e meia onda.

Relação entre a entrada e a saída de um retificador ideal de meia-onda e um retificador ideal de onda-completa.

Um outro exemplo de um sistema simples de descrever matematicamente, embora de grande importância, e o amplificador de ganho variável,

y(t) = H[x(t)] = α(t)x(t)

2.1 Propriedades dos sistemas

Um sistema pode ser caracterizado de acordo com várias propriedades, entre as quais, a estabilidade, a memória, a causalidade, a invertibilidade, a linearidade e a invariancia temporal. Em seguida, vamos definir cada uma destas propriedades, todas elas importantes em varios contextos. No entanto, a linearidade e a invariancia temporal ter ˆ ao uma importância central no nosso estudo.

2.2 Estabilidade

Um sistema e estável se para qualquer sinal de entrada limitado em amplitude ´ produz um sinal de saída também limitado em amplitude, ou seja, se

Exemplo de retificacao de um sinal: (a) sinal original; (b) retificacão de meia- onda; (c) retificacao de onda-completa. Então;

|y(t)| = |αx(t)| = |α||x(t)| ≤ |α|Mx < ∞, para |α| < ∞.

Por outro lado, o sistema dado por

y(n) = 2y(n − 1) + x(n)

Não é estavel. De fato, se considerarmos um impulso a entrada do sistema, ou seja, fazendo x(n) = δ(n), iremos ter a seguinte sequencia de valores de saıda (consideramos y(n) = 0, n <0):

Logo, para uma entrada limitada em amplitude, obtemos uma resposta que cresce sem limite, pelo que o sistema e instável.

2.3 Causalidade

Um sistema é causal se, para se calcular a sua saída num dado instante t (ou n), só forem necessários valores atuais ou do passado. Portanto, um sistema causal não necessita conhecer o futuro para determinar a saída num dado instante o que, fisicamente, parece bastante obvio. No entanto, dentro de certas condições, podemos de fato ter sistemas que não são causais. Comecemos por considerar o sistema causal definido atraves de:

y(n) = x(n) + x(n − 1) − 0.5y(n − 1)

Como se pode ver, a saída deste sistema só depende de valores do presente, ´ x(n), e do passado(n − 1) e y(n − 1).Seja agora o sistema:

y(n) = x(n) + x(n + 1) − 0.5y(n − 1)

A linearidade e uma das duas propriedades mais importantes de um sistema, uma vez que, quando se verifica, permite utilizar um vasto conjunto de ferramentas para análise e síntese de sistemas. A outra propriedade importante e a invariância temporal, a qual e abordada no ponto seguinte. Para ser linear, um sistema tem que ser aditivo e homogêneo. Um sistema e aditivo se,

Esta propriedade e representada em termos de um diagrama de blocos:

A propriedade da aditividade permite comutar o bloco somador com o sistema, mantendo-se a mesma funcionalidade do conjunto. Um sistema e homogêneo se

A propriedade da homogeneidade permite comutar o bloco de ganho com o sistema, resultando num conjunto equivalente.

2.6 Invariância temporal

Um sistema e invariante no tempo se um deslocamento temporal do sinal de entrada (atraso ou avanço) produz unicamente um igual deslocamento temporal no sinal de saıda. Portanto, um sistema y(t) = H[x(t)] e invariante no tempo se;

Como se pode ver na formula acima, isto significa que se pode comutar um bloco de atraso com o sistema, obtendo-se um resultado equivalente. Por exemplo, o sistema retificador ideal de onda-completa e um sistema invariante no tempo, porque;

Por outro lado, o amplificador de ganho variável não é invariante no tempo, porque;

A propriedade da invariância temporal permite comutar o bloco de atraso com o sistema, resultando num conjunto equivalente.