A trigonometria ( trigono = triângulo, metria = medida) teve origem no estudo das relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo, em particular, do triângulo retângulo. Observa uma pessoa que sobe dois tipos de rampa:

Dizemos que a segunda rampa é mais íngreme, ou tem declive maior, pois o ângulo de subida é maior (55º^ > 30º). Mas como saber qual das duas rampas é mais íngreme sem conhecer os ângulos de subida? Para responder a esta pergunta precisamos conhecer um pouco de trigonometria. Observa a rampa e a tabela seguinte:

altura

percurso

6 m α

0

D

C

1m 2m 4m

B

A

afastamento

Figura 1

2m

4m

8m

A’ B’ C’ D’

12m

Figura 2

PONTO AFASTAMENTO^ ALTURA

A 2m 1m B 4m 2m C 8m 4m D 12m 6m

Observando a figura 1 verificamos que os triângulos retângulos, ∆ OAA’, ∆ OBB’, ∆ OCC’, ∆ ODD’ são semelhantes e, portanto, existe uma proporcionalidade entre seus lados. Fazendo a razão entre a altura e o afastamento em cada ponto, temos:

k afastamento

altura = = = = = 12

A constante “ k ” é chamada tangente do ângulo de subida. Para determinar o ângulo de subida basta consultar uma tabela ou uma calculadora. Quanto maior a tangente maior será o ângulo de

subida. Este ângulo também poderia ser obtido através de outras razões. A razão entre a altura e o percurso é chamada seno do ângulo de subida. A razão entre o afastamento e o percurso é chamada co-seno (ou cosseno ) do ângulo de subida. Para utilizarmos essas razões precisamos conhecer o percurso em cada ponto. No nosso caso temos a altura e o afastamento, para calcularmos o percurso, usamos o teorema de Pitágoras. Num triângulo retângulo como o da figura:

c

A

A’

O

1 m

2 m

5 m

No nosso caso:

( percurso ) 2 = ( afastamento ) 2 +( altura )^2

Até o ponto A o percurso será:

p

Então, sen α= 5

e cos α= 5

Procurando numa tabela ou numa calculadora encontramos o mesmo ângulo de subida obtido anteriormente através da tangente. No nosso exemplo, no triângulo retângulo da figura (2), o percurso é a hipotenusa, o afastamento e a altura são os catetos, sendo o afastamento o cateto adjacente ao ângulo de subida e a altura o cateto oposto. De maneira geral, podemos definir:

a (^) b

α

a^2 = b^2 + c^2

hipotenusa

catetoopostoa α

sen α =

hipotenusa

catetoadjacentea α

cos α=

α

cos

sen tg = = catetoadjacentea

catetoopostoa

Usamos com bastante freqüência essas relações para os ângulos de 30º, 45º e 60º e seus valores são dados no quadro abaixo.

10) Um observador em A vê uma torre vertical CD sob um ângulo de 30^0 e caminhados 40m em direção a torre passa a vê-la sob 40^0. Sabendo que a altura do observador é 1,70m, calcula a altura da torre e a que distância ela se encontra do observador.

11) Um mergulhador percorreu uma distância de 40m, entre a superfície e o fundo do mar, segundo uma trajetória retilínea que forma um ângulo de 50^0 com a superfície. a) Qual é, aproximadamente, a profundidade do local alcançado pelo mergulhador? b) Subindo verticalmente para a superfície, a que distância do ponto em que mergulhou ele sairá aproximadamente?

Respostas

1) h ≡ 22,93 m (sem levar em conta a altura da pessoa).

2) h ≡ 0,53589 km = 535,89 m d ≡ 2,07055 km = 2070,55 m

3) x ≡ 20,78 m

4) h ≡ 128,56 m

5) d ≡ 17,43 m

6) h = 19,92 m

7) h = 75 km

8) d = 4 m

9) h = 0,25 km = 250 m

10) h = 75,73 m d = 128,23 m

11) a) h = 30,64 m b) x = 25,71 m