PRODUTO MISTO
Ana Paula Pedroso
Anliy N. N. Sargeant
Heloena E. Balbino
José Antônio A. Andrade
Solange G. F. Martins
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Produto Misto: Definição e Exemplos, Notas de estudo de Engenharia Agrícola
A definição do produto misto de vetores e fornece dois exemplos para ilustrar a aplicação da definição. O teorema 1 estabelece que o volume de um paralelepípedo é igual ao valor absoluto do produto misto de seus vetores base. O documento também inclui um exemplo de verificação de coplanaridade de pontos.
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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Compartilhado em 28/04/2010
giulia-bianchini-6 🇧🇷
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PRODUTO MISTO
Ana Paula PedrosoAnliy N. N. SargeantHeloena E. BalbinoJosé Antônio A. AndradeSolange G. F. Martins
O^ produto escala
^ ^ r u v ⋅
é um número real
O^ produto vetorial
^ ^ u^ v ∧
é um vetor
O^ produto misto
(^
^ ^ ^ u^ v^ w ∧^ ⋅)
é um número real →^ →^ →
Definição
: Sejam^
,^ ,^ ( ) 1 2 3
u^ u u ^^ u =
^ ,^ , v^ v v^ v =(^ )^1 2
(^
,^ ,) 1 2 3
w^ w w
w =
Então,
e
Exemplo 1
: Determine o produto misto de
ˆ^
ˆ^
ˆ^ ˆ^
ˆ^ ˆ^
ˆ^ ˆ
4 e^
u^ i^
j^ k^ v^
i^ j^ k
w^ i^
j^ k
=^ −^ +
+^
=^ +^ −
^
^
^ ^ ^ u^ v^ w ⋅^ ∧^ =^ (^ )
det^1
− ^4 15 1
=^ −^
^
^
^
1 2
3 1 2
3 1 2
3 u^ det u^ u v v^ v w w^ w ^
^
^
1 -1^4
−^ −^2 5
^
^
=^ −^
^
^
^
(^
)^ (^
=^ −^ −^
−^ −^
+^ −^ =
= −^ −^
w^ w^ w ^1 2 3 = −
Teorema 1
: O volume de um paralelepípedo determinado por três vetores é igual numericamente ao valor absoluto doproduto misto destes vetores.Volume de um paralelepípedo =
produto misto (^
. u v^ w )
^ ^ = ∧
Se^
, os vetores
1 2
ˆ^ ˆ^
u^ u i^ ^ u j^ u k =^ +^ +
1 2
ˆ^ ˆ^
e v^ v i^ v j
v k =^ +^
^
1 2
ˆ^ ˆ w w i^ w j^
w k =^ +^
(^ são coplanares (isto é, são paralelos a um mesmo plano).
^ ^ ^. u^ v^ w ∧)
1 2
3 1 2
3 1 2
3 det^
u^ u^
u v^ v^
v w^ w^
w ^
^
=^
^
^
^
^ (^
)^ (^
(^ )^
(^
: Verifique se os pontos P= 0,1,1 ,
1,^ 2,0^ e S
2 sao coplanares.
Q
R^ =^ −^
=^ −^ −
Exemplo 3
Componentes dos vetores:
(^
) ^ ^ . PQ^ PR^ PS ∧
(^ )^
(^ )^
(^ )
1,0, 2^
0,1,^
1,^ 1,
PQ^ Q^
P = − =^
−^
=^ −
(^ )^
(^ )^
(^ )
1,^ 2,^
0,1,^
1,^ 3,^1
PR^ R^
P = − =^ −^
−^
=^ −^ −
(^
)^ (^ )
(^
2, 2,^2
0,1,^
2,1,^3
PS^ S^
P = − =^ −^
−^ −^
=^ −^ −
det^1
− ^3 12 1
=^
−^ −^
^
−^
^
^
Logo,os pontos P,Q,R e S são coplanares pois o produto mistodeles é igual a zero
det 0^