Exercícios de Transformações Lineares em Álgebra Linear, Exercícios de Cinética de Transformações de Fase

Baixe Exercícios de Transformações Lineares em Álgebra Linear e outras Exercícios em PDF para Cinética de Transformações de Fase, somente na Docsity! Lista de exercícios Aula 12 – Transformações lineares Álgebra Linear Prof. Elton Carvalho — ECT — UFRN 1. Seja 𝐹 : 𝑉 →𝑊 uma aplicação. Mostre que (a) Se F é uma transformação linear, então 𝐹 (0) = 0. (b) Se 𝐹 (0) ≠ 0, então F não é uma transformação linear. 2. Verique se as seguintes aplicações são injetoras, sobrejetoras, bijetoras e transformações lineares: (a) 𝐹 : R3 → R2, onde 𝐹 (𝑥,𝑦, 𝑧) = (𝑧, 𝑥 + 𝑦) (b) 𝐹 : R→ R2, onde 𝐹 (𝑥) = (𝑥, 2) (c) 𝐹 : R2 → R2, onde 𝐹 (𝑥,𝑦) = (𝑥2 + 𝑦2, 𝑥) (d) 𝐹 : 𝑀2×2(R) → R, onde 𝐹 (𝑨) = det(𝑨) (e) 𝐹 : R2 → 𝐶 ( [0, 1])[Nota 1], onde 𝐹 (𝑥,𝑦) = 𝑥𝑒𝑡 + 𝑦𝑒2𝑡 (f) 𝐹 : 𝐶 ( [𝑎, 𝑏]) → 𝐶 ( [𝑎, 𝑏]), onde 𝐹 (𝑓 (𝑡)) = ∫ 𝑥 𝑎 𝑓 (𝑡) d𝑡, 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] (g) 𝐷 : 𝐶2(R) → 𝐶 (R)[Nota 2], onde 𝐷 (𝑓 ) = 𝑓 ′′ 3. Seja 𝑷 uma matriz inversível de𝑀𝑛×𝑛 (R). Mostre que 𝐹 : 𝑀𝑛×𝑛 (R) → 𝑀𝑛×𝑛 (R) dada por 𝐹 (𝑿 ) = 𝑷−1𝑿𝑷 é um operador linear desse espaço. 4. Consideremos o espaço vetorial C sobre R e seja 𝐹 : C→ C tal que 𝐹 (𝑧) = 𝑧. Mostre que 𝐹 é um operador linear. Se tivéssemos considerado o espaço vetorial C sobre C, 𝐹 ainda seria um operador linear? 5. Seja 𝐹 : R3 → R3 o operador linear de nido desta forma na base canônica: 𝐹 (1, 0, 0) = (2, 3, 1) 𝐹 (0, 1, 0) = (5, 2, 7) 𝐹 (0, 0, 1) = (−2, 0, 7). Determine 𝐹 (𝑥,𝑦, 𝑧) para um (𝑥,𝑦, 𝑧) ∈ R3 qualquer. 6. Encontre a transformação𝑇 , do plano, que é uma re exão em torno da reta 𝑥 = 𝑦. (Sugestão: Aplique essa transformação a uma base do R2) [Nota 1]𝐶 ( [0, 1]): Espaço das funções contínuas no intervalo [0, 1] [Nota 2]𝐶2 (R): Espaço das funções com segundas derivadas contínuas nos R 1