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Notas de Aula
Transformada Z
Ricardo Tokio Higuti
Departamento de Engenharia El´etrica - FEIS - Unesp
Observa¸c˜ao: Estas notas de aula est˜ao baseadas no livro: “Discrete-Time Signal Processing”, A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Prentice Hall, 1989/1999.
Transformada Z - TZ
- E uma generaliza¸´ c˜ao da Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT)
- Util para representa¸´ c˜ao e an´alise de sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT)
Defini¸c˜ao: Seja uma sequˆencia x[n]. Sua TZ ´e definida por:
X(z) = X∞ n=−∞
x[n]z −n
E tem-se o par transformado:
x[n] ←→Z X(z) z ´e uma vari´avel complexa, normalmente representada em coordenadas po- lares: z = rejω E se r = 1, z = e jω^ , e:
X(z) = X∞ n=−∞
x[n]e−jωn^ = X(ejω^ )
Ou seja, (em determinados casos, como se ver´a adiante) a DTFT de x[n] pode ser obtida a partir da TZ calculada em z = e jω^ , que define uma circunferˆencia de raio unit´ario (CRU) no plano z complexo.
Convergˆencia da TZ
Num caso mais geral, a vari´avel z pode assumir um valor complexo qualquer: z = rejω^. Sua TZ fica:
X(z) =
X∞ n=−∞
xn −n^ =
X∞ n=−∞
(x[n]r −n^ )e−jωn
Ou seja, tem-se a DTFT da sequˆencia x[n] multiplicada pela sequˆencia ex- ponencial r −n^. Pode-se notar que a DTFT dessa nova sequˆencia pode convergir ou n˜ao, dependendo da sequˆencia x[n], do valor de r e do intervalo de n con- siderado. A partir disso define-se a regi˜ao de convergˆencia da TZ.
Regi˜ao de Convergˆencia (RC) Como viu-se anteriormente, para ter-se convergˆencia absoluta da DTFT de uma sequˆencia, esta deve obedecer a:
X^ ∞ n=−∞
|x[n]r −n^ | < ∞
Num caso mais geral, a TZ deve convergir, logo: X^ ∞ n=−∞
|x[n]z −n^ | = X∞ n=−∞
|x[n]| |z −n^ | < ∞
Assim, se para um determinado valor de z = z 1 a somat´oria acima converge, ent˜ao z 1 faz parte da regi˜ao de convergˆencia da TZ de x[n]. O conjunto de valores de z para os quais a TZ converge ´e chamada de Regi˜ao de Convergˆencia (RC).
Regi˜ao de Convergˆencia da TZ
- Se z = rejω^0 faz parte da RC, ent˜ao qualquer valor z que tenha magni- tude r tamb´em far´a parte da RC, definindo regi˜oes concˆentricas no plano complexo z.
- Se |z| = 1 fizer parte da RC, ent˜ao tem-se que: X^ ∞ n=−∞
|x[n]| < ∞
ou seja, a DTFT da sequˆencia converge.
- Por outro lado, se |z| = 1 n˜ao fizer parte da RC, ent˜ao a DTFT n˜ao converge de forma absoluta, o que n˜ao significa que a DTFT n˜ao exista.
Observa¸c˜oes:
- A TZ ´e uma s´erie de Laurent: ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica dentro da RC, ou seja, a TZ e todas as suas derivadas s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas da vari´avel z.
- N˜ao ´e estritamente correto dizer que a DTFT ´e a TZ calculada sobre a CRU, pois isso n˜ao ´e v´alido para todas as sequˆencias
- A TZ ´e ´util quando pode ser expressa em forma fechada, como uma rela¸c˜ao de polinˆomios em z:
X(z) = P (z) Q(z) podendo-se relacionar com os chamados p´olos e zeros de X(z).
Exemplo 3
Soma de duas sequˆencias unilaterais `a direita
x[n] = (1/2) n^ u[n] + (− 1 /3) n^ u[n] Cada sequˆencia tem uma TZ e uma RC:
(1/2) n^ u[n] ←→Z
1 − (1/2)z −^1 , |z| > 1 / 2
(− 1 /3) n^ u[n] ←→Z
1 − (− 1 /3)z −^1 , |z| > 1 / 3
Como a TZ ´e uma opera¸c˜ao linear, a TZ da soma das duas sequˆencias ´e a soma das TZ. No caso, as RC devem valer para ambas as transformadas:
X(z) =
1 − (1/2)z −^1
1 − (− 1 /3)z −^1 , |z| > 1 / 2
Exemplo 4
Sequˆencia bilateral: pelo menos uma amostra diferente de zero para n < 0 e pelo menos uma amostra diferente de zero para n > 0.
x[n] = (− 1 /3) n^ u[n] − (1/2) n^ u[−n − 1] Cada sequˆencia tem uma TZ e uma RC:
(− 1 /3) n^ u[n] ←→Z
1 − (− 1 /3)z −^1 , |z| > 1 / 3
−(1/2) n^ u[−n − 1] ←→Z
1 − (1/2)z −^1 , |z| < 1 / 2
A RC ´e a intersec¸c˜ao das duas regi˜oes, formando um anel no plano z:
X(z) =
1 − (1/2)z −^1 +^
1 − (− 1 /3)z −^1 ,^1 /^3 <^ |z|^ <^1 /^2
Exemplo 5
sequˆencia de dura¸c˜ao finita:
x[n] =
an^ , n = 0..N − 1 0 , caso contr´ario Neste caso:
X(z) =
NX − 1 n=
an^ z −n^ =
NX − 1 n=
(az −^1 ) n
1 − (az −^1 ) N 1 − az −^1
z N^ −^1
z N^ − aN z − a
A RC neste caso deve ser tal que
NX − 1 n=
|az −^1 |n^ < ∞, ou a < ∞ e z 6 = 0.
P´olos: z = 0, de ordem N − 1
Zeros: zk = aej(2πk/N^ )^ , k = 1..N − 1
Propriedades da RC
Por meio dos exemplos, pode-se tirar algumas conclus˜oes a respeito da RC:
- No caso geral, a RC ´e um disco no plano z, centrado na origem.
- A DTFT de x[n] converge de forma absoluta se e somente se a CRU fizer parte da RC.
- A RC n˜ao pode conter p´olos.
- Se x[n] ´e de dura¸c˜ao finita, a RC ´e todo o plano z, exceto z = 0 e/ou z = ∞.
- Se x[n] ´e uma sequˆencia causal, a RC ´e externa ao p´olo de maior magnitude.
- Se x[n] ´e uma sequˆencia n˜ao-causal, a RC ´e interna ao p´olo de menor magnitude.
- Se x[n] ´e uma sequˆencia bilateral, a RC ´e um anel, delimitado por p´olos.
- A RC deve ser uma regi˜ao conexa.
TZ Inversa
- Caso 2: M ≥ N e todos os p´olos de primeira ordem.
Neste caso, deve-se primeiro fazer uma divis˜ao polinomial, de forma que:
X(z) = P (z) Q(z)
MX −N r=
B (^) r z −r^ + R(z) Q(z)
e a ordem de R(z) ´e menor que N recaindo-se no Caso 1. A expans˜ao completa fica:
X(z) =
MX −N r=
B (^) r z −r^ + XN k=
A (^) k 1 − d (^) k z −^1
com
A (^) k = (1 − d (^) k z −^1 ) R(z) Q(z) (^) z − (^1) =d− k 1
TZ Inversa
- Caso 3: M ≥ N e um p´olo em z = d (^) i com multiplicidade s.
Neste caso, pode-se escrever:
X(z) =
MX −N r=
B (^) r z −r^ +
XN k=1, k 6 =i
A (^) k (1 − d (^) k z −^1 )
Xs m=
C (^) m (1 − d (^) i z −^1 ) m na qual
C (^) m =
(s − m)!(−d (^) i ) s−m
d s−m dw s−m^ [(1 − d (^) i w) s^ X(w −^1 )]
w=d− i^1
TZ Inversa - Exerc´ıcios
- Determinar a sequˆencia x[n] cuja TZ ´e dada por:
- X(z) = 4z −^5 + z −^7 , |z| > 0
- X(z) = z 2 + 1 − z −^4 , 0 < |z| < ∞
- X(z) =
1 + 32 z −^1 − z −^2 , |z| > 2
- X(z) =
1 + 32 z −^1 − z −^2
< |z| < 2
- X(z) = 1 + 2z −^1 + z −^2 1 − 32 z −^1 + 12 z −^2 , |z| > 1
- X(z) = 1 − z −^1 − 2 z −^2 1 − 72 z −^1 − 2 z −^2 , |z| <
- X(z) = 1 +^ z^
− 2 1 − z −^1 + 12 z −^2 , |z| > √^1 2
- X(z) = 1 + z −^2 1 − z −^1 + 14 z −^2 , |z| <
- Calcule a TZ de x[n] = a −n^ u[−n]
- Calcule a TZ de x[n] = (a n^ u[n]) ∗ u[n]
TZ Inversa - Exemplo
Determinar a sequˆencia x[n] cuja TZ ´e dada por:
X(z) = 1 + 2z −^1 + z −^2 1 − 32 z −^1 + 12 z −^2
(1 + z −^1 ) 2 (1 − 12 z −^1 )(1 − z −^1 ) , |z| > 1
Como M = N = 2, deve-se fazer a divis˜ao polinomial:
X(z) = B 0 + D(z) (1 − 12 z −^1 )(1 − z −^1 ) = 2 + 5 z^
(1 − 12 z −^1 )(1 − z −^1 ) Fazendo a expans˜ao em fra¸c˜oes parciais:
X(z) = 2 +
A 1
1 − 12 z −^1
A 2
1 − z −^1 em que
A 1 = 5 z −^1 − 1 1 − z −^1 z=1/ 2
A 2 =
5 z −^1 − 1 1 − 12 z −^1 z=
Logo,
X(z) = 2 +
1 − 12 z −^1
1 − z −^1 , |z| > 1
Como: 2 δ[n] ←→Z 2
(1/2) n^ u[n] ←→Z
1 − (1/2)z −^1 , |z| > 1 / 2
u[n] ←→Z
1 − z −^1 , |z| > 1 Fica-se com: x[n] = 2δ[n] − 9(1/2) n^ u[n] + 8u[n]
Alguns Pares de Transformadas
x[n] X(z) Rx δ[n] 1 Todo z δ[n − n 0 ] z −n^0 Todo z exceto z = 0 ou ∞
an^ u[n] (^1) −^1 az − 1 |z| > |a|
−an^ u[−n − 1] (^1) −^1 az − 1 |z| < |a|
nan^ u[n] az^
− 1 (1 − az −^1 ) 2 |z|^ >^ |a|
−nan^ u[−n − 1] az^
− 1 (1 − az −^1 ) 2 |z|^ <^ |a| ( an^ , 0 ≤ n ≤ N − 1 0 , c.c.
1 − aN^ z −N 1 − az −^1 |z|^ >^0
Propriedades da TZ
Propriedade Sequˆencia TZ RC Linearidade ax[n] + by[n] aX(z) + bY (z) ⊂ R (^) x ∩ Ry Atraso no tempo x[n − n (^) d ] z −n^ d^ X(z) Rx , exceto z = 0 ou ±∞ Escalonamento em z z n 0 x[n] X(z/z 0 ) |z 0 |Rx
Diferencia¸c˜ao em z nx[n] −z dX dz(z ) Rx , exceto z = 0 ou ±∞ Teor. valor inicial x[n] = 0, n < (^0) zlim→∞ X(z) = x[0]
Convolu¸c˜ao no tempo y[n] = x[n] ∗ h[n] Y (z) = X(z) · H(z) R (^) y ⊂ Rx ∩ Rh
Modula¸c˜ao v[n] = x[n] · w[n] V (z) = (^) j 21 π
I C^ X(v)H(z/v)dv^ R^ v^ ⊂^ Rx^ Rh
Correla¸c˜ao cruzada r 12 [m] = X^ ∞ n=−∞
x[n]y[n − m] R 12 (z) = X(z) · Y (z −^1 ) ⊂ Rx ∩ Ry
Teor. Parseval X^ ∞ n=−∞
x[n]y ∗^ [n] = (^) j 21 π
I C^ X(v)Y^
∗ (^) (1/v ∗ (^) )v − (^1) dv
Exemplos
Calcule a TZ da sequˆencia x[n] = (cos ω 0 n) · u[n] Dicas:
- Escrever cos ω 0 n usando a identidade de Euler
- Usar propriedade de escalonamento em z
- Usar propriedade de linearidade Resolu¸c˜ao:
x[n] = ejω^0 n 2 u[n] + e−jω^0 n 2 u[n]
u[n] ←→
1 − z −^1 , RC: |z| > 1
ejω^0 n^ u[n] ←→ 1 1 − ejω^0 z −^1 , RC: |z| > 1
e−jω^0 n^ u[n] ←→
1 − e−jω^0 z −^1 , RC: |z| > 1
X(z) =
1 − ejω^0 z −^1
1 − e −jω^0 z −^1
=
2 − (ejω^0 + e−jω^0 )z −^1 (1 − ejω^0 z −^1 )(1 − e−jω^0 z −^1 )
1 − z −^1 cos ω (^0) 1 − 2 z −^1 cos ω 0 + z −^2 ,^ RC:^ |z|^ >^1
Exemplos
Calcule a TZ inversa de X(z) = log(1 + az −^1 ), com RC |z| > |a|. Calculando-se a derivada de X(z), fica-se com: dX(z) dz
−az −^2 1 + az −^1 , |z| > |a|
Reescrevendo-se da forma:
−z dX(z) dz = az −^1
1 1 − (−a)z −^1
(^) = az −^1 X 1 (z), |z| > |a|
A TZ inversa de X 1 (z) ´e:
x 1 [n] = (−a) n^ u[n] Usando-se agora a propriedade de atraso no tempo, juntamente com a pro- priedade de diferencia¸c˜ao em z, fica-se com:
nx[n] = ax 1 [n − 1] = a(−1) n−^1 u[n − 1] Logo:
x[n] = (−1) n−^1 an n u[n − 1]
Exemplos
Calcule a TZ do seguinte sinal peri´odico e causal:
n
1
2
3
0 5 10 15
O sinal pode ser escrito como a convolu¸c˜ao entre um sinal de dura¸c˜ao finita, igual a um per´ıodo do sinal peri´odico, com o pulso p (^) N [n] do exemplo anterior:
x[n] = x 1 [n] ∗ p (^) N [n] em que:
x 1 [n] = { 0 , 1 , 2 , 3 , 2 , 1 }, para 0 ≤ n ≤ 5 e X 1 (z) = z −^1 + 2z −^2 + 3z −^3 + 2z −^4 + z −^5 , com RC: z 6 = 0
A TZ de x[n] ´e igual `a multiplica¸c˜ao entre as TZs (com N = 6 no trem de impulsos):
X(z) = X 1 (z) · PN (z)
z −^1 + 2z −^2 + 3z −^3 + 2z −^4 + z −^5 1 − z −^6 Como a RC de X 1 (z) ´e z 6 = 0 e a RC de P 6 (z) ´e |z| > 1, a RC de X(z) ´e |z| > 1.
Exemplos
Uma opera¸c˜ao utilizada no aumento da taxa de amostragem de sinais ´e a inser¸c˜ao de zeros entre amostras do sinal. Seja x[n] um sinal que se deseja aumentar a taxa de amostragem. A partir deste sinal, o chamado interpolador com fator L introduz (L − 1) zeros entre amostras de x[n], produzindo o sinal y[n]:
y[n] =
x n L
! n = 0, ±L, ± 2 L, ...
0 caso contr´ario Calcule a TZ de y[n] em fun¸c˜ao de X(z).
Y (z) = X∞ n=−∞
y[n]z −n
X∞ n=−∞
x[n]z −nL
= X(z L^ ) Se X(z) tem RC: |a| < |z| < |b|, ent˜ao Y (z) ir´a convergir para
|a| < |z|L^ < |b| ou |a|^1 /L^ < |z| < |b| 1 /L
Exemplos
Calcule a TZ inversa de:
Y (z) =
1 − a^10 z −^10 , RC: |z| > |a|
Fazendo-se a divis˜ao polinomial e utilizando potˆencias negativas de z, pois a sequˆencia ´e causal, chega-se facilmente a:
Y (z) = 1 + a^10 z −^10 + a^20 z −^20 + ...
da qual pode tirar a sequˆencia y[n].
0 10 20 30
n
1 a^10 a^20
Resolvendo-se por outro m´etodo: chamando-se
X(z) =
1 − a^10 z −^1 , RC: |z| > |a| 10
Nota-se que
Y (z) = X(z 10 ) Pelo resultado do exerc´ıcio anterior:
y[n] =
x n 10
! para n = 0, ± 10 , ± 20 , ...
0 caso contr´ario Como x[n] = a^10 n^ u[n]
chega-se ao resultado desejado.
y[n] =
an^ para n = 0, ± 10 , ± 20 , ...
0 caso contr´ario
Exemplos
Transformada z utilizando a integral de linha: calcule a TZ inversa, por meio da integral de linha.
X(z) =
1 − az −^1 , |z| > |a|
Usando a defini¸c˜ao, a sequˆencia x[n] ´e:
x[n] =
2 πj
I C X(z)z^
n− (^1) dz
2 πj
I C
z n−^1 1 − az −^1 dz
2 πj
I C
z n z − a dz
em que C ´e um c´ırculo de raio maior que |a|. Para n ≥ 0, h´a apenas um p´olo em z = a no interior de C, e portanto os res´ıduos de X(z)z n−^1 calculados em z = a s˜ao iguais a a n^ :
x[n] = an^ , para n ≥ 0 Para n < 0, h´a outros p´olos na origem, al´em do p´olo em z = a. Para n = −1:
1 z(z − a) em z = a
(^) =
z
z=a
= a−^1
1 z(z − a) em z = 0
(^) =
z − a
z=
= −a−^1
Logo, x[−1] = 0. Para n = −2:
1 z 2 (z − a) em z = a
(^) = a−^2
1 z 2 (z − a) em z = 0
(^) =
d[(z^ −^ a)^
− 1 ]
dz
z=
−^1 (z − a) 2
z=
= −a−^2
E x[−2] = 0, e assim por diante, resultando que x[n] = 0 para n < 0. Portanto: x[n] = an^ u[n]
