Baixe Treliça e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!
SISTEMAS ARTICULADOS PLANOS
Um sistema articulado plano (SAP) rígido é definido como sendo um sistema de barras rígidas complanares ligadas entre si por extremidades rotuladas e com o exterior de modo a formar um sistema estável. Na prática, este tipo de estrutura é usualmente chamada de Treliça. Na análise destas estruturas adoptam-se, em geral, as seguintes hipóteses simplificadoras:
- As articulações das extremidades das barras não têm atrito;
- As cargas da estrutura são caracterizadas por forças aplicadas apenas nos nós (de um modo geral o peso próprio destas estruturas é consideravelmente inferior às cargas a que estão sujeitas pelo que é desprezado)
A estabilidade dum SAP garante que ele não terá qualquer movimento livre segundo qualquer direcção. Para tal o sistema de barras que constitui o SAP é, em geral, formado por associações de triângulos contíguos dado esta figura geométrica ser invariavelmente estável e rígida.
Porque é o triângulo estável?
Através de princípios geométricos (lei dos senos) é possível verificar que o triângulo é a única forma poliédrica que não pode alterar a sua forma sem igualmente alterar o comprimento dos seus lados. Portanto, um SAP rígido formado por um triângulo não sofrerá qualquer deslocamento por acção do seu peso ou por acção de outras forças exteriores ao contrário do que acontece com outras formas geométricas.
Configuração estável
Nota: esta estrutura de configuração estável pode ser desmontada em
apoiado sobre
Configuração instável
Configuração instável
Observando-se as barras que formam um SAP rígido, verifica-se que por terem as suas extremidades articuladas e apenas serem carregadas nos seus nós obedecem à definição de biela. Como tal, as barras dum SAP apenas terão esforços segundo o seu eixo e com dois sentidos possíveis. Caso os esforços sejam orientados para o exterior da barra diz-se que esta está em tracção e caso sejam orientados para o interior da barra diz-se que esta está em compressão.
Nota: Em termos de convenção de sinais, é usual admitir que uma barra traccionada está sujeita a um esforço positivo enquanto que uma barra comprimida está sujeita a um esforço negativo. Esta convenção não deve, no entanto, interferir com a convenção de sinais arbitrada para a definição das equações de equilíbrio que permitem resolver a estrutura.
barra em tracção (+) barra em compressão (-)
Quando uma força é exercida pontualmente sobre um nó dum elemento triangular ela distribui-se pelas barras que formam os lados do triângulo até se atingir um equilíbrio em cada nó entre as forças de cada barra que convergem nesse nó. Devido ao facto das diversas barras serem bielas, o seu equilíbrio corresponde a terem esforços apenas segundo o seu eixo não sendo necessário qualquer elemento adicional para garantir a sua estabilidade (o que explica porque é que a maioria dos telhados de edifícios são triangulares).
em que F × d = M = P × L. Subdividindo, em seguida, a reacção de apoio vertical em duas forças verticais com o valor P 2 e somando cada uma dessas forças com uma das forças F obtém-se na
parte superior do apoio uma nova força T inclinada que tracciona a viga e na parte inferior uma nova força C inclinada que a comprime.
L P
T
C
h
L P
T
C
L P
T
C
h
Considerando que as reacções de apoio da viga são então as forças C e T , é possível simplificar a viga original substituindo a viga cheia por uma série de barras rígidas que formam um SAP como representado em seguida
h
L P
T
C
h
L P
T
C
Determinando as forças a que ficam sujeitas as diversas barras verifica-se que as barras a azul estão em tracção e as barras a vermelho estão em compressão. Por outro lado, as barras que permanecem a preto têm esforços nulos e são, portanto, desnecessárias (para o carregamento considerado). A direcção das barras consideradas neste SAP não tem que ser paralela às forças de compressão e tracção que se desenvolvem no apoio dado que os esforços desenvolvidos na viga simplificada irão estar restringidos às diversas barras do SAP.
h
L P
T
C
h
L P
T
C
Como perceber que barras estão em tracção e em compressão sem calcular o
SAP?
Considere-se o seguinte SAP sujeito ao carregamento representado.
Imagine agora que uma barra deste sistema rígido era retirada.
Ao ser removida uma das barras, o sistema estrutural inicialmente rígido passa a ter algum movimento não restringido o que o torna potencialmente instável (dependendo do carregamento). Imaginando como se deformaria essa nova estrutura para o carregamento representado é possível determinar a que tipo de esforço estaria sujeita a barra que foi eliminada.
Observando esta nova estrutura é possível concluir que existem dois corpos rígidos ligados na rótula central, estando o corpo da esquerda ligado ao exterior através dum apoio simples e o corpo da direita através dum apoio duplo. A acção do carregamento exterior tende a mover a estrutura para baixo o que provoca uma rotação do corpo da direita em torno do apoio duplo ao mesmo tempo que move a rótula de ligação entre os dois corpos para baixo. De forma a compatibilizar esse movimento, o corpo da esquerda tem de rodar em torno do apoio simples mas adicionalmente terá de se movimentar segundo a direcção horizontal para a direita (movimento permitido pelo apoio simples). Como resultado final, é importante observar que a distância horizontal entre os dois pontos que formavam a barra eliminada foi reduzida, o que indica que a barra existente teria de impedir esse movimento de aproximação ficando, portanto, comprimida.
No exemplo seguinte tente determinar qual o esforço a que estaria sujeita a barra eliminada.
Vão
Elementos da Alma
Montante Banzo Superior Diagonal
Banzo Inferior Painel
Vão
Elementos da Alma
Montante Banzo Superior Diagonal
Banzo InferiorBanzo Inferior Painel
Tipos de sistemas articulados planos
Apresentam-se em seguida alguns tipos de sistema articulados planos
Treliça Pratt (^) Treliça Pratt triangular
Treliça Warren Treliça Baltimore
Treliça Howe Treliça Howe triangular
Treliça K (^) Treliça Fink
Treliça em tesoura
Treliça de cobertura tipo ”shed”
Métodos de resolução
Método dos Equilíbrio dos Nós
Após o cálculo das reacções de apoio da estrutura, este método permite determinar os esforços em todas as barras que constituem o SAP através do equilíbrio sucessivo de cada um dos seus nós carregado pelas forças exteriores, reacções ou forças interiores (esforços) das barras que nele convergem. O equilíbrio de cada nó é assegurado apenas por 2 equações de equilíbrio (equilíbrio de forças concorrentes e complanares):
∑ F^ x^ =^0 e^ ∑ F^ y^ =^0
O método desenvolve-se, então, de acordo com os seguintes passos:
- Cálculo das reacções de apoio do SAP;
- Subdivisão do SAP nas suas várias barras e nos seus vários nós. Como cada barra é uma biela, apenas estará sujeita a um esforço constante segundo o seu eixo cujo sentido deve ser inicialmente arbitrado;
- Definição do equilíbrio de cada nó, estando cada nó sujeito a uma força de cada barra que nele concorre, às reacções de apoio que nele igualmente concorrem e às forças exteriores directamente aplicadas no nó.
Exemplo
Considere o seguinte SAP sujeito ao carregamento e às reacções de apoio representados.
F
A B
RA R (^) B
C
F
A B
RA R (^) B
C
F (^3)
A B
RA RB
C
F (^1)
F 2
F (^3)
A B
RA RB
C
F (^1)
F 2
Efectuando o corte 1-1’ representado e considerando apenas a parte da direita da estrutura (por ter menos forças) obtém-se:
F 3
A B
RA RB
C
F 1
F 2
1
1’
F 3
A B
RA RB
C
F 1
F 2
F 3
A B
RA RB
C
F 1
F 2
1
1’ (^) F (^3)
B
RB
N 2
N 3
N 1
F (^3)
B
RB
N 2
N 3
N 1
Observa-se que esta parte da estrutura está em equilíbrio devido à acção dos esforços N 1 , N 2 e N 3 (cujos sentidos foram arbitrados) das barras seccionadas, da força exterior F 3 e da reacção de apoio RB. Sobre a parte da estrutura considerada os esforços N 1 , N 2 e N 3 passam a ser forças exteriores cujos valores se querem determinar. Para tal é necessário definir 3 equações de equilíbrio para porção da estrutura considerada (porque temos 3 incógnitas) devendo, no entanto, ser previamente determinada a reacção de apoio RB da forma usual.
É possível, no entanto, efectuar cortes em que mais do que 3 barras são seccionadas e ainda assim obter um determinado esforço pretendido. Por exemplo, efectuando o corte 2-2’ representado e considerando apenas a parte da direita da estrutura (salientando-se que este corte secciona 4 barras) é possível determinar o esforço N 5. Atendendo a que N 1 , N 2 e N 4 são concorrentes no ponto C, (ao escolher-se a porção da direita da estrutura este ponto fica fora desta sub-estrutura, mas tal não implica que ele não possa ser considerado), se for definida uma equação de somatório de momentos
no ponto C (∑ M C = 0 )as únicas forças que contribuem para essa equação são N 5 , a força F 3 e a
reacção de apoio RB , que deverá ser previamente calculada. Assim o esforço N 5 é directamente determinado apenas com uma equação de equilíbrio e que resulta dum corte que secciona 4 barras.
F (^3)
A B
RA RB
C
F 1
F 2
2
2’ F (^3)
A B
RA RB
C
F 1
F 2
F (^3)
A B
RA RB
C
F 1
F 2
2
2’
N 2
N 1
F (^3)
RB
C
F (^2)
N 4
N 5
N 2
N 1
F (^3)
RB
C
F (^2)
N 4
N 5
Após a determinação dos esforços das barras escolhidas é, igualmente, importante perceber se esses esforços correspondem a barras à tracção ou à compressão. Considere-se as duas partes de uma estrutura seccionada abaixo representadas
A
RA
C
F (^1)
F (^2)
N 2
N 3
N 1
A
RA
C
F (^1)
F (^2)
N 2
N 3
N 1
F 3
B
RB
N 2
N 3
N 1
F 3
B
RB
N 2
N 3
N 1
Admitindo que os sentidos dos esforços N 1 , N 2 e N 3 estão correctos, verifica-se, por observação desta figura que, qualquer que seja a parte da estutura considerada, a força N 1 , por exemplo, tende a mover a barra onde actua para o exterior da parte da estrutura em consideração e que a força N 2 tende a exercer um movimento contrário sobre a barra onde actua tentanto, portanto, movê-la para o interior da parte da estrutura em consideração. Conclui-se por esta observação que a barra que contém N 1 está à tracção enquanto que a barra que contém N 2 está à compressão. Por observação semelhante pode concluir-se que a barra que contém N 3 está à tracção.
Concretização dos nós rotulados
Consoante o material do SAP (betão armado, aço ou madeira, por exemplo) a concretização dos nós rotulados é realizada através de técnicas distintas. No caso de estruturas metálicas, os nós podem ser realizados soldando ou aparafusando as barras a uma chapa comum, chapa Gousset , (Figuras 1 e 2) ou então fazendo passar um parafuso de grandes dimensões através das barras (Figura 3, 4 e 5). No caso de estruturas de madeira existem igualmente diversas opções para a concretização dos nós, como por exemplo aparafusando as barras a uma chapa Gousset exterior (Figura 6) ou embutida nas barras (Figura 7) ou ligando as barras que convergem num nó através de chapas metálicas denteadas prensadas (Figura 8). Em estruturas de betão, (Figura 9), não existem geralmente sinais exteriores de qualquer medida específica com vista à concretização das rótulas nos nós das barras havendo, portanto, continuidade total entre as diversas barras da estrutura. No entanto, poderão em certos
- Figura
- Figura
- Figura
- Figura
- Figura
- Figura
Ponte Navajo, Marble Canyon, Arizona, EUA.
Ponte sobre o rio Ohio, Madison, Indiana, EUA.
Ponte levadiça, delta do rio Sacramento, próximo de Rio Vista, California, EUA.
Ponte levadiça, delta do rio Sacramento, próximo de Rio Vista, California, EUA.
Terminal de autocarros de Port Authority, Nova Iorque, EUA (em construção).
Edifício de escritório da IBM, Pittsburgh, Pennsylvania, EUA.
Edifício Transamerica, San Francisco, California, EUA.
Base do edifício Transamerica, San Francisco, California, EUA.
