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Cálculo variacional ! Um curso resumido
Tipologia: Resumos
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Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Instituto de Geociências e Ciências Exatas Campus de Rio Claro
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação Mestrado Pro ssional em Matemática Universitária do Departamento de Matemática como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre
Orientadora Profa. Dra. Renata Zotin Gomes de Oliveira
F634c
Flores, Ana Paula X. Cálculo Variacional: aspectos teóricos e aplicações/ Ana Paula Ximenes Flores- Rio Claro: [s.n.], 2011. 69 f. : il., g., tab.
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas. Orientadora: Renata Zotin Gomes de Oliveira
Dedico a minha família: José, Lindalva, José Eduardo e Kelly.
Primeiramente a Deus, pela vida.
À minha orientadora Renata, pela dedicação, paciência e amizade.
Aos professores e funcionários do IGCE que colaboraram para a realização deste trabalho.
À banca examinadora da quali cação e defesa do mestrado: Maria Beatriz, Suzinei e Wladimir.
Aos funcionários municipais da saúde de Novo Horizonte, especialmente à amiga Eveline. Bem como à equipe da Unidade de Terapia de Queimados do Hospital Padre Albino, Catanduva - SP, pelo cuidado.
Aos amigos: Alyne, Ana Paula, Belisa, Camila, Cristiane, Cristina, Daniela, Denise, Inaiá, Íris, Josy, Juliana, Karina, Larissa, Liliane, Manuella, Marcos Proença, Marjory, Maurício, Marinéia, Roselaine, Vânia e Viviane.
O principal objetivo deste trabalho é o estudo da teoria do Cálculo de Variações com ênfase na Equação de Euler, que trata de uma condição necessária para uma função ser extremo de um funcional. Existe uma grande variedade de problemas, mas neste trabalho trataremos de problemas com fronteiras xas, tempo nal livre, estado nal livre, funcional dependente de mais de uma função e problemas com alguns tipos de restrições. Dois problemas do Cálculo de uma variável e um exemplo de controle ótimo são estudados para ilustrar a aplicabilidade do Cálculo Variacional.
Palavras-chave: Cálculo de Variações, Equação de Euler, Fronteiras Fixas, Problemas com restrições.
The main purpose of this work is the study of the theory of the Calculus of Varia- tions, with emphasis on the Euler equation, that is a necessary condition for a function to be an extreme of a functional. There are a large variety of problems but we will consider the problem of xed boundary, free nal time, free nal state, functionals that contain several independent functions and problems with some constraints. Two problems of the Calculus of one variable and an example of optimal control problem are studied to illustrate the applicability of Variational Calculus.
Keywords: Calculus of Variations, Euler's Equation, Fixed Boundary, Problems with constraints.
Resolver um problema de otimização signi ca, como o próprio nome diz, buscar o melhor resultado, de acordo com algum critério pré-estabelecido. Na Matemática os problemas de otimização são representados por problemas de máximos e mínimos sendo frequentes os termos: lucro máximo, custo mínimo, tempo mínimo, tamanho ótimo e caminho mais curto. Uma área da Matemática que é muito útil na solução de problemas de otimização é o Cálculo de Variações, que generaliza a teoria de máximos e mínimos do Cálculo Diferencial para funções cujo domínio é constituído por um conjunto de curvas admissíveis. Pela lenda, a Rainha Dido de Cartago, foi aparentemente a primeira pessoa a atacar brilhantemente um desses problemas. Foi prometido a Dido a extensão de terra que ela pudesse cercar com o couro de um boi. Ela preparou uma extensa correia com o couro do boi e cercou um terreno semi-circular, beirando o Mar Mediterrâneo. Essa é a lendária história da fundação de Cartago contada por Virgilio (70 a.C.-19 a.C.) no livro Eneida. Embora a história do Cálculo de Variações data da Grécia antiga, foi a partir do século XVII, na Europa Ocidental, que um progresso substancial foi feito [1]. Em 1696 Isaac Newton (1642-1727) usou princípios variacionais para determinar a forma de um corpo que se move no ar, de modo que a resistência seja mínima. Os irmãos Jackes (1654-1705) e Jean Bernoulli (1667-1748) são frequentemente considerados os inventores do Cálculo de Variações [2]. Jean por ter proposto em 1696 o problema da braquistócrona (encontrar a curva que minimiza o tempo de queda de um corpo, entre dois pontos num plano vertical, liberado de um ponto inicial e sujeito apenas à força da gravidade) e Jackes por propor e discutir o problema das guras isoperimétricas (caminhos planos fechados de uma dada espécie e perímetro xo que abarcam uma área máxima). O problema de Dido é um problema isoperimétrico. Por volta de 1700 a maior parte do Cálculo que hoje se vê nos cursos de gradu- ação já fora estabelecida, juntamente com tópicos mais avançados como o Cálculo de Variações[3]. Lagrange (1736-1813) é em geral o mais notável matemático do século XVIII, sendo somente Euler (1701-1783) um sério rival. A primeira e talvez maior contribuição de Lagrange para a Matemática foi em Cálculo de Variações. Esse era um ramo novo da Matemática, cujo nome se originou das notações usadas por Lagrange aproximada-
Neste capítulo apresentamos algumas de nições e resultados importantes do Cálculo Variacional que serão utilizados durante o trabalho.
De nição 2.1. A norma de uma função é uma regra de correspondência que associa a cada função x ∈ Ω, de nida para t ∈ [t 0 , tf ], um número real, denotado por ‖x‖, e que deve satisfazer as seguintes propriedades:
De nição 2.2. Um funcional J é uma regra de correspondência que associa a cada função x em uma certa classe Ω, um único número real. O conjunto Ω é chamado domínio de um funcional e o conjunto de números reais associados com as funções em Ω é chamado de conjunto imagem do funcional.
O domínio de um funcional é uma classe de funções. Intuitivamente, pode-se dizer que um funcional é uma função de uma função".
De nição 2.3. J é um funcional linear se:
De nição 2.4. Se x e x + δx são funções para os quais o funcional J está de nido, então o incremento de J, denotado por ∆J é dado por
∆J = J(x + δx) − J(x),
onde δx é chamado de variação da função x.
O incremento ∆J também pode ser denotado por ∆J(x, δx) para enfatizar que depende das funções x e δx.
20 Preliminares
Exemplo 2.1. Seja o funcional J
x(t)
∫ (^) b
a
x(t)x′(t)dt, de nido em C^1 [a, b]. Se x(t) = t e x 1 (t) = t^2 , o incremento de J é dado por
∆J = J
x 1 (t)
x(t)
0
t^22 tdt −
0
t 1 dt =
0
2 t^3 − t
dt = 0.
De nição 2.5. O incremento de um funcional pode ser escrito como
∆J(x, δx) = δJ(x, δx) + g(x, δx). ‖δx‖ ,
sendo δJ linear em δx. Se (^) ‖δxlim‖→ 0 g(x, δx) = 0 então J é dito ser diferenciável em x e δJ é a variação de J calculada em x.
A variação de um funcional desempenha o mesmo papel em determinar extremos de funcionais que a diferencial de uma função desempenha em encontrar máximo e mínimo de funções. A variação de um funcional J (δJ) é a aproximação linear para a diferença no funcional J causada pela comparação de duas curvas. Se as curvas comparadas são próximas (‖δx‖ pequena), então a variação deveria ser uma boa aproximação para o incremento do funcional (∆J). No entanto, δJ pode ser uma aproximação fraca para ∆J se as curvas comparadas forem distantes.
Exemplo 2.2. Considere o funcional J
x(t)
∫ (^) b
a
x(t)
dt, de nido em C[a, b]. O incremento de J é dado por
∆J
x(t)
∫ (^) b
a
x(t) + δx(t)
dt −
∫ (^) b
a
x(t)
dt =
∫ (^) b
a
2 x(t)δx(t)dt +
∫ (^) b
a
δx(t)
dt. (2.1) O primeiro termo do segundo membro da equação (2.1) é linear em relação a δx(t), para cada x(t) xo. Analisando o segundo termo, temos ∫ (^) b
a
δx(t)
dt =
∫ (^) b
a
δx(t)
dt ≤
a^ max≤t≤b |δx(t)|
] 2 ∫ (^) b
a
dt =
b − a
‖δx(t)‖ ‖δx(t)‖
onde ‖δx(t)‖ = max a≤t≤b |δx(t)|. Se ‖δx(t)‖ → 0 temos que
b − a
‖δx(t)‖ → 0. Assim, o incremento ∆J é representado como um termo linear em δx e um termo que é um in nitésimo comparado a δx(t). Então, J é diferenciável em x e a variação δJ é dada por δJ
x(t)
∫ (^) b
a
x(t)δx(t)dt.
22 Preliminares
Figura 2.1: Extremo x∗^ e vizinhança.
onde α > 0 e ‖αδx¯‖ < . Suponha que δJ(x∗, δx) < 0 , para δx dado por (2.2). Como δJ é linear temos:
δJ(x∗, δx) = δJ(x∗, αδx¯) = α.δJ(x∗, δx¯) < 0. (2.3) Assim os sinais de ∆J e δJ são os mesmos para ‖αδx¯‖ < e implicam que ∆J(x∗, αδx¯) < 0. Considere, agora δx = −αδx¯, mostrada na gura 2.1. Claramente ‖αδx¯‖ < → ‖−αδ¯x‖ < . O sinal de ∆J(x∗, −αδ¯x) é o mesmo de δJ(x∗, −αδx¯). Novamente,
δJ(x∗, δx) = δJ(x∗, −αδx¯) = −α.δJ(x∗, δx¯) (2.3) = δJ(x∗, −αδx¯) > 0.
Logo se δJ(x∗, δx) 6 = 0, numa vizinhança de x∗, ∆J(x∗, αδx¯) < 0 e ∆J(x∗, −αδx¯) > 0 , contradizendo que x∗^ é extremo. Portanto, δJ(x∗, δx) = 0 para todo δx.
Problemas envolvendo a investigação de máximo e mínimo para funcionais são aná- logos a problemas que determinam o ponto que torna máximo ou mínimo o valor de uma função no Cálculo de uma variável. Esta comparação não será explícita nesse trabalho e pode ser encontrada em Elsgolts [5]. Neste capítulo é feita a dedução da equação de Euler, que trata de uma importante ferramenta na busca de extremos para um funcional. Satisfazer a equação de Euler é condição necessária para que uma função seja um extremo do funcional.
Considere x uma função de classe C^1. Um problema clássico do Cálculo Variacional consiste em encontrar a função x∗^ candidata a extremo do funcional:
J(x) =
∫ (^) tf
t 0
g(x(t), x′(t), t)dt. (3.1)
A notação J(x) signi ca que J é um funcional da função x. Consideraremos g de classe C^2 , t 0 e tf xos e x(t 0 ) e x(tf ) representados por x 0 e xf , respectivamente. Curvas na classe Ω, ou seja funções de classe C^1 que também satisfaçam as condições de fronteiras, são chamadas admissíveis. O objetivo é encontrar as curvas admissíveis (se existir alguma) que sejam extremos relativos de J(x). A busca começa pelas curvas que satisfaçam o Teorema Fundamental do Cálculo de Variações. Assim, tomando x em Ω temos:
Problemas com fronteiras xas e a equação de Euler 25
δx′(t) obtemos:
∫ (^) tf
t 0
∂g ∂x′^ δx
′(t)dt = ∂g ∂x′^ (x(t), x
′(t), t)δx(t)
tf
t 0
∫ (^) tf
t 0
d dt
∂g ∂x′^ (x(t), x
′(t), t)
δx(t)dt. (3.2) Portanto,
δJ(x, δx) =
∂g ∂x′^ (x(t), x
′(t), t)δx(t)
tf
t 0
∫ (^) tf
t 0
{ (^) ∂g ∂x(x(t), x
′(t), t) − d dt
[ (^) ∂g ∂x′^ (x(t), x
′(t), t)
δx(t)dt.
Como todas as curvas admissíveis devem passar pelos pontos x(t 0 ) e x(tf ) então δx(t 0 ) = 0 = δx(tf ). Assim,
δJ(x, δx) =
∫ (^) tf
t 0
∂g ∂x(x(t), x
′(t), t) − d dt
∂g ∂x′^ (x(t), x
′(t), t)
δx(t)dt
para toda curva admissível. Considere agora uma curva extremal x∗. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo de Variações resulta que
δJ(x∗, δx) = 0 =
∫ (^) tf
t 0
∂g ∂x(x
∗(t), x∗′(t), t) − d dt
∂g ∂x′^ (x
∗(t), x∗′(t), t)
δx(t)dt.
Aplicando o Lema Fundamental do Cálculo de Variações segue que a condição necessária para x∗^ ser um extremal de (3.1) é:
∂g ∂x
(x∗(t), x∗′(t), t) − d dt
∂g ∂x′^
(x∗(t), x∗′(t), t)
que é chamada equação de Euler. Tal equação é em geral, uma equação diferencial não linear que não possui solução analítica e necessita de um tratamento numérico.
Exemplo 3.1. Considere o funcional
J
x(t)
0
x′(t)
dt
x(0) = 0 e x(1) = 1. Neste caso, g
x(t), x′(t), t
x′(t)
∂ ∂x
x′(t)
− (^) dtd
∂x′
x′(t)
⇒ 12 t − (^) dtd [2x′(t)] = 0 ⇒ 12 t − 2 x′′(t) = 0 ⇒ − 6 t + x′′(t) = 0
26 O Cálculo Variacional e a Equação de Euler
Resolvendo a equação diferencial:
x′′(t) = 6t ⇒ x′(t) =
6 tdt = 3t^2 + C 1 ⇒ x(t) =
3 t^2 + C 1
dt = t^3 + C 1 t + C 2.
Para determinar as constantes de integração são usadas as condições de contorno,
x(0) = 0 ⇒ 03 + C 1 0 + C 2 = 0 ⇒ C 2 = 0,
x(1) = 1 ⇒ 13 + C 1 1 = 1 ⇒ C 1 = 1 − 1 = 0. Logo, x∗(t) = t^3 é um candidato a extremo. A seguir, veri camos algebricamente, que x∗^ é um mínimo local.
J(x∗(t)) =
0
3 t^2
dt =
0
21 t^4 dt.
Em seguida, calcula-se J
x∗(t) + δx(t)
J(x∗(t) + δx(t)) =
0
3 t^2 + δx′(t)
t^3 + δx(t)
dt
0
9 t^4 + 6t^2 δx′(t) + δx′(t)^2 + 12t^4 + 12tδx(t)
dt
x∗(t)
0
6 t^2 δx′(t)dt +
0
δx′(t)^2 dt +
0
12 tδx(t)dt
Integrando por partes, ∫ (^1)
0
6 t^2 δx′(t)dt = 6t^2 δx(t)
1
0
12 tδx(t)dt.
Daí,
J
x∗(t) + δx(t)
= J(x∗(t)) −
0
12 tδx(t)dt +
0
δx′(t)^2 dt +
0
12 tδx(t)dt
= J(x∗) +
0
δx′(t)^2 dt ︸ ︷︷ ︸ ≥ 0
Portanto, para qualquer δx(t), J
x∗^ + δx(t)
x∗(t)
, ou seja, x∗(t) é um mínimo local.
