Treliças isostáticas, Exercícios de Resistência dos materiais

Baixe Treliças isostáticas e outras Exercícios em PDF para Resistência dos materiais, somente na Docsity!

FACENS

FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA

TEORIA DAS ESTRUTURAS

ANÁLISE DE TRELIÇAS Prof. JOSÉ LUIZ F. de ARRUDA SERRA

Análise de treliças

(notas de aula)

1. Generalidades Uma treliça simples pode ser definida como um sistema de barras, situadas em um mesmo plano, ligadas umas às outras pelas extremidades, de modo a formar um sistema estável. Na análise das treliças é usual adotar-se as seguintes hipóteses simplificadoras: 1) As articulações nas extremidades das barras (nós) são perfeitas, sem atrito. 2) As cargas são forças concentradas aplicadas apenas nos nós. Estas hipóteses permitem a substituição da estrutura real pela treliça ideal conforme ilustra a figura 1.1, na qual o único esforço solicitante que aparece em cada barra é uma força normal constante ao longo do seu eixo. A determinação das reações de apoio e das forças axiais internas constitui a análise da treliça. Treliça real Esquema para análise Figura 1. Em uma ponte como a ilustrada na figura 1.2, as forças aplicadas no tabuleiro são transmitidas aos nós das treliças principais através de estruturas secundárias – longarinas e transversinas. Calcula-se separadamente cada treliça plana principal, avaliando-se as cargas aplicadas nos nós, determinando-se as reações nos seus apoios e as forças normais em todas as suas barras, considerando-as “ideal”, isto é, os nós como articulações perfeitas. Figura 1.

portanto de serem consideradas incógnitas as forças normais anteriormente obtidas. Naturalmente apenas duas forças incógnitas podem ser determinadas para cada nó, pois apenas duas são as equações de equilíbrio para cada nó. É conveniente notar que as forças que as barras exercem nos nós têm a direção do eixo da respectiva barra e se a barra comprime o nó, pelo princípio da ação e reação, o nó comprime a barra, isto é as forças trocadas entre as barras e seus nós extremos têm a mesma natureza, ou seja, são ambas de compressão ou ambas de tração. Exemplo (figura 2.1): Figura 2.1 - Exemplo

Isola-se sucessivamente os nós 1, 2, 3, 4, 5 e 7 aplicando-se as equações de equilíbrio. Na figura 2.1 as forças incógnitas foram sempre indicadas como de tração e os resultados obtidos em um cálculo deixam de ser incógnitas e são usados nos seguintes, indicando seu valor (módulo) e sentido corretos. sen = 0,4472 e cos = 0, sen = 0,7071 e cos = 0, Nó 1: X = 0  N 13 sen + 3 = 0 Y = 0  N 12 + N 13 cos = 0 Resolvendo, N 13 = 6,708t (compressão) e N 12 = +6,000t (tração) Nó 2: X = 0  N 24 = +6,000t (tração) Y = 0  N 23 = 0 Nó 3: X = 0  N 35 cos + N 34 cos + 6,708 cos = 0 Y = 0  N 35 sen  N 34 sen + 6,708 sen  1 = 0 Resolvendo, N 35 = 5,590t (compressão) e N 34 = 1,118t (compressão) Nó 4: X = 0  N 46  6 + 1,118 cos = 0 Y = 0  N 45  1,118 sen = 0 Resolvendo, N 46 = +5,000t (tração) e N 45 = +0,500t (tração) Nó 5: X = 0  N 57 cos + N 56 cos + 5,590 cos = 0 Y = 0  N 57 sen  N 56 sen + 5,590 sen  1  0,5 = 0 Resolvendo, N 57 = 4,472t (compressão) e N 56 = 1,414t (compressão) Nó 7: X = 0  N 79 cos + 4,472 cos = 0 Y = 0  N 67 + N 79 sen + 2 = 0 Resolvendo, N 79 = 4,472t (compressão) e N 67 = +2,000t (tração) A outra metade da treliça é simétrica. 2.2 – Nós sob condições especiais (nós notáveis) Alguns nós de uma treliça, podem estar sob condições especiais que facilitem a determinação das forças normais nas barras nele concorrentes. Chamaremos estes nós de notáveis e a característica fundamental e comum entre eles é que não há carga externa aplicada. 1 o^ tipo : apenas duas barras situadas sobre a mesma linha de ação, isto é, duas barras colineares e opostas. Neste caso as forças nas barras são idênticas, isto é, ambas de tração ou compressão e mesmo módulo. 2 o^ tipo : apenas duas barras situadas não situadas sobre a mesma linha de ação, isto é, duas barras não colineares. Neste caso as forças nas barras são nulas.

Considera-se inicialmente a treliça toda como um sólido livre e determina-se as reações nos apoios 1 e 11, respectivamente 0,8t e 0,2t. A seguir, em vez de analisar o equilíbrio dos nós 1, 2, 3, 4 e 5 sucessivamente, como no processo dos nós, considera-se a treliça cortada em duas partes pela seção mn e estuda-se então o equilíbrio da parte da esquerda ou da direita. Nesta solução optou-se pelo equilíbrio da parte da direita, conforme mostra também a figura 2.3. Sobre este sólido atuam a reação vertical em 11 e as três forças N 46 , N 56 e N 57 que representam as três forças normais nas barras cortadas pela seção mn. As forças axiais nestas barras devem naturalmente coincidir com os respectivos eixos, sendo portanto suas direções conhecidas, desconhecendo-se apenas seus sentidos e intensidades. É conveniente adotar como de tração os sentidos das incógnitas e se o resultado do cálculo for negativo significa que a força é de compressão. Na chapa considerada tem-se um sistema de forças em equilíbrio no plano, para o qual três equações de equilíbrio independentes poderão ser aplicadas, afim de determinar as três forças normais procuradas. Igualando-se a zero a soma algébrica dos momentos de todas as forças em relação ao ponto 5 (eliminando assim duas das normais desconhecidas), obtém-se: N 46  2 + 0,2  6 = 0 ou, N 46 =  0,6 t O sinal negativo indica compressão, ao invés de tração como tinha sido admitido. Analogamente, tomando o ponto 6 como centro dos momentos, obtém-se: N 57  2  0,2  5 = 0 0u, N 57 = + 0,5 t Para calcular N 56 iguala-se a zero a soma algébrica das projeções de todas as forças sobre um eixo vertical (Y = 0), obtendo: N 56  sen  0,2 = 0 tg  = 2/1  sen = 0, ou, N 56 = + 0,224t Como vimos, o processo das seções ou corte de Ritter consiste, essencialmente, em considerar isoladamente uma parte da treliça de tal maneira que as forças normais internas, que deseja-se calcular, tornem-se forças externas aplicadas no sólido ou chapa livre. Por este processo chega-se ao caso de equilíbrio de um sistema geral de forças em um plano, ao qual pode-se aplicar as equações usuais de equilíbrio para calcular as forças desconhecidas. O sucesso ou insucesso do procedimento depende exclusivamente da escolha da seção. Geralmente procura-se cortar apenas três barras não concorrentes pois somente três incógnitas podem ser determinadas com as três equações de equilíbrio. Entretanto há casos especiais em que pode-se cortar mais de três barras e obter resultados parciais. A figura 2.3 apresenta um exemplos em que o corte atingiu quatro barras.

Figura 2.3 - Exemplo Considerando o equilíbrio da chapa cortada e tomando como centro dos momentos, sucessivamente os pontos 5 e 7, vem: N 7 - 10  4 + 1  6 = 0  N 7 - 10 =  1,5t (compressão) N 5 - 9  4 + 1  6 = 0  N 5 - 9 = + 1,5t (tração) O equilíbrio das forças horizontais na chapa cortada conduz a: N 7 - 6  N 5 - 6 = 1t Nota-se então que as condições de equilíbrio da chapa cortada não permitem determinar as normais N 5 - 6 e N 7 - 6 , separadamente, pois têm-se 4 incógnitas e apenas 3 equações de equilíbrio. 2.3 – Processo Cremona Além dos processos analíticos descritos até este item, as forças normais nas barras de uma treliça isostática podem ser determinadas graficamente através de um procedimento no qual o equilíbrio de cada nó é verificado pelo fechamento do polígono dos forças nele aplicadas. O processo é aplicado sucessivamente, aproveitando-se os resultados obtidos anteriormente, evitando-se repetir o traçado de forças já determinadas. Este processo foi introduzido por Cremona (Itália) e também foi desenvolvido por Maxwell (Inglaterra) de forma independente. A notação usada no procedimento é devida a Bow. Por ser um processo gráfico, é mais rápido que o método dos nós, principalmente nas treliças maiores, não obstante possa apresentar as imprecisões que sempre acompanham os procedimentos gráficos. Deve-se trabalhar com cuidado e material de boa qualidade.

Exemplo: Determinar as forças normais nas barras da treliça da figura abaixo. Figura 2.4 – Plano Cremona

3. Exercícios propostos Exercícios de 1 a 14 – determinar as forças normais nas barras