Baixe Interpretações da Dualidade Onda-Partícula em Física Quântica e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity!
Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 19, no.^ 1, marco, 1997 27
Interferometria, Interpretac~ao e Intuic~ao:
uma Intro duc~ao Conceitual a Fsica Qu^antica
(Interferometry, interpretation, and intuition: a conceptual intro duction to quantum physics)
Osvaldo Pessoa Jr. Instituto de Fsica da Universidade de S~ao Paulo; e Centro de Logica, Epistemologia e Historia da Ci^encia, Unicamp, C.P. 6133, 13081-970, Campinas, SP e-mail: [email protected]
Trabalho recebido em 10 de agosto de 1996
A Fsica Qu^antica e intro duzida estudando-se o interfer^ometro de Mach-Zehnder para um foton unico. Enfatizam-se os asp ectos conceituais da teoria, pro curando desenvolver no aluno uma intuic~ao sobre o que acontece em situac~oes exp erimentais. De original, o artigo apresenta desde o incio diferentes interpretac~oes do formalismo qu^antico, p ermitindo que o leitor desenvolva sua propria interpretac~ao privada. Isso parece ser consistente com a simetria de representac~ao que e p eculiar a Mec^anica Qu^antica. Distinguem-se duas vers~oes da dualidade onda-partcula, e salienta-se que o regime qu^antico e a Fsica Ondulatoria para baixas intensidades. Em meio as discuss~oes mais fundamentais, examinam-se brevemente topicos recentes como fen^omenos intermediarios e escolha demorada. Abstract An intro duction to quantum physics is given by studying the Mach-Zehnder interferometer for a single photon. The conceptual issues of the theory are emphasized, as we try to develop the student's intuition ab out what happ ens in exp erimental situations. An original feature of the article is that, from the b eginning, di erent interpretations of the quantum mechanical formalism are presented, allowing the reader to develop his own private interpretation. This seems to b e consistent with the symmetry of representation that is prop er to quantum mechanics. Two versions of the wave-particle duality are distinguished, as we emphasize that the quantum regime is wave physics applied to low intensities. Besides the more fundamental discussions, we also brie y examine recent topics such as intermediary phenomena and delayed choice.
I. A ess^encia da Fsica Qu^antica
Qual e a \ess^encia" da Fsica Qu^antica? Quais s~ao os princpios gerais que caracterizam esta teoria, distinguindo-a de outras teorias? Naturalmente n~ao existe uma resp osta unica a esta p ergunta: a) O nome \qu^antico" sugere que o essencial e a presenca de quantidades discretas, como os \pacotes" de energia, ou de pro cessos descontnuos. b) Po de-se tambem argumentar que a maior no- vidade da teoria qu^antica e o pap el que a probabili- dade nela desemp enha, descrevendo um mundo essen-
cialmente \indeterminista". c) Alguns autores consideram que a ess^encia da Fsica Qu^antica e o princpio de incerteza, segundo o qual a p osic~ao e a velo cidade de uma partcula n~ao p o- dem mais ser determinadas simultaneamente. d) Outros, com esprito mais loso co, salientam que o que esta teoria tem de fundamental e que o obser- vador n~ao p o de ser separado do ob jeto que esta sendo observado. e) Aqueles com vies mais matematico a rmam que o essencial na Mec^anica Qu^antica e o uso de grandezas
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que n~ao comutam, ou o pap el insubstituvel desemp e- nhado p elos n umeros complexos. To das essas a rmac~oes s~ao corretas. No entanto, adotaremos como nosso p onto de partida a chamada \dualidade onda-partcula", e tomaremos uma vers~ao deste princpio como a ess^encia da Fsica Qu^antica. Em p oucas palavras, o que caracteriza a teoria qu^antica de maneira essencial e que ela e a teoria que atribui, para qualquer partcula individual, aspectos on- dulatorios, e para qualquer forma de radiac~ao, aspectos corpusculares.
I I. Dualidade onda-partcula: vers~ao fraca
Para a Fsica Classica, uma partcula p o de ser ima- ginada como uma b olinha b em p equena que se lo co- move p elo espaco, e que em condic~oes normais n~ao se divide. Alem dessa indivisibilidade, uma partcula classica tambem se caracteriza p or estar a cada instante em uma p osic~ao b em de nida, e com uma velo cidade precisa. Com o passar do temp o, a partcula descreve uma trajetoria b em de nida, que p o de ser visualizada como uma curva contnua no espaco. Uma onda, p or outro lado, e concebida p ela Fsica Classica como uma excitac~ao que se propaga em um meio, como a sup erfcie da agua, e que tem a carac- terstica de se espalhar no espaco. O que se propaga com a onda e a energia, que se identi ca com o movi- mento oscilatorio das partculas do meio. Como esse movimento das partculas p o de ser t~ao t^enue quanto se queira, a amplitude da onda p o de ser dividida o quanto se queira, p elo menos em teoria. Nesse sentido, as ondas s~ao contnuas, ao contrario das partculas, que s~ao discretas. Alem disso, ondas circulares claramente n~ao descrevem uma \tra jetoria", do tip o de nido para corp usculos. Elas s~ao espalhadas no espaco, sem se lo calizar em um p onto b em de nido. Alem de serem contnuas e espalhadas, as ondas exib em uma serie de fen^omenos tpicos, como a interfer^encia. Dizer simplesmente que \uma coisa (sem partes) e (ao mesmo temp o) partcula e onda" e uma contradic~ao logica. Pois isso implicaria que essa coisa e ao mesmo temp o indivisvel e divisvel (contnua), que ela segue uma tra jetoria e n~ao segue (e espalhada). No entanto, a Teoria Qu^antica e obrigada a conciliar, de alguma ma- neira, esses termos contraditorios. Veremos que exis-
tem dois tip os de enunciados para essa dualidade onda- partcula: o que chamamos \vers~ao fraca" tenta conci- liar o fen^omeno ondulatorio de interfer^encia com a in- divisibilidade observada na detecc~ao de fotons, eletrons etc.; a \vers~ao forte", desenvolvida p or Bohr, e concer- nente a exist^encia de interfer^encia e de trajetorias. A maneira mais completa de entender a indivisibi- lidade dos quanta, no caso da luz, e examinar o efeito foto emissivo (foto eletrico)[1]^. Aqui, p orem, iremos nos restringir a um exp erimento mais simples, feito com a luz p ela primeira vez p or Geo rey Taylor em 1909, e tambem com eletrons a partir da decada de 1950 [2]^. O exp erimento e simplesmente o das duas fendas (no caso da luz), no qual a fonte de luz e bastante t^enue (Fig. 1). Se acompanhassemos a formac~ao do padr~ao de in- terfer^encia em uma chapa fotogra ca, veramos p ontos aparecendo um apos o outro, corresp ondendo a cada foton sendo detectado de maneira lo calizada. Tais p on- tos, p orem, se agrupariam em bandas, acompanhando o padr~ao de intensidade tpico da interfer^encia. Exis- tem lmes mostrando a formac~ao de tal padr~ao, p onto p or p onto, no caso de eletrons (Fig. 2).
Figura 1. Exp erimento de duas fendas.[3]^.
Figura 2. Formac~ao paulatina de um padr~ao de inter- fer^encia.[4]^.
E^ imp ortante frisar que essa formac~ao p onto a p onto do padr~ao de interfer^encia o corre mesmo que ap enas um foton ou eletron incida p or vez (p or exemplo a cada segundo). Paul Dirac exprimiu isso dizendo que cada
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terpretac~ao com maiores detalhes. No caso que estamos examinando, temos o que Bohr chama de \fen^omeno ondulatorio". O asp ecto corpuscular que observamos na detecc~ao se deve ao \p ostulado qu^antico" desco- b erto p or Max Planck, e que para Bohr e o fundamento da Teoria Qu^antica. Este p ostulado a rma que existe uma descontinuidade essencial (uma indivisibilidade) em qualquer pro cesso at^omico, como p or exemplo na ionizac~ao de atomos de prata na chapa fotogra ca de- vido a ac~ao da luz.
IV. Regime qu^antico: ondas de baixa intensi- dade
Vimos um fen^omeno tipicamente qu^antico, que foi obtido tomando-se um fen^omeno descrito p ela Fsica Classica Ondulatoria (interfer^encia de luz), e redu- zindo a intensidade do feixe de luz ate o p onto em que se p o dem detectar pacotes individuais de ener- gia. De maneira analoga, muitos dos misterios da Fsica Qu^antica, como o princpio de incerteza, o efeito t unel[11]^ , o spin[12]^ e a estatstica Bose-Einstein para luz de origem termica[13]^ , s~ao fen^omenos descritos na Fsica Ondulatoria Classica, e que passam a ser fen^omenos qu^anticos quando se reduz a intensidade do feixe e se melhora a sensibilidade dos detectores. Po demos resu- mir essa ab ordagem dizendo que o regime qu^antico e a Fsica das Ondas para baixas intensidades, quando propriedades corpusculares passam a aparecer. Para entender o comp ortamento da luz no re- gime qu^antico, e preciso considerar que a energia de cada foton detectado e dada p or E = h , onde e a freq u^encia da luz. O momento asso ciado a este foton e dado p or p = h=, onde e o comprimento de onda. A primeira destas leis e devida a Eins- tein (1905), baseando-se no trabalho pioneiro de Max Planck (1900), que de niu a constante h. A segunda foi generalizada para to das as partculas p or Louis de Broglie (1923), lembrando que para partculas com massa m n~ao nula, p = mV ; onde V e a velo cidade da partcula. Para a luz, assim como para qualquer forma
de onda, = V : Em suma:
E = h e p = h= : (1) Pela ab ordagem descrita acima, muitas caracte- rsticas essenciais da Fsica Qu^antica ja se encontram
na Fsica Ondulatoria Classica. Um exemplo disso e a diferenca que existe, para as ondas classicas, entre am- plitude e intensidade. Numa onda transversal em uma dimens~ao (como a gerada em uma corda) a amplitude mede o deslo camento transversal da onda que se pro- paga, mas esta amplitude n~ao e prop orcional a energia que se propaga. A intensidade I da onda (energia p or unidade de temp o e de area, para ondas em tr^es di- mensc~oes) e prop orcional ao quadrado da amplitude :
I / 2.
No regime qu^antico, a intensidade corresp onde ao n umero de quanta detectados. Assim, em uma regi~ao delimitada do espaco, o n umero de quanta detectados sera prop orcional ao quadrado da amplitude da onda asso ciada aquela regi~ao. Se tivermos preparado ex- p erimentalmente ap enas um quantum (um foton, um eletron), a probabilidade de detecta-lo em uma certa regi~ao sera prop orcional ao quadrado da amplitude de
onda asso ciada aquela regi~ao: Prob / j j^2. Esta e a
regra prop osta p or Max Born, em 1926. Quando dois pulsos de onda se cruzam em uma corda classica, o pulso resultante tem uma amplitude que e a soma das amplitudes dos pulsos originais. Este e o princpio de superposic~ao da Fsica Ondulatoria Classica: quando varias ondas passam p or um p onto, a amplitude resultante e a soma das amplitudes com- p onentes. Para duas ondas contnuas de mesmo propagando-se na mesma direc~ao e sentido, a sup er- p osic~ao p o de ser contrutiva (ondas em fase) ou destru- tiva (ondas defasadas em =2) (Fig. 3). Se uma onda de intensidade I 0 for dividida em duas partes de igual intensidade I 0 , p or exemplo a luz se di- vidindo em um esp elho semi-re etor (Fig. 4), e facil ver (p or conservac~ao de energia) que a amplitude 0 nal de cada comp onente n~ao e a metade da amplitude (^0) da onda original, mas que 0 = 0 =
p
Figura 3. Sup erp osic~oes construtiva e destrutiva.
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Figura 4. Divis~ao de uma onda em duas comp onentes de igual amplitude.
Pois b em, n~ao p o deramos p egar as comp onentes A e B da Fig. 4, acertar suas fases relativas, de forma a re- combina-las com sup erp osic~ao construtiva? Neste caso, a amplitude da onda resultante seria 0 =
p
p
p^2 =
2 0 , donde a intensidade nal do feixe seria 2 I 0 ,
maior que a do feixe inicial! Isso n~ao e p ossvel! N~ao p o demos recombinar dois feixes dessa maneira simples para obter sup erp osic~ao construtiva. Na sec~ao seguinte veremos como se faz para recombinar amplitudes de onda.
V. Interfer^ometro de Mach-Zehnder Classico
Vamos agora apresentar um arranjo exp erimental parecido com o exp erimento das duas fendas, tambem envolvendo interfer^encia de ondas. O aparelho em quest~ao chama-se \interfer^ometro de Mach-Zehnder", desenvolvido no seculo XIX[14]^. Para entender o funcionamento deste inter- fer^ometro, iremos considerar um feixe de luz como con- sistindo de ondas em uma dimens~ao. Um mo delo ondu- latorio razoavel para um feixe de luz, gerado p or exem- plo p or uma lanterna, e de que ele consiste de um monte de \trens de onda". Vamos considerar ap enas um des- tes trens de onda. O primeiro comp onente do interfer^ometro e um \es- p elho semi-re etor", um vidro fum^e que divide o feixe de luz em duas partes, uma transmitida e uma re etida, de igual amplitude. Ja vimos que neste caso de divis~ao de ondas, se a amplitude do feixe inicial e 0 a do feixe transmitido e 0 =
p
2, assim como a do re etido. Alem disso, o trem de onda re etido sofre um deslo- camento de fase em relac~ao ao trem transmitido atraves do esp elho. Adotaremos a regra de que a cada re- ex~ao ocorre um atraso de = 4 em relac~ao ao trem transmitido[15]^.
O esquema do interfer^ometro de Mach-Zehnder esta na Fig. 5. O feixe inicial passa p or um esp elho semi- re etor S 1 , que divide o feixe em um comp onente trans- mitido (A) e um re etido (B ). Cada comp onente re- ete ent~ao dos esp elhos E 1 e E 2 , e voltam a se cruzar no esp elho semi-re etor S 2 , rumando ent~ao para os de- tectores (p otenci^ometros) D 1 e D 2. O que acontece?
Figura 5. Interfer^ometro de Mach-Zehnder.
Como cada comp onente se divide em duas partes em S 2 , p o deramos esp erar que cada detector mediria 50% do feixe. Mas n~ao e isso que acontece! Observa-se, quando a dist^ancia p ercorrida p elos dois comp o- nen- tes forem exatamente iguais, que 100% do feixe original incide em D 1 , e 0% em D 2! Isso acontece devido a sup erp osic~ao construtiva em D 1 e a sup erp osic~ao destrutiva em D 2 (Fig. 6). O feixe A se aproxima de S 2 com uma amplitude 0 =
p
e com um deslo camento de fase relativo de =4, p ois
sofreu uma re ex~ao em E 1 ; o feixe B se aproxima com
mesma amplitude e uma defasagem de =2, p ois so-
freu re ex~oes em S 1 e E 2. No esp elho semi-re etor S 2 , metade do feixe A e transmitido e metade e re etido, sendo que o mesmo o corre para o feixe B. Considere- mos as partes de A e de B que rumam para D 2. O comp onente que p ercorreu o caminho A passa direto
sem re ex~ao, p ermanecendo defasado em =4, e pas-
sando a ter uma amplitude 0 = 2 apos a divis~ao da onda; enquanto isso, o comp onente vindo de B sofre uma re-
ex~ao adicional (em S 2 ), cando deslo cado em 3 =4,
com amplitude 0 =2. Temos assim uma diferenca de = 2 entre os comp onentes de mesma amplitude, o que corresp onde a uma sup erp osic~ao destrutiva. Ou seja, as amplitudes que atingiriam D 2 se anulam, e nada e detectado neste p otenci^ometro.
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Figura 7. Vers~oes do interfer^ometro nos quais os fotons ru- mam p or um caminho conhecido.
Ha um punhado de sadas p ossveis. Consideremos tr^es delas, que seguem as interpretac~oes simpli cadas apresentadas anteriormente. (1) Interpretac~ao Ondulatoria. Talvez o foton p ossa se dividir simetricamente em dois \meio-fotons" no pri- meiro esp elho semi-re etor S 1. Em outras palavras, teramos um pacote de onda que se dividiria em duas partes em S 1 , e estes se recombinariam em S 2 , con- forme prev^e a Fsica Ondulatoria Classica. O problema seria explicar p or que em outros exp erimentos nunca detectamos meio fotons. (2) Interpretac~ao da Dupla Soluc~ao. Talvez o ob- jeto qu^antico se divida em duas partes: o foton e a sua onda asso ciada. Assim, o foton de fato seguiria uma tra jetoria, ou p or A ou p or B , mas simultaneamente a sua onda asso ciada se dividiria em duas partes iguais, uma rumando p or A e outra p or B. A partcula se- ria um \sur sta" que so p o de navegar aonde ha ondas. Como as ondas se cancelam proximas ao detector D 2 , o foton e obrigado a surfar para D 1. (3) Interpretac~ao da Complementaridade. Um fen^omeno p o de ser ondulatorio ou corpuscular, nunca os dois ao mesmo temp o. O exp erimento examinado e um fen^omeno ondulatorio, e p ortanto n~ao tem sentido
p erguntar onde esta o foton. Vamos agora dar uma olhada sup er cial na maneira como o formalismo da Teoria Qu^antica descreve o ex- p erimento de Mach-Zehnder para um foton unico. Aos p oucos, veremos que as diferentes interpretac~oes s~ao consistentes com este formalismo, que fornece as re- gras para se calcular valores p ossveis de medic~oes e as resp ectivas probabilidades.
VI I I. Princpio qu^antico de sup erp osic~ao
Se o esp elho semi-re etor S 1 estiver removido, to- dos concordam que o foton ou o pacote de onda ruma p elo caminho A. Por exemplo, se inserirmos um de- tector neste caminho, ele sempre registrara a presenca do foton (sup ondo que o detector e 100% e ciente). Po demos assim atribuir um estado ao nosso sistema qu^antico, em um certo instante, que denotaremos p or
j A >. Esse estado diz que o foton sera detectado com
certeza no caminho A; devido a esta certeza, tal estado costuma ser chamado de auto-estado asso ciado ao valor A para a p osic~ao do foton[19]^. Analogamente, p o demos
de nir o auto-estado j B >. Se o sistema estiver neste
estado, um detector e ciente no caminho B certamente registrara um foton. Cada um destes estados e analogo a uma amplitude de onda classica. Esses dois estados t^em uma propriedade interes-
sante. Se o estado for j A >, um detector no caminho
B n~ao registrara nenhum foton; se o estado for j B >;
nada p o dera ser detectado no caminho A. Dizemos nesse caso que esses estados s~ao ortogonais. Agora vamos enunciar um dos princpios fundamen- tais da Mec^anica Qu^antica, o chamado Princpio de Su- p erp osic~ao: Dados dois estados possveis de um sistema qu^antico, ent~ao a soma desses dois estados tambem e um estado possvel do sistema. Como conseq u^encia deste princpio, o seguinte es- tado tambem descreve uma situac~ao p ossvel:
j >= p^1
j A > pi
j B > (2)
Notamos que a \soma" mencionada envolve certos co- e cientes, necessarios para manter os estados \norma- lizados", que p o dem assumir valores \complexos" (en-
volvendo i
p
1). De fato, a eq.(2) e justamente o
estado assumido p elo pulso de luz no exp erimento de Mach-Zehnder para um foton!
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Mas o que diz esse estado? O foton esta em dois lugares ao mesmo temp o? N~ao, o formalismo da Teoria Qu^antica n~ao trata dessas quest~oes, ele n~ao se preo cupa em descrever a realidade que existe alem de nossas ob- servac~oes, mas ap enas em fornecer previs~oes sobre os re- sultados de medic~oes realizadas em diferentes situac~oes exp erimentais. Mas qual o signi cado do \estado" em Fsica Qu^antica? A esta quest~ao, cada interpretac~ao resp onde de maneira propria.
IX. Interpretac~oes do estado qu^antico
Vejamos agora diferentes maneiras de interpretar
um estado j >. Aproveitaremos para intro duzir
uma quarta grande corrente interpretativa da Fsica Qu^antica.
1) Interpretac~ao Ondulatoria. Interpreta j > de
maneira \literal", atribuindo realidade ao estado ou a func~ao de onda, e sem p ostular que exista nada alem do que descreve o formalismo qu^antico. Mas que especie de realidade e essa? N~ao e uma realidade \atualizada", que p ossamos observar diretamente. E uma realidade intermediaria, uma potencialidade, que estab elece ap e- nas probabilidades, mas que mesmo assim evolui no temp o como uma onda. (Essa noc~ao de p otencialidade tambem e usada p or prop onentes das vis~oes 3 e 4, a seguir.)
- Interpretac~ao da Dupla Soluc~ao. Considera que existam \variaveis o cultas" p or tras da descric~ao em termos de estados, variaveis essas que s~ao as p osic~oes e velo cidades das partculas. O estado exprimiria um camp o real que \guia" as partculas. Essa \onda pi- loto", p orem, n~ao carregaria energia, que se concentra- ria na partcula. A descric~ao atraves do estado qu^antico seria incompleta, so se completando com a intro duc~ao dos par^ametros o cultos.
- Interpretac~ao da Complementaridade. Con-
sidera que o estado j > e meramente uma instru-
mento matematico para realizar calculos e obter pre- vis~oes (esta vis~ao chama-se instrumentalismo). Porem, considera que o estado qu^antico seja a descric~ao mais \completa" de um ob jeto qu^antico individual. Em co- mum com a vis~ao 1, n~ao p ostula nada alem do forma- lismo.
- Interpretac~ao dos Coletivos Estatsticos. Essa e uma vis~ao que ainda n~ao discutimos, e que e proxima
a p osic~ao de Einstein sobre o assunto[20]^. O estado
j > seria uma descric~ao essencialmente estatstica, que
representa a media sobre to das as p osic~oes p ossveis da partcula. Em linguagem tecnica, o estado repre- senta um coletivo ou ensemble estatstico, asso ciado a um pro cedimento de preparac~ao exp erimental. As- sim, esta vis~ao considera que o estado qu^antico repre- senta uma descric~ao incompleta de um ob jeto indivi- dual. Porem, esta interpretac~ao n~ao entra em deta- lhes sobre como seria p ossvel completar a Mec^anica Qu^antica (ao contrario da vis~ao 2), ap esar de ela ser simpatica a um mo delo exclusivamente corpuscular da natureza. As interpretac~oes 1 e 2 s~ao vis~oes basicamente rea- listas, p ois consideram que as entidades dadas p ela Te- oria Qu^antica (como o estado qu^antico) corresp ondem a algo real na natureza, indep endentemente de serem observadas ou n~ao. A vis~ao 3 e positivista, p ois con- sidera que a teoria so consegue descrever aquilo que e observavel (existiria uma realidade indep endente do su- jeito, mas ela n~ao seria descritvel p ela teoria qu^antica). Como n~ao p o demos medir o estado de uma partcula (se n~ao soub ermos como foi preparada, nunca sab eremos seu estado qu^antico), ent~ao tal estado n~ao corresp on- deria a algo real. Quanto a vis~ao 4, ha uma tend^encia de seus defensores serem realistas.
X. Variando a fase de um comp onente
Voltemos agora para o interfer^ometro de Mach- Zeh- nder. Se um p edaco no de vidro fosse inserido no ca- minho A, o comp onente que o atravessa sofreria um deslo camento de fase. Isso o corre p orque no vidro a luz via ja a uma velo cidade mais baixa, resultando em um comprimento de onda menor. A esp essura e orientac~ao deste vidro p o dem ser escolhidas de forma que o des- locamento de fase seja, p or exemplo, de +=2. O que aconteceria neste caso? Fazendo um desenho analogo ao da Fig. 6, so que agora com o feixe A chegando em S 2 com uma fase relativa de += 4 ; v^e-se que a sup er- p osic~ao construtiva passa a acontecer nos comp onentes rumando para D 2 , e a destrutiva nos comp onentes indo para D 1 (basta imaginar que o trem de onda mais grosso que aparece na gura e deslo cado em 1/2 ciclo). De fato, se a defasagem intro duzida no comp onente A variar continuamente, obteremos uma variac~ao na
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caminho B (tornaremos esta a rmac~ao mais precisa na sec~ao XVI I I).
Figura 10. Fen^omeno corpuscular obtido a partir do inter- fer^ometro de Mach-Zehnder.
XI I. Dualidade onda-partcula: vers~ao forte
Estamos prontos para enunciar a vers~ao que Bohr deu para a dualidade onda-partcula, que chamaremos de \vers~ao forte": Um sistema qu^antico ou exibe as- pectos corpusculares (seguindo trajetorias bem de ni- das), ou aspectos ondulatorios (como a formac~ao de um padr~ao de interfer^encia), dependendo do arranjo expe- rimental, mas nunca ambos ao mesmo tempo. Essas palavras n~ao s~ao as de Bohr, mas expressam a sua noc~ao de que onda e partcula s~ao asp ectos mu- tuamente exclusivos, mas complementares, da natu- reza. Ou seja, para representar um ob jeto qu^antico como um eletron, ou um foton, p o demos encara-lo ou como partcula, para certas situac~oes exp erimentais, ou como onda, para outras situac~oes. Segundo Bohr, e im- p ossvel montar uma situac~ao exp erimental que exiba simultaneamente esses dois asp ectos da natureza (p or isso e que s~ao mutuamente exclusivos). Porem, so p o de- mos compreender um ob jeto qu^antico de maneira com- pleta quando levamos em conta esses dois asp ectos com- plementares. Para Bohr, essa situac~ao exprime uma limitac~ao fundamental que existe em nossa linguagem, e em nossa capacidade de representar pictoricamente o mundo. Nossa linguagem e adequada para descrever ob jetos macroscopicos, como um aparelho de medic~ao, e serve para nos comunicarmos com outros homens, p or exem- plo informando que obtivemos um determinado resul- tado exp erimental. Porem, atraves de nossa linguagem n~ao conseguimos representar um ob jeto qu^antico em
um \quadro unico": precisamos de descric~oes comple- mentares. Mas o \fen^omeno" que chamamos ondulatorio n~ao envolve a detecc~ao de fotons individuais, evidenciando a exist^encia de corp usculos indivisveis? Sim, mas vimos (sec~ao I I I) que, para Bohr, a detecc~ao de fotons indivi- duais e conseq u^encia da \indivisibilidade dos pro cessos at^omicos", e n~ao do princpio de complementaridade.
XI I I. \Fen^omenos" Intermediarios
Estudar a loso a de Niels Bohr e um assunto in- teressante e complicado, mas n~ao temos mais temp o de faz^e-lo aqui. Vale mencionar, p orem, um resultado que so foi claramente enunciado na literatura cient ca em 1979, em um trabalho de Wo otters & Zurek[21]^. Existem arranjos exp erimentais que corresp ondem a \fen^omenos" intermediarios entre onda e partcula. No caso do interfer^ometro de Mach-Zehnder (Fig. 5), tais fen^omenos surgem quando o esp elho semi-re etor S 2 passa a re etir mais do que a metade de um feixe in- cidente, ou re etir menos da metade (sem p orem re- etir tudo ou re etir nada, situac~oes que recairiam no fen^omeno corpuscular). Aqui n~ao e o lugar para explicarmos mais a fundo esses fen^omenos intermediarios. Vale ap enas dizer que, nesse tip o de exp erimento, p o demos dizer que a partcula rumou p or uma certa tra jetoria com uma pro- babilidade diferente de 0, de 1 (casos corpusculares), ou de 1/2 (caso ondulatorio, quando ha ap enas duas tra- jetorias p ossveis). Isso quer dizer que Bohr estava errado? N~ao exa- tamente. Ap esar de haver fen^omenos intermediarios, coisa na qual Bohr n~ao havia p ensado, cada um desses fen^omenos p ossui um par mutuamente exclusivo e com- plementar. Por exemplo, um fen^omeno 30% corpuscu- lar e 70% ondulatorio tem um fen^omeno complementar que e 70% corpuscular e 30% ondulatorio. Em suma, a dualidade se mantem, ap esar de ela n~ao se restringir ao par onda-partcula.
XIV. Medic~oes de tra jetoria e deco er^encia
Por que, em um fen^omeno ondulatorio como o da Fig. 5 (interfer^ometro de Mach-Zehnder), n~ao medi- mos p or onde passa o foton p or meio de um detector sup er sensvel, que n~ao provo ca dist urbio apreciavel no
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foton[22]^? Essa situac~ao esta representada na Fig. 11. A cada foton que entra no interfer^ometro, p o demos me- dir sua presenca no detector D 3 ou n~ao. Se medirmos, vemos que ele tomou o caminho A; se n~ao, inferimos que ele foi p or B. Temos assim conhecimento sobre a tra- jetoria do foton, e o fen^omeno e corpuscular. Mas se to- dos os fotons terminarem em D 1 , isso so p o de ser expli- cado atraves de um mo delo ondulatorio. Teramos as- sim violado a vers~ao forte da dualidade onda-partcula!? N~ao! O que acontece e que n~ao o corre mais inter- fer^encia apos S 2! Se o caminho tomado p elos fotons for medido, eles deixam de interferir como onda, e passam a ser detectados em D 1 (50%) e D 2 (50%)! Como as di- ferentes interpretac~oes que ja intro duzimos explicariam este acontecimento?
Figura 11. Medic~ao n~ao-destrutiva do caminho p elo qual ruma o foton.
(1) Interpretac~ao da Complementaridade. Um fen^omeno n~ao p o de ser ao mesmo temp o (100%) on- dulatorio e (100%) corpuscular. Quando medimos a p osic~ao do foton, o fen^omeno registrado e corpuscu- lar, e assim n~ao p o de mais haver interfer^encia. Nesta interpretac~ao, e costume esmiucar esta explicac~ao fa- zendo uso do princpio da incerteza. Ao medir a p osic~ao do foton, provo ca-se um dist urbio incontrolavel no seu momento, alterando o comprimento de onda asso ciado de maneira imprevisvel. Isso imp ede que ha ja sup er- p osic~ao em S 2. (2) Interpretac~ao da Dupla Soluc~ao. A presenca do detector D 3 , ligado em A, provo ca um dist urbio na fase do trem de onda que ruma p or A. A onda contnua que ruma p or A passa assim a ter uma fase diferente, des- conhecida, e assim n~ao p o demos prever que tip os de sup erp osic~ao o correr~ao apos S 2. (3) Interpretac~ao Ondulatoria. A maneira mais sim- ples de explicar o que acontece e fazer uso da noc~ao de
\colapso", que exploraremos na sec~ao seguinte. Sempre que uma medic~ao e realizada, e um resultado obtido, a onda , previamente espalhada, sofre uma reduc~ao s ubita, passando a se lo calizar proxima de onde ela foi detectada (formando um \pacote de onda" que parece uma partcula). Assim, se o detector D 3 registrar um foton, a onda some no caminho B ; se D 3 n~ao regis- trar nada, a onda some em A e passa a existir so em B. Schrodinger n~ao gostava deste tip o de explicac~ao envol- vendo colapsos, e neste caso p o deria usar a explicac~ao dada p elas outras interpretac~oes, que considera a in- tro duc~ao de fases aleatorias no trem de onda que ruma p or A. Acontece, p orem, que a noc~ao de colapso tera que ser usada para explicar o fen^omeno corpuscular da Fig. 10. Em suma, p o demos ressaltar que uma medic~ao pro- vo ca um dist urbio incontrolavel no ob jeto qu^antico, re- sultando em uma p erda de co er^encia das ondas envol- vidas, imp edindo a exist^encia de um padr~ao estavel de interfer^encia. A este pro cesso chamaremos decoer^encia. Notemos que tal deco er^encia p o deria o correr sem que a medic~ao em D 3 se completasse: bastaria existir um pro cesso de interac~ao com o ob jeto qu^antico (p or exem- plo, espalhamento p or outras partculas) que intro du- zisse um dist urbio para que surgissem fases aleatorias, provo cando deco er^encia. Por m, vale salientar que exp erimentos analogos ao de Mach-Zehnder, para partculas individuais, ja fo- ram realizados para eletrons e n^eutrons, com resultados qualitativamente id^enticos[23]^.
XV. Reduc~ao de estado e colapso
Ao mencionarmos como a interpretac~ao ondulatoria explicaria a deco er^encia resultante de uma medic~ao de p osic~ao, mencionamos que ela p o deria se utilizar da noc~ao de colapso. No caso visto, a explicac~ao p or meio de colapso n~ao era necessaria, mas agora vejamos um exemplo em que ela e. Considere simplesmente um \fen^omeno" corpuscu- lar como os das Figs. 9 e 10, no qual um foton incide no esp elho semi-re etor S 1 e e detectado ou em D 1 , ou em D 2. (1) Completada a medic~ao, a interpretac~ao da com- plementaridade chamaria este fen^omeno de corpuscular,
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XVI I. O que e resp onsavel p elo colapso?
Na discuss~ao feita na sec~ao XV, o colapso ou reduc~ao de estado e ocasionado pelo ato da medic~ao. Esta e uma ideia intro duzida p or Heisenb erg[27]^ , e desenvol- vida p or von Neumann, em sua interpretac~ao que mis- tura complementaridade com ondulatoria[8]^. Enquanto n~ao o corre uma medic~ao ou observac~ao, n~ao haveria co- lapsos! Aceitando que o ato de medic~ao e uma condic~ao su- ciente para haver colapso, somos levados a p erguntar o que caracteriza uma medic~ao, que estagio da medic~ao e a resp onsavel p elo colapso? Isso e as vezes chamado de \problema da medic~ao", e e uma das quest~oes mais debatidas nos Fundamentos da Mec^anica Qu^antica[28]^. Eis alguns candidatos a resp osta: (i) A consci^encia do observador[29]^. (ii) A ampli cac~ao e o resultante registro ma- croscopico[30]^. (iii) A mera interac~ao do ob jeto com os atomos do detector, antes da ampli cac~ao[31]. (iv) A interac~ao do ob jeto com o meio ambiente[32]^. A p osic~ao (i), a ideia de que e o observador cons- ciente que provo ca o colapso, tem sido bastante explo- rada em livros de divulgac~ao da Fsica Qu^antica para o grande p ublico. Ela e chamada de vis~ao subjetivista, p o dendo ser enquadrada na interpretac~ao ondulatoria (para a qual a noc~ao de colapso faz mais sentido) ou da complementaridade. Um exemplo dos paradoxos gerados p ela p osic~ao sub jetivista esta no famoso argumento do gato de Schrodinger[33]^. Adaptando-no um p ouco, considere que dentro de uma caixa fechada existe um gato e um arranjo de anti-correlac~ao (Fig. 9), com um esp e- lho semi-re etor S 1 p elo qual passa ap enas um foton. Se este terminasse caindo em D 1 , um \disp ositivo diabolico" mataria o gato, enquanto que este p erma- neceria vivo se o atomo terminasse em D 2. O estado do foton e dado p ela eq.(2), e devido a equac~ao de Schrodinger (que vale para sistemas fechados), o gato tambem terminaria em uma sup erp osic~ao semelhante ao da eq.(2), uma sup erp osic~ao de gato-vivo e gato- morto! Segundo a vis~ao sub jetivista, esta situac~ao pa- radoxal p erduraria ate que alguem nalmente olhasse para dentro da caixa, provo cando um colapso, e vendo um gato b em de nido (vivo ou morto). Esta soluc~ao
soa absurda p orque nossa noc~ao intuitiva de um ob jeto classico e que ele n~ao existe em tais sup erp osic~oes, e que seu estado macroscopico n~ao e afetado p elo ato de observac~ao. Ho je em dia a vis~ao sub jetivista tem p oucos adep- tos. Para resolver o paradoxo do gato, basta conside- rar que o pro cesso de ampli cac~ao - que o corre a par- tir do instante em que o atomo incide no detector - ja e uma condic~ao su ciente para haver colapso (p orem, talvez n~ao seja uma condic~ao necessaria). Outra ma- neira de sair do paradoxo e considerar que sistemas ma- croscopicos (como o gato) nunca se encontram isolados do ambiente externo, e assim a equac~ao de Schrodinger n~ao se aplicaria ao sistema dentro da caixa. Por outro lado, no dia em que for p ossvel isolar um grande n umero de partculas das ac~oes do ambi- ente, parece que sera p ossvel preparar \sup erp osic~oes macroscopicas", analogas ao gato de Schrodinger[34]^.
XVI I I. Interfer^ometro com pa giratoria
As^ vezes racio cinamos da seguinte forma (ver nal da sec~ao XI): \se n~ao sab emos qual e a tra jetoria, ent~ao o fen^omeno e ondulatorio e havera interfer^encia". Este racio cnio nem sempre funciona, mas ele p o de ser subs- titudo p or outro correto: \se em princpio for im- p ossvel distinguir as tra jetorias, ent~ao o fen^omeno sera ondulatorio e havera interfer^encia". Vejamos um exemplo. Imagine que uma pa giratoria e colo cada apos S 1 no interfer^ometro de Mach-Zehnder (Fig. 12), de forma que quando o comp onente A se propaga, o comp onente B e blo queado p ela pa, e vice- versa. Po deramos sup or tambem que a escolha de qual caminho blo quear num certo instante fosse aleatoria. Qual seria o comp ortamento dos fotons? E mais ou menos facil intuir que cada pulso chegara em S 2 ou p or A, ou p or B , e que p ortanto n~ao ha- vera interfer^encia; 50% das contagens ser~ao registradas em cada detector. No entanto, neste caso n~ao sabemos p or qual caminho a partcula veio. Costuma-se a rmar, p orem, que em princpio p o deramos descobrir o cami- nho. Como fazer sentido desta a rmac~ao, no contexto p ositivista da interpretac~ao da complementaridade? Uma sada e considerar que e p ossvel fazer uma \medic~ao classica" da p osic~ao da pa, no instante que quisermos. Tal medic~ao classica seria caracterizada
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p elo fato da medic~ao n~ao provo car nenhum dist urbio no estado qu^antico da luz. Po der-se-ia determinar a p osic~ao da pa atraves de um t^enue feixe de luz ilumi- nado em algum p onto da pa (longe do feixe do inter- fer^ometro).
Figura 12. Interfer^ometro com uma pa giratoria.
XIX. Exp erimento de escolha demorada
Ao estudarmos o interfer^ometro de Mach-Zehnder, vimos que a unica diferenca entre os fen^omenos ondu- latorio e corpuscular que descrevemos (Figs. 5 e 10) e a presenca ou n~ao do esp elho semi-re etor S 2. Ate que instante o cientista p o de escolher entre deixar ou retirar S 2 , de forma a fazer o fen^omeno ser ondulatorio ou corpuscular? Po de ele esp erar o foton passar p elo primeiro esp elho semi-re etor (S 1 ) para ent~ao escolher qual fen^omeno vai acontecer? Sim! Tal escolha p o de ser feita ate o instante em que o pacote de onda asso ciado ao foton chega a S 2. Vamos agora ent~ao examinar algumas conseq u^encias deste experimento de escolha demorada para as diferen- tes interpretac~oes que ja conhecemos[35]^. Para tanto, consideremos alguns instantes temp orais ao longo do p ercurso do foton, na montagem da Fig. 13. No ins- tante t 1 , o foton incide em S 1 ; em t 2 , ele se encontra dentro do interfer^ometro; em t 3 ele passa p ela p osic~ao do esp elho semi-re etor S 2 ; em t 4 ele se aproxima do detector; em t 5 ele gera um sinal macroscopico no osci- loscopio. O que diz a interpretac~ao da complementaridade no instante t 2 , quando o foton esta dentro do inter-
fer^ometro? Nada! N~ao se p o de dizer nem que o ob- jeto qu^antico e onda, nem que ele e partcula. So no instante t 3 , dep endendo de se o esp elho S 2 estiver co- lo cado ou n~ao, e que o correra interfer^encia ou n~ao. A rigor, so quando o \fen^omeno" se completa, e um re- gistro macroscopico e obtido no aparelho de medic~ao, no instante t 5 , e que se p o de dizer qual e o fen^omeno (onda ou partcula), e que se p o de dizer o que estava acontecendo no passado, no instante t 2!
Figura 13. Desenho do interfer^ometro no qual est~ao indica- dos diferentes instantes temp orais.
Que estranho! No mundo da Fsica Qu^antica, se- gundo a interpretac~ao da complementaridade, p o de acontecer de o passado se atualizar no presente! Essa propriedade estranha n~ao surge nas interpretac~oes rea- listas. De acordo com a interpretac~ao ondulatoria, em t 2 o pacote de onda se divide em duas p osic~oes (no ca- minho A e no B ); o que o corre no futuro (em t 3 ) em nada afeta a realidade em t 2. O mesmo o corre com a interpretac~ao da dupla soluc~ao. Quanta Filoso a! Mas este artigo n~ao era de Fsica? Pois e, acreditamos que para entender a Fsica Qu^antica ho je em dia e preciso tecer considerac~oes loso cas, e levar em conta que existem diferentes interpretac~oes, to das consistentes e adequadas para descrever os fatos observados, mas to das com certas \anomalias" concei- tuais insup eraveis. Acabamos de ver uma anomalia da interpretac~ao orto doxa. A Tab ela 1 resume como cada uma das tr^es inter- pretac~oes que examinamos descreve esse exp erimento de escolha demorada.
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inicial n~ao for p olarizado, ou, para simpli car nosso ra- cio cnio, estiver preparado com uma p olarizac~ao linear a 45 o^ , ent~ao 50% do feixe caira no detector D 1 , 50% em D 2.
Figura 14. (a) A luz n~ao passa p or p olarizadores ortogonais (0o e 90 o ). (b) Mas 1/4 do feixe passa quando um a 45 o for inserido.
Po demos neste caso considerar o fen^omeno corpus- cular? Bem, e verdade que com a montagem da Fig. 15 n~ao p o demos determinar tra jetorias, mas p o deramos determina-las, em princpio, mo di cando ap enas os de- tectores. Por exemplo, p o der-se-ia substituir cada de- tector p or um \prisma birrefringente" seguido de dois detectores (um para cada comp onente ortogonalmente p olarizado saindo do prisma). Assim, o fen^omeno da Fig. 15 e considerado corpuscular p ela interpretac~ao da complementaridade.
Figura 15. Interfer^ometro com p olarizadores ortogonais (0o e 90 o ) n~ao exib e interfer^encia em S 2.
Porem, lembremos que um fen^omeno so se estab e- lece quando a medic~ao se completa. Por exemplo, se, antes dos feixes p olarizados passarem p or S 2 , ltros p o- larizados P 3 e P 4 orientados a 45 o^ forem inseridos nos caminhos dos comp onentes A e B (uma \escolha de- morada", como o da sec~ao anterior), as sup erp osic~oes construtiva e destrutiva voltam a o correr (Fig. 16)!
To dos os fotons transmitidos ser~ao detectados em D 1 , nenhum em D 2! Um exp erimento de escolha demorada mais radical p o de ser feito inserindo-se os p olarizadores n~ao antes de S 2 , mas dep ois (Fig. 17)! Neste caso, se P 3 e P 4 es- tiverem orientados a 45 o^ , o fen^omeno sera ondulatorio, de acordo com a interpretac~ao da complementaridade! Cada foton atingira D 1 , nenhum D 2! Se o comp onente A tiver um defasador que mo di ca progressivamente a fase relativa , obteremos um padr~ao de interfer^encia em cos^2 (como o da Fig. 8). E instrutivo analisar os exp erimentos das Figs. 16 e 17 usando a interpretac~ao ondulatoria. No primeiro, o corre de fato sup erp osic~oes construtiva e destrutiva em S 2 ; no segundo, n~ao o corre sup erp osic~ao destrutiva, mas o feixe orientado a 135 o^ que ruma para D 2 acaba sendo totalmente blo queado p or P 4 (que esta orientado a 45 o^ ).
Figura 16. A interfer^encia retorna ao intro duzir p olarizado- res a 45 o antes de S 2.
Figura 17. Fen^omeno ondulatorio ao se colo carem p olariza- dores a 45 o dep ois de S 2.
Diversas mo di cac~oes do arranjo exp erimental (p or exemplo, mo di cando-se as orientac~oes de P 3 e P 4 ) p o- dem ser exploradas p elo leitor.
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XXI. Princpio de incerteza
Na sec~ao IV mencionamos que muitos fen^omenos tipicamente qu^anticos p o dem ser entendidos como efei- tos da Fsica Ondulatoria Classica no regime de baixas intensidades (quando asp ectos corpusculares tornam-se imp ortantes). O \princpio de incerteza" e um exem- plo disto. Na Fsica de Ondas Classica, p o de-se de nir uma onda contnua de comprimento de onda b em de- nido - ou, para facilitar, n umero de onda k 0 = 1 = b em de nido -, mas neste caso n~ao se p o de asso ciar nenhuma p osic~ao x a onda (Fig. 18a). Por outro lado, e p ossvel descrever um pulso mais ou menos b em lo calizado sup erp ondo-se ondas contnuas de n umeros de onda proximos, formando um \pacote de onda" no espaco de p osic~oes x (Fig. 18b). Nota-se que o pulso exib e ao mesmo temp o uma resoluc~ao espacial x e uma largura de banda k 0 apreciaveis. En m, e p ossvel tornar o pulso cada vez mais b em lo calizado em torno de um valor b em de nido de x, sup erp ondo-se ondas contnuas de uma faixa cada vez mais larga de valores de k 0 (Fig. 18c).
Figura 18. A amplitude de qualquer onda p o de ser descrita no espaco dos x ou no espaco dos k 0. Nota-se p orem que quanto maior x, menor o k 0 , e vice-versa.
Essas considerac~oes sugerem que quanto menor for a resoluc~ao espacial x, maior sera a largura de banda k 0 do pacote de onda. De fato, mostra-se que essas
indeterminac~oes ob edecem a relac~ao x k 0 1. Ana-
logamente, para o instante t em que um pulso classico passa p or um p onto e para sua freq u^encia , temos
t 1 :
A extens~ao dessas relac~oes para o regime qu^antico p o de ser feita simplesmente usando as eqs.(1), E = h e p = h=. As seguintes relac~oes de incerteza, derivadas p ela primeira vez p or Heisenb erg[26]^ em 1927, colo cam um limite inferior para o pro duto das indeterminac~oes:
x px h e t E h : (3)
Pares de grandezas como p osic~ao x e (comp onente x do) momento px , ou como temp o t e energia E , s~ao ditos incompatveis. O que signi cam estas relac~oes? Concentremo-nos na relac~ao envolvendo p osic~ao e momento[36] , que para partculas com massa, como o eletron (para as quais p = mV ), envolve as grandezas p osic~ao e velo cidade. Novamente temos que considerar cada interpretac~ao se- paradamente. (1) Interpretac~ao Ondulatoria. Atribuindo uma re- alidade ap enas para o pacote de onda (sem p ostular a exist^encia de partculas p ontuais), x mede a extens~ao do pacote, indicando que a p osic~ao x do ob jeto qu^antico e indeterminada ou mal de nida p or uma quantidade x. As eqs.(3) exprimem assim um princpio de inde- terminac~ao: se x for b em de nido, px e mal de nido, e vice-versa. (2) Interpretac~ao da Dupla Soluc~ao. Segundo esta vis~ao, a partcula tem sempre x e px b em de nidos si- multaneamente, so que tais valores s~ao desconhecidos. Se medirmos x com b oa resoluc~ao, temos necessaria- mente uma incerteza ou desconhecimento grande para px , p ois a medic~ao de x p or um aparelho macroscopico provo ca um dist urbio incontrolavel no valor de px^ [10]^. (3) Interpretac~ao da Complementaridade. Vimos que e imp ossvel um fen^omeno ser (100%) corpuscu- lar e (100%) ondulatorio ao mesmo temp o. De ma- neira analoga, e imp ossvel medir simultaneamente x e px com resoluc~oes menores do que x e px dados p ela eq.(3). Esta tese parece correta, ap esar da inter- pretac~ao 4, a seguir, nega-la. Curiosamente, o argumento original de Heisenb erg para justi car as relac~oes de incerteza, p or meio de um microscopio de raios gama, p o de ser enquadrado na in- terpretac~ao 2 (sendo p or isso as vezes chamado de ar- gumento \semi-classico"). Mas como ele defendia uma tese positivista, segundo a qual so tem realidade aquilo que e observavel, ele p^ode concluir neste caso que \n~ao tem sentido" falar em uma partcula com momento b em de nido. (4) Interpretac~ao dos Coletivos Estatsticos. Al- guns prop onentes desta vis~ao, apresentada na sec~ao IX, a rmam que e p ossvel medir simultaneamente x
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escolher uma unica interpretac~ao do formalismo, pro cu- ramos mostrar que e didaticamente vanta joso apresen- tar diferentes interpretac~oes. Cada uma delas e inter- namente consistente, mas cada qual apresenta alguma anomalia ou asp ecto contra-intuitivo. Este \relativismo" entre interpretac~oes parece es- tar ligado a uma propriedade imp ortante do forma- lismo qu^antico, segundo a qual p o de-se descrever uma situac~ao dentro de diferentes \representac~oes", como as de p osic~ao ou de momento: (r ) ou (p). Outro nvel de representac~ao envolve a \descric~ao de Schrodinger", onde os estados evoluem no temp o mas os observaveis n~ao, e a equivalente \descric~ao de Heisenb erg", onde o corre o contrario. Essa propriedade de simetria de representac~ao[40]^ talvez p ossa explicar p or que existem tantas interpretac~oes consistentes da Teoria Qu^antica, e talvez justi que uma ab ordagem didatica que colo que diferentes interpretac~oes lado a lado, desde o incio. Este artigo deixou algumas quest~oes imp ortantes de lado. Em primeiro lugar, n~ao exploramos sistemas liga- dos, como o atomo, dentro da ab ordagem de considerar sistemas qu^anticos como a Fsica de Ondas para regimes de baixa intensidade. Outro asp ecto imp ortante que n~ao p^ode ser explicitado e a n~ao- localidade, mencionada na sec~ao XV. E um terceiro tema imp ortante que me- rece ser tratado didaticamente e a estatstica qu^antica que descreve sistemas de muitas partculas id^enticas.
Agradecimentos
Este trabalho foi nanciado p or uma b olsa de Pes- quisador Asso ciado do CNPq, area de Ensino. Ele con- densa as notas do curso ministrado na Estac~ao Ci^encia, em S~ao Paulo, em marco do ano passado[1]^. Agradeco naturalmente os alunos deste e de outros cursos se- melhantes que ministrei, assim como a interac~ao e co- mentarios de Carlos Escobar, Luiz Carlos Ry , Olival Freire Jr., Amelia Imperio-Hamburger, Maria Beatriz Fagundes e Slvio Chib eni.
Refer^encias
- Isso e feito nas notas de aula de um curso de extens~ao universitaria ministrado p elo autor (em colab orac~ao com Maria Beatriz Fagundes) na
Estac~ao Ci^encia, em marco do ano pas- sado. PESSOA JR., O., Ondas e Qu^antica: In- troduc~ao Conceitual a Fsica Qu^antica, Estac~ao Ci^encia, S~ao Paulo, 1996.
- Para uma resenha historica desses exp erimentos de interferometria com a luz, ver as pp. 294- de PIPKIN, F.M., \Atomic physics tests of the basic concepts in quantum mechanics", Advan- ces in Atomic and Molecular Physics 14 , 281- (1978). Para eletrons, utiliza-se ao inves de duas fendas um simples o carregado, que age como um biprisma de eletrons. O exp erimento original de Mollenstedt & D uker (1954) esta descrito em NEWTON, R.E.I., Wave Physics, Arnold, Lon- dres, 1990, p. 290.
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- Esta n~ao e a de nic~ao de \auto-estado", e a a rmac~ao que foi feita so vale para uma classe restrita de medic~oes. Ver p or exemplo: PESSOA JR., O., \Simple realizations of generalized mea- surements in quantum mechanics", Found. Phys. Lett. 7 , 447 (1994).
- Formulada inicialmente p or Slater (1929) e de- fendida p or gente ilustre como Kemble, Marge- nau, Blokhintsev, Popp er e Lande, esta vis~ao tem sido adotada em varios livros-texto de Mec^anica Qu^antica, esp ecialmente apos o artigo de BAL- LENTINE, L.E., \The statistical interpretation of quantum mechanics", Rev. Mo d. Phys. 42 , 358 (1970). Para uma avaliac~ao dos meritos didaticos desta ab ordagem, ver AGRA, J.T.N. & PESSOA JR., O., \Mec^anica qu^antica sem dualidade nem colapsos: ha vantagens didaticas na interpretac~ao estatstica de Ballentine?", in NARDI, R. (org.), X Simposio Nacional de Ensino de Fsica: \Tempo de Avaliac~ao" - Atas, So ciedade Brasileira de Fsica, Londrina, 1993, pp. 204-8.
- WOOTTERS, W.K. & ZUREK, W.H., \Comple- mentarity in the double-slit exp eriment: quantum non-separability and a quantitative statement of Bohr's principle", Phys. Rev. D 19 , 473 (1979). (Repro duzido in WHEELER & ZUREK, op. cit., nota 10, pp. 443-54.)
- Tal detector de \n~ao-demolic~ao" para medir n umero de fotons esta sendo desenvolvido usando uma \celula de Kerr". Este disp ositivo n~ao-linear e inserido em um dos bracos do interfer^ometro, e seu ndice de refrac~ao varia com a intensidade do feixe luminoso. Um outro feixe, de prova,
