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Disciplina: Matemática
Escola Secundária D. Sancho II – Elvas
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Elvas, 16 de Novembro de 2006
Trabalho realizado por:
Carlos Lagareiro
N.º 7
12.º A
Índice
- • Introdução..................................................................................................... Pág.
- • Os jogos de azar....................................................................................... Págs. 4-
- • Cálculo combinatório, um pouco de teoria............................................... Págs.6-
- • Evolução da combinatória e probabilidades.......................................... Págs. 8-
- • Matemáticos notáveis.......................................................................... Págs. 11-
- • Conclusão................................................................................................... Pág.
- • Referências bibliográficas.......................................................................... Pág.
História dos jogos de azar
Os jogos de azar são, provavelmente, tão velhos quanto a Humanidade. Existem provas arqueológicas da prática do jogo do osso há 40 000 anos. Ademais, jogava-se e joga-se praticamente pelo mundo inteiro, sendo raras as sociedades que não o faziam. Historicamente, os jogos mais praticados foram o do osso e o de dados, que surgiu na Índia e Mesopotamia como evolução do jogo do osso, e daí se difundiu para o mundo grego, romano e cristão, por volta de 1500-1400 a.C., pela mão do imperador Cláudio, que até em viagem jogava dados. É também importante lembrar que antigamente jogava-se em apostas bem como para prever o futuro, decidir disputas, dividir heranças, etc. As mais antigas matematizações de jogos de azar resumem-se na mera enumeração das possibilidades de se obter um dado resultado no jogo, não havendo preocupação probabilísta explícita. Curiosamente, o mais antigo desses registros ocorre num contexto nada profano: em 950 d.C., um bispo belga, Wibold, inventou um jogo religioso que, a cada um dos 56 possíveis resultados do lance de 3 dados, atribuía uma penitência ou a prática de uma virtude correspondente. Em várias obras literárias medievais também encontramos enumeração das possibilidades de se obter o resultado 2, 3, ..., 12, ao jogar dois dados, ou de se obter 3, 4, ..., 18, ao jogar três dados, etc. Em relação aos primeiros cálculos de probabilidades em jogos de azar, os italianos quinhentistas foram os primeiros a faze-los. Precisando comparar frequências de ocorrências e estimar ganhos em jogos de azar, eles foram além da mera enumeração de possibilidades. Contudo, limitaram-se a resolver problemas concretos, ainda não havia produção de teoremas. Paccioli foi o primeiro a estudar um problema probabilístico, o problema dos pontos: “Dois jogadores disputavam um prémio que seria dado a quem primeiro fizesse 6 pontos no jogo da balla. Quando o primeiro jogador tinha 5 pontos e o segundo tinha 3 pontos, foi preciso interromper o jogo. Como dividir o prémio?” Contudo, este problema só foi solucionado por Cardano no seu livro “Liber de Ludo Aleae” ode resolveu problemas de enumeração, introduzindo uma rudimentar noção de esperança matemática. Apesar de ter sido o primeiro a introduzir técnicas
combinatórias para calcular a quantidade de possibilidades favoráveis num evento aleatório e, assim, poder calcular a probabilidade de ocorrência do evento como a razão entre a quantidade de possibilidades favoráveis e a quantidade total de possibilidades associadas ao evento., também se limitou à resolução de problemas concretos. Tartaglia resume-se a dedicar algumas páginas do seu livro “General Trattato” aos problemas de Paccioli. Galileu foi o autor de outro manual sobre jogos, “Considerações sobre o jogo de dados”, no qual surge pela primeira vez uma comparação explícita de frequências de ocorrência. Todos estes matemáticos baseavam o seu estudo na observação de fenómenos aleatórios sobre os quais inferiam baseados no senso comum, o que consideravam como curiosidades matemáticas. Assim, um motivo tão mundano quanto os jogos de azar é que acabou levando ao desenvolvimento da análise combinatória. A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo dos métodos de contagem e grandes matemáticos se ocuparam com o assunto. A Análise Combinatória desenvolveu métodos que permitiram contar, de uma forma indirecta, o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições, na tentativa de se avaliar as hipótese de se ganhar ou perder em jogos de azar, dando origem à teoria das probabilidades. Deste modo, farei referência, mais à frente neste trabalho, a estes últimos e principais aspectos referentes à história sobre os jogos de azar.
- Permutações circulares: Este tipo de permutações não difere muito das permutações simples, apenas no modo da disposição dos elementos, uma vez que se dispõem em circunferência: P (^) c (n) = (n-1)! 2. Arranjos: Tal como as permutações, os arranjos consistem no agrupamento de n elementos, distintos entre si, formados por p elementos. Qualquer sequência de p elementos formada por n elementos de um conjunto, podendo, ou não, haver repetição. Nos arranjos podemos distinguir 2 tipos: arranjos simples e arranjos completos:
n (^) A (^) p = n. (^) (n - 1). (^) (n - 2). (^) .... (^) [n - (p - 1)]
- Arranjos simples (Arranjos sem repetição): Chamamos arranjos simples de n elementos p a p a qualquer sequência formada com p elementos de A, sem repetição, onde A é um conjunto de n elementos. (p maior ou igual a 1 e menor ou igual a n): n^ A p = (n !) / [ (n - p)! ]
- Arranjos completos (Arranjos com repetição): Sendo A um conjunto de n elementos, então, ao número de arranjos com repetição dos n elementos tomados p a p, chamamos arranjos completos. (p maior ou igual a 1 e menor ou igual a n): n^ A’ (^) p = n p 3. Combinações:
Basicamente, a diferença entre combinações e arranjos tem a ver com a importância da ordem nas posições dos elementos. Falando matematicamente, podemos definir combinações da seguinte maneira: Se se pretende formar sequências com p elementos, de entre os n elementos de um conjunto, onde a ordem pela qual os elementos são dispostos não é relevante, para quantificar os números de sequências possíveis utilizam- se combinações: n^ C (^) p = (n !) / [ p! (n – p)! ]
Evolução da combinatória associada ao estudo das probabilidades
A probabilidade torna-se muito difícil de definir porque parte de uma noção que nos é inata, mas podemos referir que quantifica a margem de sucesso ou insucesso de um acontecimento. Tal como qualquer ramo da ciência, o estudo das probabilidades começou por se efectuar a nível do quotidiano, com a observação de fenómenos diários e como explicação para muitas situações que ocorriam aleatoriamente, tantas vezes julgadas por ordem Divina. Com o passar do tempo e com o surgimento de mentes capazes de ver mais longe, a probabilidade começou a ser tratada como uma questão matemática, e assim foi evoluindo até ao que estudamos hoje em dia. A génese das probabilidades costuma atribuir-se às questões a Pascal pelo Cavaleiro de Meré. A correspondência trocada entre Pascal e Fermat, na sequência da dúvida do Cavaleiro, representa um passo em frente no domínio das probabilidades. Em 1654, foi colocado a Pascal o seguinte problema: “Dois jogadores jogam um jogo de dados. Cada jogador põe sobre a mesa a mesma quantia, 32 pistolas, moedas na altura. O total seria ganho pelo jogador que obtivesse primeiro três vezes, seguidas ou não, o número em que apostou, de entre as 6 faces do dado. De Meré apostou no 6 e o outro no
- Mas o jogo teve de ser interrompido quando De Meré já tinha duas saídas de 6 e o outro jogador apenas uma de 5. Como dividir de um modo justo as 64 moedas apostadas?” A noção de independência está presente em todo o problema, já que a resolução parte da determinação da probabilidade que cada jogador tem de ganhar em cada momento, conforme a evolução do jogo. O problema resolve-se da seguinte forma, pela voz do próprio Pascal numa das suas cartas a Fermat: “Suponhamos que o primeiro já tem duas saídas (favoráveis) e o outro uma; a partida que se segue agora é tal que se o primeiro ganha, ganha todo o dinheiro em jogo, a saber, 64 pistolas; se o outro a ganha ficam empatados, duas contra duas e por consequência, se tiverem de se separar, cada um deverá tirar o que pôs, ou seja, 32 pistolas.” A partir deste ponto Pascal fala na primeira pessoa, como se fosse o primeiro jogador: “Ora eu estou então seguro de ter 32 pistolas porque, mesmo perdendo, as ganho; quanto às outras 32, talvez eu as terei, talvez vós as tereis, o azar é igual. Partilhemos pois essas 32 pistolas pela metade e assim receberei 16 além das 32 que já me estão asseguradas.”
Em que T é termo de ordem p e n é o grau do binómio também correspondente à linha n do triângulo de Pascal. Anos depois de Pascal ter previsto que a aliança do rigor geométrico com a incerteza do azar dariam origem a uma nova ciência, Huygens, entusiasmado pelo desejo de dar regras a coisas que parecem escapar à razão humana publicou “De Ratiociniis in Ludo Aleae” (Tratado sobre o Raciocínio nos Jogos de Azar). Esta obra, considerada como o primeiro livro incidente directamente sobre o cálculo de probabilidades, é notável especialmente por também introduzir o conceito de esperança matemática. Huygens teve ainda o cuidado de relatar nesta publicação o conteúdo das cartas trocadas entre Pascal e Fermat, cujo grande mérito saía evidenciado. Leibniz, anos mais tarde, veio a ocupar-se também das probabilidades. Publicou duas obras, uma sobre a “Arte Combinatória” e outra sobre as aplicações do cálculo das probabilidades às questões financeiras, marcando o começo da expansão do cálculo das probabilidades, que viria cada vez mais a ganhar terreno como aplicação noutros campos da ciência. Foi ainda responsável pela incursão de Jakob Bernoulli na teoria das probabilidades. Na obra que publicou, “Ars Conjectandl”, apresentou o primeiro teorema limite da teoria das probabilidades que é rigorosamente provado, desenvolveu a “Lei dos grandes números” (Teorma de Bernoulli), resolveu diversos problemas de probabilidades e abordou combinações, permutações e a distribuição binomial. Infelizmente, pela altura da publicação da obra, Bernoulli tinha falecido à oito anos. No entanto pode afirmar-se que foi devido às suas contribuições que o cálculo das probabilidades adquiriu um estatuto de ciência. No decorrer da história probabilística, matemáticos como Laplace, Gauss e Quetelet assumem um papel de grande importância. Ao primeiro, Laplace, atribui-se a chamada lei de Laplace, que nos permite, sem recurso à experiência e quando se trata de casos de equiprobabilidade, calcular a probabilidade de um acontecimento. Esta lei pode enunciar-se como sendo a probabilidade de um acontecimento A que é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis. No seguimento destes matemáticos, já inserido na escola soviética, encontramos Andrey Kolmogorov, matemático rigoroso e ordenado, que foi capaz de axiomatizar correctamente a teoria das probabilidades. Realizou também o estudo dos seus axiomas, demonstrando-os.
Principais matemáticos responsáveis pela evolução da combinatóriaPrincipais matemáticos responsáveis pela evolução da combinatóriaPrincipais matemáticos responsáveis pela evolução da combinatóriaPrincipais matemáticos responsáveis pela evolução da combinatória
associada ao estudo das probabilidadesassociada ao estudo das probabilidades associada ao estudo das probabilidadesassociada ao estudo das probabilidades
- Pierre de Fermat : Matemático francês que, com Blaise Pascal, fundou a teoria das probabilidades e a moderna teoria dos números. Fermat contribuiu igualmente para a geometria analítica. Licenciou-se em direito na Universidade de Orleães. Tornou-se magistrado em Toulouse. Recusou publicar qualquer das suas descobertas em matemática, que são conhecidas apenas pelas suas cartas. Trocou correspondência com Descartes, mas também com Blaise Pascal.
- Blaise Pascal: Descobriu aos doze anos as proposições de Euclides sem nunca as ter estudado. Aos 17 anos escreve “Ensaio sobre as secções cónicas” no qual inclui o célebre Teorema de Pascal. Em 1653 desenvolve o estudo das propriedades do triângulo que tem o seu nome. O seu trabalho foi importante devido às técnicas de contagem que desenvolveu e à máquina de calcular, que viria a ser base das actuais calculadoras. Estas técnicas de contagem e a calculadora permitiram resolver muitos problemas de probabilidades. A troca de correspondência que manteve com Fermat marca o nascimento da teoria matemática das probabilidades.
- Pierre Laplace: Astrónomo e matemático francês. Entre as suas realizações matemáticas conta-se o desenvolvimento da teoria probabilística. Devemos referir que a grande importância de Laplace no contexto deste trabalho remete para a Lei de Laplace, em que a probabilidade de um acontecimento (P) é igual ao quociente da divisão entre os casos favoráveis e os possíveis para esse acontecimento: P (A)=Casos favoráveis/ Casos possíveis.
- Luca Paccioli: Matemático italiano franciscano também conhecido por Luca di Borgo. Estodou em Veneza e em 1470 compôs o seu primeiro tratado sobre matemática. Deixou a vida de mercador por esses anos e fez-se franciscano, quando ensinou matemática em Perusa, Nápoles, Milão, Pisa, Bolonha, Veneza e Roma. O seu estudo Divina Proportione (Veneza 1503) é valorizado pelas figuras que foram desenhadas por Leonardo Da Vinci.
- Girolamo Cardano: Médico, matemático, filósofo, astrólogo e jogador italiano. É lembrado pela sua teoria sobre a sorte, trabalhos algébricos e muitas publicações médicas, sobretudo pela sua primeira descrição clínica da febre tifóide. Nasceu em Pavia e aí se tornou professor de medicina em 1543. escreveu duas obras sobre física e ciências naturais: “De Subtilitate Rerum” (1551) e “De Varietate Rerum”
Conclusão
Ao longo deste trabalho aprofundei ainda mais as minhas noções de combinatória e probabilidades, e contextualizei no tempo e no espaço a evolução destes dois conceitos matemáticos que espero ter conseguido definir e explicar o mais claramente possível. Se considerarmos os números figurados como a semente daquilo que chamamos de análise combinatória, podemos dizer que antes do século XVII já se faziam estudos sobre esses números. Porém, é com o matemático francês Blaise Pascal e os seus contemporâneos Fermat, Leibliz, no século XVII, que esse estudo adquire uma roupagem científica. Um motivo tão mundano quanto os jogos de azar é que acabou levando ao desenvolvimento da Análise Combinatória. A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo dos métodos de contagem. Grandes matemáticos se ocuparam com o assunto: o italiano Niccollo Fontana, conhecido como Tartaglia, e os franceses Pierre de Fermat e Blaise Pascal. A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar, de uma forma indirecta, o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. Tendo isso em vista, fica mais fácil percebermos porque é que a abordagem matemática do acaso, do azar e do risco, só se iniciou há pouco mais de 500 anos. A disciplina que assim foi construída, a Teoria das Probabilidades, nasceu, mais precisamente falando, das tentativas de avaliar as hipóteses de se ganhar ou perder em jogos de azar. Elaborar este trabalho demonstrou ser uma experiência muito interessante, e descobri factos acerca da combinatória e probabilidades que conseguiriam tornar os jogos de azar objecto de grande curiosidade. Experimentei diversas dificuldades, contudo consegui ultrapassá-las com algum esforço e muita dedicação, esperando que este trabalho agrade ao professor.
Referências bibliográficas
- Internet: o http://www.geocities.com/guida_cruz2000/histmat.htm o http://alea-estp.ine.pt/html/galvirt/html/galv0012-2/docs/mat.pps o http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/fermat/teoria_das_pro babilidades.htm o http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2c.html o http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm13/p.htm o http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20061025153011AAsowSn
- Manual de probabilidades do 12.º ano de Maria Augusta Ferreira Neves, Luís Guerreiro e Ana Moura.
