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III
- TRIGONOMETRIA
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TTTTTrigonométricas?rigonométricas?rigonométricas?rigonométricas?rigonométricas?
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É importante saber sobre Funções Trigonométricas, pois estes conhecimentos vão além da matemática. Você encontra a utilidade das funções seno, cosseno e tangente na eletricidade, na acústica e na música, por exemplo.
Dedilhar as cordas de um violão nada mais é do que fazer vibrar as cordas, pressionando o ar e gerando as ondas sonoras, as quais podem ser bem traduzidas nos gráficos das funções trigonométricas, por exemplo.
Capítulo 1
INTRODUÇÃO À TRIGONOMETRIA
Trigonometria é o ramo da Matemática que vem do (grego trigono = triangular e metria = medida). Ela estabelece relações entre medidas de ângulos e segmentos. Seu objetivo é o cálculo das medidas dos lados de um triângulo ou de seus ângulos. Na atualidade, a trigonometria não se limita ao estudo de triângulos. Estende- se a outros ramos como Eletricidade, Engenharia, Acústica, Astronomia etc.
Há problemas que envolvem aplicações das razões trigonométricas, como, por exemplo:
Tangente de um ângulo é a razão do cateto oposto a esse ângulo e a medi- da do cateto adjacente.
Exemplos: No triângulo ABC, determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos.
a)
A^ B
C
C
B
sen B sen C 10 5 10 5 6 3 8 4 cos B cos C 10 5 10 5 8 4 6 3 tg B tg C 6 3 8 4
b) (^) B
C A
C
B a
4
3
Nesse caso, devemos calcular a medida aaaaa da hipotenusa aplicando o teorema de Pitágoras.
Podemos estabelecer relações entre as medidas dos ângulos e as medidas dos lados de um triângulo. Assim, podemos aplicar a trigonometria na construção de viadutos e pontes, na navegação, no levantamento topográfico de terrenos etc.
Lembrando:Lembrando: Lembrando:Lembrando:Lembrando: Teorema de Pitágoras define-se como o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
a^2 = b 2 + c^2
Solução: a^2 = 4 2 + 3 2 a^2 = 16 + 9 a^2 = 25 a = 5 4 3 sen B sen C 5 5 3 4 cos B cos C 5 5 4 3 tg B tg C 3 4
c)
B
A
C
B C
seno B seno C 5 5 5 5 5 5 2 5 2 5 1 5 5 cos B cos C 5 5 5 5 5 5 1 2 tg B tg C 2 2 1
c)
x
Solução: 4 cos 30º x 3 4 3 x 8 2 x 8 3 x 3 3 8 3 x 3
- Sabendo que o cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem n e 3n, respectivamente, calcule a tangente do ângulo oposto ao menor lado.
Solução: Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2 (^2 )
2
(3n) n AB
9n n AB
AB 8n
AB 8n
AB 2 2 n
= +
= +
=
=
= O menor cateto é AC. n tg B = 2 2 n
1 2 2 tg B 2 2 2 4
⇒ = ⋅ =
- Sendo DC = 4 cm, determine AB^ : A
B D 4 cm C
h
A
C
B
n
3n
Solução: No triângulo ACD, temos: No triângulo ABD, temos: h tg 60º 4
= sen 30º h AB
=
3 h h 4 3 cm 4
= ⇒ = (^1 4 3) AB 8 3 cm 2 AB
= ⇒ =
Obs.: Se o ângulo não for notável, devemos consultar a tabela com valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos expressos em graus.
Exemplo: Com auxílio da tabela, calcule o valor de x nos triângulos retângulos abaixo.
a)
5
x
Solução: x sen 50º 5 x 0, 5 x 5 0, x 3,
=
=
= ⋅
b)
x
Solução: 3 cos x 4 cos x 0, x 41º
=
= ≅
Graus Sen Cos Tg Cotg 31º 0,5150 0,8572 0,6009 1,6642 59º 32º 0,5299 0,8480 0,6249 1,6003 58º 33º 0,5446 0,8387 0,6494 1,5398 57º 34º 0,5592 0,8290 0,6745 1,4825 56º 35º 0,5736 0,8192 0,7002 1,4281 55º 36º 0,5878 0,8090 0,7265 1,3763 54º 37º 0,6018 0,7986 0,7536 1,3270 53º 38º 0,6157 0,7880 0,7813 1,2799 52º 39º 0,6293 0,7771 0,8098 1,2349 51º 40º 0,6428 0,7660 0,8391 1,1917 50º 41º 0,6561 0,7547 0,8693 1,1503 49º 42º 0,6691 0,7431 0,9004 1,1106 48º 43º 0,6820 0,7314 0,9325 1,0723 47º 44º 0,6947 0,7193 0,9657 1,0355 46º 45º 0,7071 0,7071 1,0000 1,0000 45º Cos Sen Cotg Tg Graus
USANDO A TRIGONOMETRIA NO TRABALHO
Na construção do telhado de uma casa, os pedreiros costumam usar a linguagem “caimento” do telhado. Imagine uma casa com um telhado com 30% de inclinação. Dizemos que a tangente do ângulo que as telhas fazem com a horizontal é 0,3. O triângulo formado pode ser medido por meio das relações trigonométricas.
Relações Trigonométricas num Triângulo Qualquer
Considere o triângulo abaixo:
A
C
c
b a
B
Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são proporcionais aos senos dos lados opostos.
Com a definição acima, obtemos a lei dos senos, em que:
a b c 2r sen A sen B sen C
Exemplos:
- No triângulo abaixo, calcule BC :
A
C
a
B
Solução:
a 3 sen 30º sen 45º a 3 2 (^1 ) (^2 )
a 2
a a 2 2 2
- Num triângulo ABC, BC = x, AC = y, Â = 60º e B^ = 30º, calcule x e y, onde x + y = 3.
Exemplos:
- Determine a medida do lado AC do triângulo.
A
B C
c = 3
b
a = 9
Solução: 2 2 2
2 2 2
2 2
b a c 2ac cos B 1 b 9 3 2 9 3 2 b 81 9 27 b 63 b 3 7
= + −
= + − ⋅ ⋅
= + −
=
- Num triângulo ABC, tem-se AB = 4 cm, AC = 5 cm e B^ =A (^) B^ C. Se BC = 4 cm, calcule cos Â.
A
B C
4 cm 5 cm
4 cm
A
B C
Solução:
2 2 2 2 2 2
a b c 2bc cos A 4 5 4 2 5 4 cos A 16
40cos A 40cos A 25 25 5 cos A cos A 40 8
Área de um Triângulo
B
A
a
c b
C
A área de um triângulo qualquer pode ser definida por: a b sen C a c sen B b c sen A^ A ou A ou A 2 2 2
⋅ ⋅ ⋅ = = =
Exemplo: Determine a área do triângulo ABC.
A
B C
c = 4 cm 60º a = 6 cm
Solução:
2
a c sen B A 2 3 6 4 A 2 2 A 6 3 cm
⋅
⋅ ⋅
=
Trigonometria na Circunferência
Arcos de Circunferência
Define-se arco de circunferência AB como cada parte em que a circunfe- rência fica dividida.
Indicação: AB
B
A
A ≡ B
A e B são extremidades A e B coincidem, determinando e determinam dois arcos. um arco nulo e outro de uma volta.
Ângulo Central
É o ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência, e os lados são raios dessa circunferência.
(
Conversão de Unidades
A conversão de unidades pode ser por meio de uma regra de três simples. 360º — 2π rad ou 180º — π rad Exemplos: a) Expresse 120º em radianos. Solução: Usando a relação: 180º ——— π rad 120º ——— x 180x = 120π 120 x 180 2 x rad 3
π
π
b) Converta
rad 4
π (^) em graus.
180º rad
x
π 3 rad 4 3 x 180º 4 180º 3 x^4
x 135º
π
π ⋅ π = ⋅
⋅ π
π
Podemos converter radianos em graus usando uma regra prática. Assim: 3 3 180º rad 135º 4 4
π ⋅ = =
Comprimento de um Arco
Considere a circunferência da figura. Definimos comprimento de um arco a seguinte relação:
r
α = l ou l = α. r α é medido em radianos.
O l
A
B
r
α
Por exemplo, se o ângulo central A O B, determine numa circunferência de r = 4 cm um arco AB de medida l = 6 cm, então a medida de A O B será
6 1,5 rad. 4
α = ⇒ α =
Qual a medida do raio de uma circunferência cujo arco mede π rad e o seu comprimento, 4,15 cm?
l = α. r Lembrete: π rad = 3, 4,15 = 3,14 r 3,14 r = 4, 4, r 3,
r = 1, 32 cm
Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando marca:
1 2 3
4 (^765)
8
9
10
11 12
(
Dessa forma, obtemos as relações: Em graus: Em radianos:
90º
0 = 360º
270º
180º 0 = 2π
3 π 2
π
π 2
Expressão Geral dos Arcos
- Quando medidos em graus, a expressão é obtida por: α = α 0 + 360º. k, sendo que k ∈ ¹ α 0 é denominada 1ª determinação positiva (0 ≤ α 0 ≤ 360º) k é o número de voltas.
- Quando medidos em radianos, a expressão geral dos arcos é obtida por: α = α 0 + 2kπ k ∈ ¹
Exemplos: Determine a 1ª determinação positiva e dê a expressão geral dos arcos: a) 1630º Solução: 1630º 360º 190º 4 numeros de voltas completas 1630º = 190º + 4 ⋅360º
190º é a primeira determinação positiva.
número de voltas completas
b) – 2360º Solução: 2360º 360º 200º 6 Para obter a 1ª determinação positiva, devemos fazer 360º – 200º = 160º A primeira determinação positiva é 160º e a expressão geral é α = 160º + k. 360º
c)
rad 4
π
Devemos dividir (^13) rad 4
π (^) por 2π.
π = = + = + π π (^) π π = (^) + (^) ⋅ π = π + ⇒ + π 5 4
π é a primeira determinação positiva e a expressão geral é 5 2k 4
π α = + π.
Arcos Côngruos
São aqueles que possuem a mesma origem e a mesma extremidade, em que a diferença entre eles é um múltiplo de 360º (ou 2π rad).
Exemplos: a) 1840º e 40º são côngruos, pois 1840º – 40º = 1800º = 5. 360º
b) (^21) rad e radsão côngruos, pois 5 5 21 20 rad rad rad 4 rad 2 2 rad 5 5 5
π π
π π π − = = π = ⋅ π
