Braquistócrona: A Trajetória de Menor Tempo em um Campo Gravitacional, Trabalhos de Engenharia Mecânica

Baixe Braquistócrona: A Trajetória de Menor Tempo em um Campo Gravitacional e outras Trabalhos em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!

CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIFAVIP

BACHARELADO EM ENGENHARIA MECÂNICA

LETÍCIA GOMES DE OLIVEIRA

WINICIUS LEÔNNY KLEIN CEZARIO

BRAQUISTÓCRONA

CARUARU - PE

CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIFAVIP

BACHARELADO EM ENGENHARIA MECÂNICA

LETÍCIA GOMES DE OLIVEIRA

WINICIUS LEÔNNY KLEIN CEZARIO

BRAQUISTÓCRONA

Trabalha da disciplina de Dinâmica

Avançada do curso de Engenharia

Mecânica do Centro Universitário UniFavip.

Resumo sobre o caso conhecido como

Braquistócrona, que terá sua nota utilizada

como complemento para pontuação da

avaliação da disciplina.

Professor: Fabio Araujo

Caruaru – PE

1. INTRODUÇÃO

Denomina-se braquistócrona a trajetória de uma partícula que, sujeita a

um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula, se

desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo. Note-se que a questão

não é qual o percurso mais curto entre os dois pontos, cuja resposta nas

condições dadas é, obviamente, a reta que os une, mas sim, qual trajetória é

percorrida no menor tempo.

Apesar de se tratar de um problema antigo, do final do século XVII, e

bem conhecido no meio acadêmico, a constatação experimental ainda

surpreende pessoas que a veem pela primeira vez. O problema da

Braquistócrona é uma questão mecânico-geométrica sobre a curva de descida

mais rápida. A palavra braquistócrona deriva das palavras gregas Brachistos,

que significa menor, e Chronos, que significa tempo.

2. BRAQUISTÓCRONA

O problema começou por ser publicado na Acta Eruditorum de Leipzig,

de Junho de 1696, onde Johann Bernoulli anunciava possuir uma solução e

desafiava os cientistas para, num prazo de seis meses, fazerem o mesmo. Em

Janeiro de 1697 publica uma nova proclamação anunciando que apenas

Leibniz lhe comunicara ter chegado à solução, mas pedia um adiamento do

prazo até à Páscoa para uma maior divulgação da questão junto do meio

científico, o que terá sido aceite.

Acabariam por ser apresentadas cinco soluções nas Actas de 1697: a do

próprio, a do seu tio Jacob, a de Leibniz, a de Hôpital e uma sob anonimato

(que seria a de Isaac Newton, como este veio a reconhecer mais tarde).

Ao contrário do que nossa intuição possa sugerir, o percurso mais rápido

de uma esfera (por exemplo) ao longo de uma calha que una dois pontos a

diferentes alturas não é uma linha reta. Esse menor tempo é obtido se a bola

percorrer uma linha em forma de ciclóide. A cicloide havia sido amplamente

estudada anteriormente, inclusive por Galileu Galilei (1564 - 1643) e Christiaan

Huygens (1629 - 1695). Este último encontrou aplicação na construção de

relógios utilizando o fato da curva ser isócrona (tautócrona), ou seja, fazer com

que um corpo em condições ideais, sujeito apenas à ação da gravidade e

restrito ao percurso da curva, atinja o ponto baixo após um intervalo de tempo

que independa da altura da qual foi solto.

2.1. Ciclóide

A Ciclóide é a curva descrita pelo ponto P na circunferência de um

círculo quando este se movimenta ao longo de uma linha reta. Conforme figura

Figura 1 – Curva ciclóide.

Fonte: (SABINA, 2020)

Uma das primeiras pessoas a estudar a ciclóide foi Galileu, que propôs

que pontes podem ser construídas no formato de ciclóides e que tentou

encontrar a área sob um arco de uma ciclóide. Mais tarde a ciclóide apareceu

em conexão com o Problema da Braquistócrona : encontrar a curva ao longo da

qual uma partícula desliza, sem fricção, em tempo mínimo (sob a ação da

gravidade) a partir do ponto A até um ponto mais baixo B não na mesma

vertical que contém A.

O matemático suíço Johann Bernoulli, que apresentou esse problema

em 1696, mostrou que entre todas as possíveis que unem A e B, como na

figura acima , a partícula levará o menor tempo deslizando de A até B se a

curva for um arco invertido de uma ciclóide. O Problema da Braquistócrona

também foi resolvido por Jakob Bernoulli (irmão de Johann Bernoulli), Isaac

Newton, Gottfried Leibniz e Marquês de L´Hospital. Diz-se, embora sem

comprovação, que Newton soube do problema no final da tarde de um dia

cansativo na Casa da Moeda e que o resolveu naquela noite após o jantar. Ele

publicou a solução anonimamente mas, ao vê-la, Johann Bernoulli observou:

"Ah, conheço o leão pela sua pata."

2.1.1. Parâmetros de uma ciclóide.

Sejam C um círculo de raio r, s uma reta e P um ponto de C.

Denominamos cicloide a curva descrita pelo ponto P quando C rola sobre a

reta s, sem deslizar. Denominamos cicloide a curva definida por um ponto de

uma circunferência que rola sem deslizar sobre uma reta. Uma cicloide iniciada

na origem de um sistema de eixos, criado por uma circunferência de raio r,

consiste nos pontos (x,y) tais que:

x = r ( t − sen ( t ) )

y = r ( 1 −cos ( t ))

Em que t é um parâmetro real. Vamos admitir que a reta s é o eixo OX, o

círculo C inicia o movimento estando seu centro no ponto (0, r) e que o ponto P

coincide com a origem do sistema de coordenadas no início do movimento.

Tracemos dois círculos: C1, representando C em sua posição inicial, e C2,

representando C após ter rolado alguns instantes. Sejam O1 e O2 os centros

de C1 e C2, respectivamente; P = (x, y) o ponto da cicloide em C2; A o ponto

em que C2 toca o eixo OX; Q = (x, 0) e T = (0, y) as projeções ortogonais de P

sobre OX e OY , respectivamente; M e N as projeções ortogonais de P sobre

Figura 3 – Curva Isócrona

Fonte: Unesp (2015)

• A área delimitada por um arco de cicloide e o eixo das abscissas é

igual a três vezes a área do círculo que lhe dá origem (figura 4);

Figura 4 – Delimitação da área de ciclóides

Fonte: Unesp (2015)

• O comprimento de um arco de cicloide é quatro vezes o diâmetro do

círculo rolante que a gerou;

• Se pendurar um pêndulo e colocar dois arcos de uma cicloide como

batentes, este descreverá uma cicloide igual à que gerou os arcos (figura 5);

• Quando o peso de um pêndulo move-se ao longo de uma cicloide,

ainda que a amplitude de oscilação aumente ou diminua, o período do pêndulo

continua sendo o mesmo, pois é uma curva isocrônica (ou tautocrônica), ou

seja, o tempo gasto por um objeto para deslizar sem fricção, em gravidade

uniforme, até seu ponto de mínimo é independente de seu ponto de partida.

Figura 5 - Curva gerada por pêndulo com arcos de cicloide como

batentes

Fonte: Unesp (2015)

3. SOLUÇÃO

3.1. Cálculo Variacional

No contexto disputado do problema da Braquistócrona foi produzido

material significativo para explorar uma nova área na matemática: o cálculo

variacional. Segundo o princípio geral da conservação de energia, a energia

total de um sistema isolado é sempre constante, ou seja, a energia mecânica

Emec de um sistema no qual agem somente forças conservativas não se altera

com o passar do tempo. Temos então que a soma das energias cinética K e

potencial U é constante para qualquer intervalo de tempo. Sendo assim, dados

quaisquer pontos A e B, Emec = KA + UA = KB + UB = constante.

Seja G(x) uma função definida e contínua em [x1, x2] ⊂ R com

x 1

x 2

η ( x ) G ( x ) dx = 0

para toda função η(x) contínua em [x1, x2]. Então,

G(x) = 0, ∀ x ∈ [x1, x2].

Suponhamos que exista x’, x1 ≤ x’ ≤ x2 tal que G(x’) ≠ 0. Sem perda de

generalidade, suponhamos que G(x’) > 0. Como G é contínua, existe uma

vizinhança de x’, digamos (x’1, x’2) ⊂ [x1, x2] tal que G(x) > 0 para x ∈ (x’1,

x’2). Consideremos a função:

η

x

0 Se x

1

≤ x ≤ x '

1

x = x '

1

2

x = x '

2

2

Se x '

1

≤ x ≤ x '

2

0 Se x '

2

≤ x ≤ x

2

Para esta função η particular, que é contínua em seu domínio de

definição, temos que η(x) > 0 para x ∈ (x 0 1 , x0 2 ) e como G(x) > 0 para x ∈

(x’1,x’2), então:

natureza dos respectivos objetos a serem maximizados ou minimizados:

enquanto o cálculo diferencial procura números que tenham a propriedade de

otimizar, o cálculo variacional procura funções com tal propriedade.

Do cálculo variacional, supondo que exista uma função escalar y(x) de

classe C¹, satisfazendo as condições de fronteira y(x0) = y0 e y(x1) = y1, e que

seja um extremo para o funcional v [ y ( x ) ]=

x 0

x 1

F ( x , y ( x ) , y

'

( x ) ) dx onde F é uma

função de classe C² , tem-se que tal função extremal deve satisfazer a equação

diferencial de segunda ordem dada por

Fy −

d

dx

F y

'

Denominada Equação de Euler. Em particular, F depende somente de y

e y’, logo é possível reduzir a equação de Euler à identidade F – y’Fy’ = C

proposta por Eugenio Beltrami (1835 - 1900) em 1868 e que leva seu

sobrenome.

4. Resolução de Johann Bernoulli

Nesta resolução do problema da Braquistócrona, vamos seguir os

passos da solução dada por Johann Bernoulli. Consideremos, inicialmente, os

seguintes fatos:

1. Pelo Princípio de Fermat, sabemos que a luz viaja de um ponto para

outro no menor tempo possível.

2. Pelo fenômeno da refração, a luz tem uma velocidade diferente

conforme o meio em que se propaga (veja Figura 1). Se tivermos dois meios

distintos nos quais a luz se propaga com velocidades

v

1

, v

2

a lei de refração

afirma que

sen μ

1

v

1

sen μ

2

v

2

= cte = K

Figura 1: Esquema para o fenômeno da refração da luz (LIMA,2004).

Imaginemos um meio óptico formado por lâminas l1, l2, ..., ln horizontais

e finas tais que a velocidade da luz em cada lâmina seja

v

1

, i = 1...n conforme

mostra a Figura 2. Então, um raio de luz que parte de A e chega em B,

seguirá uma trajetória como indicada na Figura2, de modo que, para todo j, j

= 1, ..., n,

senμ

j

v

j

= K.

Esse caminho percorrido pelo raio de luz é o que fornece tempo mínimo para ir

de A até B com as velocidades indicadas.

Figura 3.4: Meio óptico e a trajetória descrita por um raio de luz partindo

de A chegando em B (LIMA,2004).

Embora o princípio de tempo mínimo usado anteriormente venha ao

encontro do problema da Braquistócrona, ainda não está claro como podemos

utilizar o fenômeno da refração para resolvê-lo. A dificuldade é que no

problema da Braquistócrona a velocidade com que a partícula se desloca sobre

a curva varia de acordo com a posição em que ela se encontra. Já no caso da

refração do raio de luz, a velocidade é constante em cada meio.

Para transpor esta dificuldade faremos o uso da noção de limite.

Sabemos que a velocidade, depois da partícula descer uma altura y é

√

2 gy

. Então, o caminho que dá o tempo mínimo será o caminho seguido por

um raio de luz num meio tal que a velocidade da luz aumente continuamente

com a descida y e seja precisamente √ 2 gy.

No limite deste processo, é de se esperar que a trajetória da luz através

de um meio cuja densidade aumente continuamente à medida que o raio de luz

desce, satisfaça

senμ

v

= K

onde μ é o ângulo que a reta tangente à trajetória faz

com a perpendicular e v é a velocidade instantânea.

Para finalizar o problema da Braquistócrona consideremos a figura 3.5 a

seguir.

onde K não depende de α. Portanto, a ciclóide tem a propriedade dada por

senμ

v

= K

5. REFERENCIAS

CAETANO, Wellington de Lima. Queda em curvas de menor tempo e tempo

independente da altura - Braquistócrona e Tautócrona. 2008. 34 f. Tese

(Doutorado) - Curso de Física, Instituto de Física Gleb Wataghim, Universidade

Estadual de Campinas, Campinas, 2008.

SOUSA JÚNIOR, José Ribamar Alves de. O Cálculo Variacional e o Problema da

Braquistócrona. 2010. 45 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado Profissional

em Matemática Universitária, Departamento de Matemática, Universidade Estadual

Paulista "júlio de Mesquita Filho", Rio Claro, 2010.

SÃO PAULO. Sabina - Escola Parque do Conhecimento. Governo do Estado

(org.). Braquistócrona. 2020. Disponível em:

https://www2.santoandre.sp.gov.br/hotsites/sabina/index.php/a-sabina/experimentos/

119-pagina-experimento-curva-braquistocrona. Acesso em: 12 set. 2020.

FÍSICA, Unicentro - Gpet (org.). Curva Braquistócrona. 2017. Matheus Henry

Przygocki. Disponível em: https://www3.unicentro.br/petfisica/2017/04/14/curva-

braquistocrona/. Acesso em: 14 abr. 2017.

LIMA, G. Cálculo Variacional: Problemas Clássicos, Aspectos Teóricos e

Desdobramentos, Unicamp, Campinas, 2004.

LIMA, E.L. Curso de Análise - Volumes 1 e 2, IMPA, Rio de Janeiro, 2004.