Transcal, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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AN ´ALISE NUM´ERICA POR

DIFERENC¸ AS FINITAS DA

EQUAC¸ ˜AO DE CONDUC¸ ˜AO DE

CALOR BIDIMENSIONAL EM

PAREDES PLANAS

Bruno Ferreira Couto

[email protected]

Johnathan Batista dos Santos

[email protected]

Prof. Dr. Felipe Mariano

Lista de S´ımbolos

α Difusividade t´ermica

∆m Incremento diferencial em m

∆t Incremento diferencial de tempo

∆x Incremento diferencial em x

∆y Incremento diferencial em y

ρ Densidade

C Calor espec´ıfico

k Condutividade t´ermica

L Comprimento total

m, i ´Indices num´ericos em x

n, j ´Indices num´ericos em y

T Temperatura

t Tempo

T∞ Temperatura longe da superf´ıcie

Tv, T 0 Temperatura na superf´ıcie ou pr´oxima dela

Lista de Figuras

1. Introdu¸c˜ao

Os problemas de condu¸c˜ao de calor s˜ao regidos por uma equa¸c˜ao diferencial que, atrav´es de um balan¸co de energia tridimensional em um elemento do volume de controle, relaciona a temperatura em cada ponto do volume de controle T (x, y, z), com a gera¸c˜ao de energia e a energia acumulada dentro dele mesmo. Todos os problemas de condu¸c˜ao de calor resolvidos analiticamente, em maior ou menor grau, se resumem na resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial atrav´es de determinadas hip´oteses simplificadoras (como condu¸c˜ao unidimensional ou bidimensional, gera¸c˜ao de energia nula, condutividade constante) e condi¸c˜oes de contorno espec´ıficas; o resultado s˜ao fun¸c˜oes da temperatura para cada ponto do volume de controle. Contudo, na maioria dos problemas pr´aticos de condu¸c˜ao de calor, geometrias complicadas, condi¸c˜oes de contorno complexas e propriedades intr´ınsecas vari´aveis est˜ao envolvidas, dificultando uma solu¸c˜ao anal´ıtica. Nesse caso, m´etodos num´ericos s˜ao as ferramentas mais simples e precisas de resolu¸c˜ao do problema. Quando se trata de an´alises por m´etodos num´ericos, softwares de matem´atica alg´ebrica como o Matlab^1 s˜ao extremamente ´uteis. Atrav´es dele, um algoritmo ´e escrito de forma a abarcar o problema a ser resolvido e suas condi¸c˜oes de contorno e, de maneira iterativa, os c´alculos s˜ao repetidos milh˜oes de vezes at´e se atingir a precis˜ao desejada; al´em disso, gr´aficos do problema podem ser gerados de maneira simples, na mesma interface do software.

1.1. M´etodos num´ericos

M´etodos num´ericos consistem na substitui¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial da condu¸c˜ao de calor por um conjunto de n equa¸c˜oes alg´ebricas para temperaturas desconhecidas, em n pontos escolhidos estrate- gicamente no meio. A solu¸c˜ao simultˆanea dessas equa¸c˜oes resulta nos valores da temperatura nesses pontos discretos Existem v´arios m´etodos num´ericos diferentes que podem ser empregados em problemas de trans- ferˆencia de calor; dentre eles destacam-se o m´etodo dos elementos finitos, o m´etodo dos elementos de contorno, o m´etodo do balan¸co de energia e o m´etodo das diferen¸cas finitas. Este ´ultimo, que d´a t´ıtulo ao trabalho, se baseia no j´a familiar balan¸co de energia para volumes de controle e, dessa forma, fornece um melhor entendimento dos problemas f´ısicos. Vale ressaltar que cada m´etodo num´erico possui suas vantagens e desvantagens, cabendo ao enge- nheiro se aprofundar no tema e concluir qual ser´a o m´etodo mais vantajoso [1].

2. O M´etodo das Diferen¸cas Finitas

Como j´a citado, cada m´etodo possui suas vantagens e desvantagens. As considera¸c˜oes que se seguem s˜ao sobre as peculiaridades do m´etodo das diferen¸cas finitas.

2.1. Modelagem matem´atica

Quando se trata da an´alise matem´atica de algum problema f´ısico, ´e necess´ario uma modelagem, isto ´e, uma express˜ao matem´atica que o represente na forma de n´umeros. Isso implica que, quanto melhor for a modelagem, melhor ser´a a representa¸c˜ao e o entendimento do fenˆomeno f´ısico envolvido. Assim, quanto mais simplificada for a modelagem, mais f´acil ser´a a resolu¸c˜ao matem´atica; contudo, alguma precis˜ao ser´a sacrificada na an´alise do problema f´ısico. De fato, existe uma tendˆencia acentuada nos engenheiros de querer sempre simplificar de mais os problemas para solu¸c˜oes anal´ıticas, como a considera¸c˜ao da condutividade t´ermica constante (que na realidade n˜ao ´e) e a condi¸c˜ao de contorno

(^1) Matlab ´e um software registrado, de uso comercial.

da radia¸c˜ao que quase sempre ´e ignorada. Essa tendˆencia introduz erros que, conforme seja o projeto, tornam inadmiss´ıvel sua execu¸c˜ao via m´etodos anal´ıticos. Com isso, a an´alise por m´etodos num´ericos se torna quase uma obriga¸c˜ao.

Um exemplo de modelagem matem´atica ´e dado na figura (1), onde um corpo oval ´e modelado analiti- camente como uma esfera, e numericamente como um ovo. Note que a precis˜ao ser´a maior na an´alise num´erica devido a geometria mais fiel. Alguns problemas podem ser resolvidos analiti- camente, por´em a modelagem matem´atica pode se tornar t˜ao complexa que o esfor¸co se mostra invi´avel. Solucionar esses problemas podem envol- ver equa¸c˜oes diferenciais parciais, fun¸c˜oes de Bes- sel e de Legendre, onde o n´ıvel de dificuldade foge `a gradua¸c˜ao. Nesse cen´ario, a an´alise num´erica se mostra extremamente convidativa. Vale ressaltar que os benef´ıcios do m´etodo num´erico n˜ao excluem, de maneira alguma, a solu¸c˜ao anal´ıtica do problema. A no¸c˜ao e o bom senso com rela¸c˜ao aos fenˆomenos f´ısicos s˜ao adquiridos justa- mente da an´alise dos problemas, de modo que o num´erico e o anal´ıtico caminham juntos, e de m˜aos dadas. A cren¸ca de que o m´etodo num´erico in- validou o m´etodo anal´ıtico ´e como acreditar que as calculadoras tornaram desnecess´ario que as pessoas aprendam aritm´etica na escola. Figura 1: Exemplo de modelagem matem´atica [1].

2.2. Formula¸c˜ao por diferen¸cas finitas das equa¸c˜oes diferenciais

Do c´alculo diferencial ´e tido que a derivada primeira de uma fun¸c˜ao f (x), ´e dada como

df (x) dx

= lim ∆x→ 0

∆f ∆x

= lim ∆x→ 0

f (x + ∆x) − f (x) ∆x

que ´e a inclina¸c˜ao da linha tangente `a curva no ponto x. Se o limite quando ∆x tende a 0 n˜ao for tomado, a seguinte aproxima¸c˜ao para a derivada pode ser adotada

df (x) dx

x

f (x + ∆x) − f (x) ∆x

De modo semelhante a equa¸c˜ao(1) ea equa¸c˜ao(2), a derivada segunda de f (x), aproximada, pode ser representada por d^2 f (x) dx^2

x

f (x + ∆x) − 2 f (x) + f (x − ∆x) ∆x^2

As express˜oes apresentadas nas equa¸c˜oes (2) e (3) s˜ao, respectivamente, as representa¸c˜oes das deri- vadas primeira e segunda em diferen¸cas finitas da fun¸c˜ao f (x).

2.3. Condi¸c˜oes de contorno

As rela¸c˜oes apresentadas s˜ao para a obten¸c˜ao da express˜ao da temperatura para os n´os internos da malha. Essas rela¸c˜oes, por´em, n˜ao s˜ao v´alidas paras os pontos do per´ımetro da malha; elas exigem a presen¸ca de n´os de ambos os lados do n´o em an´alise e, na fronteira, em pelo menos um dos lados, n˜ao haver´a n´o adjacente [1]. Sendo assim, ´e necess´aria a ado¸c˜ao de certos parˆametros f´ısicos nas fronteiras para que a modela- gem matem´atica possa fazer sentido: esses parˆametros s˜ao conhecidos como condi¸c˜oes de contorno. Algumas condi¸c˜oes de contorno mais recorrentes s˜ao:

1 Temperatura especificada: condi¸c˜ao mais simples, estipula que cada lado da fronteira da malha estar´a fixamente a uma dada temperatura;

2 Fluxo de calor especificado: considerando a transferˆencia de calor ocorrendo para dentro da malha (fluxo positivo), sem gera¸c˜ao interna de energia

q˙ 0 A + kA

T 1 − T 0

∆x

3 Contorno isolado (fluxo de calor nulo): considerando algum lado da fronteira como adiab´atico

kA

T 1 − T 0

∆x

4 Convec¸c˜ao: ocorrendo convec¸c˜ao nas fronteiras

hA (T∞ − T 0 ) + kA

T 1 − T 0

∆x

5 Radia¸c˜ao: ocorrendo trocas por radia¸c˜ao nas fronteiras

εσA

Tv^4 − T (^) ∞^4

• kA

T 1 − T 0

∆x

6 Convec¸c˜ao e radia¸c˜ao combinados: ocorrendo trocas por radia¸c˜ao e convec¸c˜ao nas fronteiras

hA (T∞ − T 0 ) + εσA

Tv^4 − T (^) ∞^4

• kA

T 1 − T 0

∆x

2.4. Formula¸c˜ao num´erica

A formula¸c˜ao num´erica consiste, essencialmente, em se declarar vari´aveis (vetores) dentro de algum la¸co de repeti¸c˜ao, de modo a reproduzir a equa¸c˜ao(6). Observe o la¸co de repeti¸c˜ao utilizado para se calcular o tempo total para a entrada em regime permanente.

1 L=1; %comprimento 2 W=1; %altura 3 a=23/1000000; %difusividade termica 4 5 nx=20; %numero de intervalos em x 6 ny=20; %numero de intervalos em y 7 cont=1; 8 dx=L/nx; 9 dy=W/ny; 10 11 for h=3600:900: 12 tf=h; %tempo final 13 dt=0.25(dxˆ2)/a; %intervalo de tempo 14 nt=tf/dt; %numero de passos no tempo 15 x=[0:dx:L]; 16 y=[0:dy:W]; 17 T1=0; %Temperatura no contorno 18 T2=1; %Temperatura no contorno 19 20 for n=1:nt 21 T0=T; 22 for i=2:nx 23 for j=2:ny 24 T(i,j) = T0(i,j)+dta((T0(i+1,j)-2T0(i,j)+T0(i-1,j))/(dxˆ2)+(T0(i,j+1)- 25 2*T0(i,j)+T0(i,j-1))/(dyˆ2)); 26 end 27 end 28 end

As condi¸c˜oes de contorno e inicial devem ser especificadas previamente, de modo a preencher as res- pectivas posi¸c˜oes dentro do vetor. Nesse caso, a condi¸c˜ao de contorno ´e a de temperatura especificada nas laterais da chapa e temperatura m´edia nas quinas.

1 %condicao inicial 2 T=ones(nx+1,ny+1)*T1; 3 %condicoes de contorno nas quinas 4 T(1,1)=(T1+T1)/2; 5 T(nx+1,1)=(T1+T1)/2; 6 T(1,ny+1)=(T1+T2)/2; 7 T(nx+1,ny+1)=(T1+T2)/2; 8 %condicoes de contorno 9 for i=2:nx 10 T(i,1)=T1; %parede inferior 11 T(i,ny+1)=T2; %parede superior 12 end 13 for j=2:ny 14 T(1,j)=T1; %lateral esquerda 15 T(nx+1,j)=T1; %lateral direita 16 end

No caso do m´etodo das diferen¸cas finitas, o crit´erio de estabilidade (ou convergˆencia) ´e que

∆t ≤

∆x^2 α

Assim, para que o m´etodo convirja ´e necess´ario que o passo de tempo, ∆t, seja menor que metade da raz˜ao entre o quadrado do passo da malha e a difusividade t´ermica do material.

T 2 = 1C, e na parede superior como T 1 = 0C. A express˜ao num´erica utilizada ´e a equivalente da equa¸c˜ao(6), adaptada para o Matlab.

Tabela 1: Propriedades do n´ıquel (T=300K) ρ(kg/m^3 ) C(J/kg.K) k(W/m.K) α. 10 −^6 (m^2 /s)

8900 444 90.7 23.

Figura 6: Representa¸c˜ao da malha nodal adotada [1]

3.1.1. Abordagem anal´ıtica

A abordagem anal´ıtica parte do pressuposto da bi- dimensionalidade da geometria em quest˜ao, onde 3 lados est˜ao a uma mesma temperatura, fixa, e o quarto lado est´a a uma temperatura, tamb´em fixa, diferente daquelas presentes nos lados ad- jacentes, figura(7).O m´etodo ´e proveniente da solu¸c˜ao anal´ıtica da equa¸c˜ao diferencial (5), pela t´ecnica de separa¸c˜ao de vari´aveis. O resultado ´e a equa¸c˜ao(13), que ´e uma s´erie convergente para quaisquer x e y. Note que a equa¸c˜ao (13) fornece o fluxo de calor; a temperatura no ponto deve ser cal- culada atrav´es da substitui¸c˜ao pela equa¸c˜ao (14). (^) Figura 7: Condi¸coes geom´etricas [2]

θ(x, y) =

π

∑^ ∞

n=

(−1)n+1^ + 1 n

sin

( (^) nπx L

) (^) sinh (^ nπy L

sinh

( (^) nπW L

θ ≡

T − T 1

T 2 − T 1

O algoritmo para o c´alculo anal´ıtico ´e dado a seguir. Sobre as vari´aveis, i ´e o ´ındice de um vetor s(i) que armazena provis´oriamente o resultado da conta, a cada itera¸c˜ao; somatorio soma os valores de s(i). T eta ´e o fluxo t´ermico, e para se encontrar a temperatura no ponto de interesesse, T , usa-se a equa¸c˜ao (14).

1 W=1; %Largura 2 L=1; %Altura 3 n=2000; 4 T2=1; 5 T1=0; 6 x=0.25; 7 y=0.25; 8 i=1; 9 S=0; 10 somatorio=0; 11 while i<= 12 13 s(i)=((((-1)ˆ(i+1))+1)/i)sin(ipix/L)(sinh(ipiy/L)/sinh(ipiW/L)); 14 somatorio=somatorio+s(i); 15 i=i+1; 16 end 17 teta=(2/pi)somatorio; 18 T=((T2-T1)teta)+T1;

No apˆendice (A) ´e apresentado o algoritmo completo usado para o m´etodo anal´ıtico. O n´umero n de itera¸c˜oes no somat´orio ´e relativo apenas a convergˆencia do m´etodo, n˜ao interferindo na consistˆencia do resultado, uma vez atingida a convergˆencia.

3.1.2. Abordagem num´erica A abordagem num´erica ´e baseada na equa¸c˜ao (6). Os parˆametros da simula¸c˜ao num´erica s˜ao mostrados tabela (2). Repare que foram adotados espa¸camentos de 0. 05 m tanto em x quanto em y, o que implica em um passo de tempo de ∆t igual a 21. 17 s. A figura (8) mostra as isotermas obtidas da simula¸c˜ao. Na figura(10) ´e poss´ıvel ver as curvas da temperatura em fun¸c˜ao do tempo nos pontos x = (L/4) = 0 , 25 m, y = (W/4) = 0, 25 m e x = (L/2) = 0, 5 m, y = (W/4) = 0, 5 m; ´e percept´ıvel o tempo gasto at´e que o processo de condu¸c˜ao de calor entre em regime permanente. No apˆendice (B) ´e apresentado o algoritmo completo usado nesse caso. E perfeitamente n´´ ıtido, atrav´es da an´alise das isotermas,

Tabela 2: Parˆametros da simula¸c˜ao ∆x(m) ∆y(m) ∆t(s) α(m^2 /s) Nx Ny

1. 05 0. 05 21. 17 23. 10 −^6 20

que o fluxo de calor tende da maior temperatura (acima) em dire¸c˜ao as menores temperaturas (faces laterais e inferior). Devidoa caracter´ıstica da bidimensionalidade e da geometria do problema, todas as isotermas s˜ao sim´etricas em rela¸c˜ao ao centro da figura, verticalmente.

0.17 1 2 3 4 5 6 7 8

TEMPO (H)

TEMPERATURA (°C)

(a) x=y=0.25m

0.03 1 2 3 4 5 6 7 8

TEMPERATURA (°C)

TEMPO (H) (b) x=y=0.5m

Figura 10: Tempo para a entrada em regime permanente

Os resultados obtidos da simula¸c˜ao anal´ıtica e da simula¸c˜ao num´erica culminaram nos dados apre- sentados na tabela(3). Repare que o m´etodo anal´ıtico n˜ao ´e capaz de estimar o tempo para a entrada em regime permanente do processo de troca de calor.

Tabela 3: Resultados da simula¸c˜ao num´erica e anal´ıtica Resultados anal´ıticos N´o T (C) Tempo para a entrada em regime x = y = 0. 25 m 0.06797 ** x = y = 0. 5 m 0.02500 ** Resultados num´ericos N´o T (C) Tempo para a entrada em regime x = y = 0. 25 m 0.0681 5h x = y = 0. 5 m 0.2499 5h30min

3.2. Segundo problema

O segundo problema consiste na mesma geometria e material do problema anterior, por´em agora com condi¸c˜oes de contorno espec´ıficas em cada lado. Nesse caso, ´e necess´ario encontrar o tempo para que a chapa, a uma temperatura inicial de 300◦C, chegue aos 30◦C em seu ponto central. As condi¸c˜oes de contorno e seus respectivos parˆametros s˜ao apresentados nas tabelas (4) e (5). O f luxo imposto tem o sentido de dentro para fora da placa. As propriedades intr´ınsecas do material s˜ao as mesmas apresentadas na tabela (1).

Tabela 4: Condi¸c˜oes de contorno P arede esquerda P arede direita P arede superior P arede inf erior convec¸c˜ao ’C’ fluxo imposto ’Q’ temperatura constante ’T1’ parede adiab´atica ’q0’

Tabela 5: Parˆametros das condi¸c˜oes de contorno Q(W ) q 0 h(W/m^2 K) T∞(C) T 1 (C) 10 ** 100 5 °C 0 °C

O algoritmo ´e apresentado abaixo. Estruturalmente, a maior diferen¸ca entre este algoritmo e o algoritmo num´erico do primeiro problema ´e a altera¸c˜ao das condi¸c˜oes de contorno, juntamente com a quest˜ao de se parar a simula¸c˜ao para o tempo em que a temperatura de 30◦C for atingida no meio da chapa. As demais diferen¸cas est˜ao relacionadas com comandos gr´aficos para melhor apresentar os resultados. O algoritmo completo ´e dado no apˆendice (C).

1 while erro>= 2 tf=k; %tempo final 3 dt=0.25(dxˆ2)/a; %intervalo de tempo 4 nt=tf/dt; %numero de passos no tempo 5 x=[0:dx:L]; 6 y=[0:dy:W]; 7 Ti=300; %Temperatura inicial 8 T1=0; %Temperatura no contorno 9 q1=0; %Fluxo na parede inferior 10 q2=-10; %Fluxo na lateral direita 11 %condicao inicial 12 T=ones(nx+2,ny+2)Ti; 13 for n=1:nt %Laco do tempo 14 T0=T; 15 %condicoes de contorno 16 for i=1:nx+ 17 T(i,1) = T0(i,ny)+2dy/dxq1/k; %parede inferior (q0 condicao de contorno adiabatica) 18 end 19 for i=2:nx+ 20 T(i,ny+1)=T 21 end 22 for j=2:ny+ 23 %lateral esquerda (condicao de contorno de conveccao com h =100 e tinf= 5) 24 T(1,j) = T0(3,j)-(2dxh/k)(T0(2,j)-Tinf); 25 %lateral direita (Q fluxo de calor imposto igual a 10 W saindo da chapa) 26 T(nx+2,j)= T0(nx,j)+2dy/dxq2/k; 27 end 28 %Resolucao da equacao de calor no interior da chapa 29 for i=2:nx+ 30 for j=2:ny 31 T(i,j) = T0(i,j)+dta((T0(i+1,j)-2T0(i,j)+T0(i-1,j))/(dxˆ2)+(T0(i,j+1)- 32 2*T0(i,j)+T0(i,j-1))/(dyˆ2)); 33 end 34 end 35 for i=1:nx+ 36 for j=1:ny+ 37 TTT(j,i) = T(i,j); 38 end 39 end 40 end 41 tempo(cont)=k/3600; 42 temp(cont)=TTT(11,11); 43 erro=temp(cont)-tmp final; 44 cont=cont+1; 45 k = k+900; 46 end

30 ◦C, implicando em um erro de aproximadamente 1. 4 ◦C.

Tabela 6: Resultados da simula¸c˜ao Posi¸c˜ao (m) Temperatura(°C) Tempo decorrido Erro absoluto (°C) x=y=0.5 31.39 3h45min 1.

4. Considera¸c˜oes Finais

No primeiro problema ´e poss´ıvel perceber nitidamente a proximidade entre o resultado anal´ıtico e o resultado num´erico. Isso corrobora a tese apresentada ainda na introdu¸c˜ao, de que os procedimentos anal´ıticos e num´ericos s˜ao complementares e, por assim ser, devem sempre caminhar juntos.E tamb´´ em not´avel a consequˆencia da condi¸c˜ao de contorno adotada nas ”quinas”da chapa, que causou uma certa deformidade nas isotermas, como mostrado na figura (9). Essa ´e uma limita¸c˜ao da modelagem bidi- mensional, que n˜ao ´e capaz de representar consistentemente um ponto (unidimensional por natureza); o que implica que os resultados da simula¸c˜ao num´erica na regi˜ao das quinas n˜ao devem ser tomados como totalmente confi´aveis. N˜ao h´a crit´erios fixos para a ado¸c˜ao de condi¸c˜oes de contorno nessas regi˜oes espec´ıficas, o que torna a sua implementa¸c˜ao algo totalmente emp´ırico e a cargo do engenheiro em quest˜ao. Sobre as caracter´ısticas desse problema, ainda com um esfor¸co computacional muito maior que o primeiro, n˜ao ´e poss´ıvel atingir exatamente a temperatura especificada no final da simula¸c˜ao; mesmo com a malha nodal bem refinada. Vale ressaltar, tamb´em, que o erro calculado diminuiria caso o passo de tempo fosse refinado. No que tange a cria¸c˜ao da malha nodal, ´e necess´ario que o usu´ario forne¸ca uma quantidade de divis˜oes par; o que implica numa quantidade de pontos nodais ´ımpar. Dessa forma, a malha ser´a sempre coincidente com o centroide da geometria. Caso contr´ario, ser´a necess´ario um algoritmo para interpolar o ponto central da malha, uma vez que ele estar´a rodeado por n´os, e n˜ao estar´a em uma posi¸c˜ao determinada pela simula¸c˜ao. Al´em disso, este m´etodo traz consigo alguns problemas para n´umeros de pontos pequenos na malha (deve ser maior que seis, por exemplo), dado que a solu¸c˜ao via c´alculo de m´edia n˜ao traria grandes ganhos; a dificuldade para se programar esta fun¸c˜ao n˜ao se justifica, visto que ´e plenamente poss´ıvel que, dada as restri¸c˜oes quanto ao n´umero de intervalos (par e m´ultiplo de quatro) o programa calcule de modo satisfat´orio as temperaturas desejadas. O crit´erio de estabilidade deve sempre receber aten¸c˜ao especial. Ele ´e determinante na ado¸c˜ao do passo de tempo do la¸co de repeti¸c˜ao da simula¸c˜ao. Caso o seu valor n˜ao esteja de acordo com as caracter´ısticas da modelagem, o m´etodo ou divergir´a ou entregar´a um resultado completamente inconsistente; nesse caso, o engenheiro ser´a v´ıtima do famigerado erro de convergˆencia num´erica. A qualidade dos resultados num´ericos, tanto gr´aficos quanto anal´ıticos, depende do n´umero de itera¸c˜oes adotado; portanto, quanto mais potente for o computador utilizado, mais r´apido o resultado ser´a retornado. Esse trabalho n˜ao se fez com o aux´ılio de computadores potentes, o que n˜ao traz resultados precisos al´em da quarta casa decimal. Entretanto, pela simplicidade dos problemas em pauta, o resultado ´e suficientemente bom. Do ponto de vista do aprendizado, esse trabalho vem agregar a no¸c˜ao da necessidade de uma modelagem matem´atica coerente com o problema real, e a ideia da complementariedade da abordagem anal´ıtica do problema. E tamb´´ em necess´ario o dom´ınio dos softwares alg´ebricos e num´ericos como ferramentas extremamente ´uteis na resolu¸c˜ao desses problemas.

Referˆencias

[1] Yunus A. C¸ engel. Transferˆencia de Calor e Massa uma Abordagem Pr´atica, 4 Ed. Mc Graw Hill, Porto Alegre, 2012.

[2] Frank P. Incropera. Fundamentals of Heat Transfer, 7th. John Wiley and Sons, Hoboken - NJ,