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Nesta aula, aprenderemos a utilizar tabelas de verdade para avaliar proposições moleculares, após ter visto as definições semânticas dos conectivos lógicos e dos quantificadores. Encontraremos o conceito de valorações, que é uma forma de avaliar proposições moleculares a partir de suas proposições atômicas. A lógica de predicados se baseia no princípio de que a valoração de uma proposição molecular é determinada unicamente pelas valorações de suas proposições atômicas.
Tipologia: Provas
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Apresentar tabelas de verdade para classificar proposições lógicas.
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Aplicar valorações de um conjunto de proposiçoes moleculares; Usar tabelas de verdade para avaliar as possíveis valorações de um con- junto de proposições moleculares.
Aula-02 os conhecimentos da se- mântica da Linguagem da Lógica de Predicados.
Valorações e Tabelas de Verdade
Caro aluno, na aula anterior, vimos as definições semânticas dos conectivos lógicos e dos quantificadores. Hoje, continuaremos ainda que em ritmo de valsa, a navegar no mar da Lógica Mate- mática aproveitando o passeio para conhecê-la melhor. Nesta aula, conceituaremos valorações que é uma das formas de se avaliar as proposições moleculares. Esperamos que o pré-requisito solicitado seja realizado, pois ele facilitará a compreensão e o bom andamento de nossa aula.
Valorações constituem-se em uma das formas de se avaliar uma proposição molecular a partir de suas proposições atômicas. Para compreendermos melhor, iniciaremos pela definição:
Definição 3.1. Seja Γ = {α 1 ,... , αn} um conjunto com n proposi- ções atômicas. Definimos uma valoração sobre Γ como uma função v : Γ → { 0 , 1 }.
OBS 3.1. Uma valoração é uma função que associa a cada uma das proposições de um conjunto de proposições um de dois valores de verdade 0 para falso e 1 para verdade.
Exemplo 3.1. Como exemplo podemos tomar Γ = {α, β, γ} uma possível valoração é v : Γ → { 0 , 1 } dada por:
v(α) = 1, v(β) = 0, v(γ) = 0
.
Valorações e Tabelas de Verdade
A partir de agora, caro aluno, podemos definir como calcular uma valoração de uma proposição molecular a partir da valoração de suas proposições atômicas. Para isto, usaremos a definição que representa a semântica dos conectivos lógicos.
Definição 3.2. Sejam α e β proposições atômicas e v : {α, β} → { 0 , 1 } uma valoração então:
Dada uma proposição molecular podemos especular sobre quais os possíveis valores de verdade que ela pode ter para uma deter- minada valoração de seus átomos. Mais ainda, podemos especular sobre os valores de verdade que ela pode ter para todas as possí- veis valorações de seus átomos. Podemos reunir todas as possíveis valorações de uma proposição molecular em uma tabela, a qual denominamos de TABELA DE VERDADE. Os possíveis va- lores para uma proposição molecular, como vocês já sabem, são dois: falso 0 e verdadeiro 1. Desta forma, o número de todas as
Fundamentos da Matemática: Livro 1
possíveis combinações de valores de verdade para um conjunto de n proposições atômicas é 2 n.
OBS 3.3. Cada linha de uma tabela de verdade é denominada uma instância ou simplesmente uma valoração.
Um conceito muito útil ao se manipular proposições moleculares é o de subfórmula, que entre outras coisas serve para criação de tabela de verdade. Vamos à definição:
Definição 3.3. Uma subfórmula é definida pelas seguintes regras:
Vejamos a seguir como o conceito de subfórmula pode ser usado na elaboração de um algoritmo para criar a tabela de verdade de uma proposição molecular. Vamos ao algoritmo para construção da tabela de verdade de uma proposição α molecular.
Passo 1 Contar o número n de símbolos proposicionais.
Passo 2 Montar uma tabela com 2 n^ linhas e tantas colunas, quan- tas forem as subfórmulas da proposição α.
Fundamentos da Matemática: Livro 1
Onde, o conectivo ¬ negação é o mais fraco, tem prioridade mais baixa. Os conectivos ∧ conjunção e ∨ disjunção vem a seguir com mesmo nível de prioridade, seguidos da → implicação e ↔ dupla implicação, que têm a maior prioridade, sendo os conectivos mais fortes.
Desta forma, a proposição (α → (β ∧ γ)) pode dispensar o par de parênteses externos e passar a forma α → (β ∧ γ) que por sua vez, como a implicação → tem prioridade sobre a conjunção ∧, o par de parênteses restante pode ser também dispensado. E a proposição toma, sem ambigüidade, a forma final α → β ∧ γ. A propósito, tomaremos esta proposição para exemplificar o algoritmo da tabela de verdade. Primeiramente vemos que α → β ∧ γ tem três átomos. A saber, α, β e γ, o que nos dá 23 = 8 linhas na tabela de verdade e como as subfórmulas são: α, β, γ, β ∧ γ e α → β ∧ γ teremos 5 colunas na tabela de verdade. Na coluna referente ao átomo α alternamos 10101010, na coluna referente ao átomo β alternamos 11001100 e na coluna referente ao átomo γ alternamos 11110000, construindo a tabela 3..
Finalmente, completamos as colunas restantes (tabela 3.2) usando a semântica dos conectivos lógicos aplicada a cada uma das subfórmulas restantes. A saber:
Valorações e Tabelas de Verdade
Tabela 3.1: Proposição α → β ∧ γ.
Você já pensou na possibilidade de que uma proposição mo- lecular possa ser verdadeira independente de quais os valores de verdade de suas proposições atômicas componentes? Se você res- pondeu que já, você acabou de antecipar um conceito importante TAUTOLOGIA. Para oficializar vamos à definição.
Definição 3.4. Uma fórmula molecular é dita uma tautologia, denotada , somente se seu valor de verdade for 1 verdade, para qualquer combinação de valor de verdade de seus átomos.
A contrapartida da TAUTOLOGIA é a CONTRADIÇÃO que é falsa independentemete dos valores de verdade de suas proposi- ções atômicas componentes. Vamos à definição.
Definição 3.5. Uma fórmula molecular é dita uma contradição, denotada ⊥, somente se seu valor de verdade for 0 falso, para qualquer combinação de valor de verdade de seus átomos.
Valorações e Tabelas de Verdade
Caro aluno, por hoje é só. Faremos um pequeno resumo do assunto exposto nesta aula e propomos algumas atividades de reforço. As referências bibliográficas fornecem material adicional de consulta, caso você queira aprofundar-se mais sobre o conteúdo abordado na aula de hoje.
Embora as valorações forneçam um modo elegante de definir a semântica de proposições, as tabelas de verdade constituem um método mais prático e visual de, também, definir a semântica de proposições moleculares.
Começamos definindo o conceito de valoração. A saber: Definição: Seja Γ = {α 1 ,... , αn} um conjunto com n proposições atômicas. Definimos uma valoração sobre Γ como uma função v : Γ → { 0 , 1 }. Em seguida, vimos um tipo particular de álgebra definida sobre o conjunto B = { 0 , 1 } de valores de verdade, conhecida como álgebra de Boole, e composta de três operações: uma soma, um produto e um complementar, resumidos nas tabelas:
Vimos que a álgebra de Boole permite definir de modo elegante e conciso, a semântica dos conectivos lógicos, dada por:
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Definição: Se α e β são proposições atômicas e v : {α, β} → { 0 , 1 } uma valoração então, a semântica para os conectivos lógicos fica definida pelas valorações v(α) e v(β), das proposições α e β, respectivamente, por:
Que, para traçar a tabela de verdade, que resume todas as possí- veis valorações de uma proposição molecular, é útil o conceito de subfórmula: Definição: Uma subfórmula é definida pelas seguintes regras:
Que para traçar uma tabela de verdade para uma proposição mole- cular usamos o seguinte algoritmo:
Fundamentos da Matemática: Livro 1
Comentário: Reveja o algoritmo e exemplo da seção 3.4.
ATIV. 3.2. Verifique se cada uma das proposições moleculares abaixo são tautologia, contradição ou contingência:
Comentário: Use a tabela de verdade para cada uma das proposi- ções. Reveja o algoritmo e exemplo da seção 3.
MORTARI, Cezar Augusto. Introdução à Lógica. Editora UNESP. São Paulo. 2001. GASPAR, Marisa. Introdução à Lógica Matemática. Disponível em: http:// mjgaspar.sites.uol.com.br/logica/logica. Acessado em 13/01/ ABAR, Celina. Noções de Lógica Matemática. Disponível em: http://www. pucsp.br/∼logica/. Acessado em 13/01/
