Lista de exercícios
Aula 12 – Transformações lineares
Álgebra Linear
Prof. Elton Carvalho — ECT — UFRN
1. Seja 𝐹:𝑉→𝑊uma aplicação. Mostre que
(a) Se F é uma transformação linear, então 𝐹(0)=0.
(b) Se 𝐹(0)≠0, então F não é uma transformação linear.
2. Verifique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações
lineares:
(a) 𝐹:R3→R2, onde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)=(𝑧, 𝑥 +𝑦)
(b) 𝐹:R→R2, onde 𝐹(𝑥)=(𝑥, 2)
(c) 𝐹:R2→R2, onde 𝐹(𝑥, 𝑦 )=(𝑥2+𝑦2, 𝑥)
(d) 𝐹:𝑀2×2(R) → R, onde 𝐹(𝑨)=det(𝑨)
(e) 𝐹:R2→𝐶([0,1])[Nota 1] , onde 𝐹(𝑥,𝑦)=𝑥𝑒𝑡+𝑦𝑒 2𝑡
(f) 𝐹:𝐶( [𝑎, 𝑏 ]) → 𝐶([𝑎, 𝑏]), onde 𝐹(𝑓(𝑡)) =∫𝑥
𝑎𝑓(𝑡)d𝑡, 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏 ]
(g) 𝐷:𝐶2(R) → 𝐶(R)[Nota 2], onde 𝐷(𝑓)=𝑓00
3. Seja 𝑷uma matriz inversível de 𝑀𝑛×𝑛(R). Mostre que 𝐹:𝑀𝑛×𝑛(R) → 𝑀𝑛×𝑛(R)dada por
𝐹(𝑿)=𝑷−1𝑿 𝑷 é um operador linear desse espaço.
4. Consideremos o espaço vetorial Csobre Re seja 𝐹:C→Ctal que 𝐹(𝑧)=𝑧. Mostre que
𝐹é um operador linear. Se tivéssemos considerado o espaço vetorial Csobre C,𝐹ainda
seria um operador linear?
5. Seja 𝐹:R3→R3o operador linear definido desta forma na base canônica:
𝐹(1,0,0)=(2,3,1)
𝐹(0,1,0)=(5,2,7)
𝐹(0,0,1)=(−2,0,7).
Determine 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧 )para um (𝑥, 𝑦 , 𝑧) ∈ R3qualquer.
6. Encontre a transformação𝑇, do plano, que é uma reflexão em torno da reta 𝑥=𝑦.(Sugestão:
Aplique essa transformação a uma base do R2)
[Nota 1]𝐶([ 0,1]): Espaço das funções contínuas no intervalo [0,1]
[Nota 2]𝐶2(R): Espaço das funções com segundas derivadas contínuas nos R
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