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Unidade 1 – No¸c˜oes de L´ogica
Defini¸c˜ao. Uma proposi¸c˜ao ´e uma senten¸ca declarativa `a qual se pode atribuir o valor verdade verdadeiro ou falso.
Exemplos. 1) S˜ao proposi¸c˜oes as seguintes senten¸cas:
Buenos Aires ´e a capital do Brasil (proposi¸c˜ao falsa)
2 + 3 = 5 (proposi¸c˜ao verdadeira) 4 < 1 (proposi¸c˜ao falsa)
- N˜ao s˜ao proposi¸c˜oes:
Que horas s˜ao? Leia com cuidado.
x + 3 = 5 (esta senten¸ca n˜ao ´e verdadeira nem falsa. Se atribuirmos um valor a x afirma¸c˜ao vai ser tornar verdadeira ou falsa).
Constru¸c˜ao de novas proposi¸c˜oes a partir de outras
Podemos definir novas proposi¸c˜oes a partir de proposi¸c˜oes conhecidas usando conetivos ou operadores l´ogicos.
Defini¸c˜ao. Se p for uma proposi¸c˜ao, denotamos por ¬p a sua nega¸c˜ao. Tamb´em s˜ao usados os s´ımbolos ∼ p e ¯p.
Exemplo. p : Buenos Aires ´e a capital do Brasil
¬p : Buenos Aires n˜ao ´e a capital do Brasil
q : 2 + 3 = 5
¬q : 2 + 3 ̸= 5
Tabela verdade da nega¸c˜ao: Temos
Se p for verdadeira, ent˜ao ¬p ´e falsa.
Se p for falsa, ent˜ao ¬p ´e verdadeira.
A tabela ao lado expressa isso.
p ¬p
V F F V
Defini¸c˜ao. Se p e q s˜ao proposi¸c˜oes, a conjun¸c˜ao de p e q ´e a proposi¸c˜ao p ∧ q (lˆe-se “p e q”) definida pela tabela abaixo.
p q p ∧ q
V V V V F F F V F F F F
Defini¸c˜ao. Se p e q s˜ao proposi¸c˜oes, a disjun¸c˜ao de p e q ´e a proposi¸c˜ao p ∨ q (lˆe-se “p ou q”) definida pela tabela abaixo.
p q p ∨ q
V V V V F V F V V F F F
Observa¸c˜ao importante: Em portuguˆes existem duas formas diferentes de “ou”, o “ou” inclusivo e o “ou” n˜ao inclusivo (exclusivo):
- Por exemplo, na proposi¸c˜ao “Os alunos aprovados em C´alculo ou Matem´atica Discreta podem se candidatar a uma monitoria” est´a impl´ıcito que os alunos aprovados nas duas disciplinas podem se candidatar a uma monitoria. Trata-se de “ou” inclusivo.
O “ou” de p ∨ q ´e o “ou inclusivo” e p ∨ q ´e verdadeira quando pelo menos uma das duas proposi¸c˜oes for verdadeira.
- O “ou” exclusivo ´e aquele que ´e verdadeiro quando vale uma e apenas uma das duas proposi¸c˜oes que o comp˜oe.
Exemplos:
a) O freguˆes tem direito a escolher sopa ou salada para acompanhar seu almo¸co. b) Vou usar minhas economias para comprar um carro ou fazer uma viagem.
Nesses exemplos est´a impl´ıcito que uma possibilidade exclui a outra.
Dadas duas proposi¸c˜oes p e q, a partir delas pode ser constru´ıda a proposi¸c˜ao p ⊕ q, “p ou q” com “ou” em sentido exclusivo. p ⊕ q ´e verdadeira quando uma e somente uma das componentes p e q for verdadeira. Ao lado est´a a tabela verdade de p ⊕ q.
p q p ⊕ q
V V F V F V F V V F F F
Defini¸c˜ao. Se p e q s˜ao proposi¸c˜oes, a condi¸c˜ao de p para q ´e a proposi¸c˜ao p → q que lˆe-se “Se p, ent˜ao q”.
Exemplo. Se p : Maria aprende Matem´atica Discreta.
q : Maria vai conseguir um bom emprego.
Temos que
p → q : Se Maria aprender Matem´atica Discreta, ent˜ao vai conseguir um bom emprego.
Tabela verdade de p → q:
p q p → q
V V V V F F F V V F F V
A condic˜ao p → q s´o ´e falsa numa situa¸c˜ao: quando p ´e verdadeira e q ´e falsa. Por exemplo, para p : Est´a chovendo q : Levo guarda-chuva p → q: Se estiver chovendo, levo guarda-chuva Quando a proposi¸c˜ao p → q ´e verdadeira? Se estiver chovendo, a proposi¸c˜ao afirma que levo guarda- chuva, q tem que ser verdadeira. Agora, se n˜ao estiver chovendo, a proposi¸c˜ao n˜ao afirma nada quanto a levar guarda-chuva. Ou seja, se p for falsa, ´e irrelevante se q ´e verdadeira ou falsa.
Note que p → q pode ser lida como “p somente se q”. De fato, se ¬q, ent˜ao p n˜ao pode valer.
A condi¸c˜ao q → p pode ser lida como “p, se q”.
Por isso, a proposi¸c˜ao (p → q) ∧ (q → p) costuma ser lida como “p se e somente se q”.
p q p → q q → p p ←→ q
V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V
Exerc´ıcio resolvido. Construa a tabela verdade da proposi¸c˜ao (p ∨ ¬q) → (p ∧ q).
Solu¸c˜ao: p q ¬q p ∨ ¬q p ∧ q (p ∨ ¬q) → (p ∧ q)
V V F V V V V F V V F F F V F F F V F F V V F F
Precedˆencia. Numa proposi¸c˜ao envolvendo v´arios conetivos, em que ordem eles devem ser aplicados? As regras s˜ao as seguintes:
- A nega¸c˜ao ´e aplicada antes de quaisquer outros operadores l´ogicos. Por exemplo, ¬p ∧ q significa (¬p) ∧ q e n˜ao ¬(p ∧ q). Em geral operadores un´arios (que se aplicam a uma s´o proposi¸c˜ao) tˆem precedˆencia sobre operadores bin´arios (que se aplicam a duas proposi¸c˜oes).
- Conjun¸c˜ao tem precedˆencia sobre disjun¸c˜ao. Por exemplo, p ∨ q ∧ r significa p ∨ (q ∧ r). Apesar disso, preferencialmente usaremos os parˆenteses nesse caso para evitar ambigui- dade.
- → e ←→ tˆem precedˆencia menor do que ∧ e ∨. Por exemplo, p → q ∨ r significa p → (q ∨ r).
Defini¸c˜ao. Uma tautologia ´e uma proposi¸c˜ao composta que ´e sempre verdadeira, independen- temente dos valores l´ogicos de suas componentes.
Defini¸c˜ao. Uma contradi¸c˜ao ´e uma proposi¸c˜ao composta que ´e sempre falsa, independente- mente dos valores l´ogicos de suas componentes.
Defini¸c˜ao. Uma contingˆencia ´e uma proposi¸c˜ao composta que n˜ao ´e tautologia nem con- tradi¸c˜ao.
Exemplos. p ∨ ¬p ´e uma tautologia.
p ∧ ¬p ´e uma contradi¸c˜ao.
p → q ´e uma contingˆencia.
Equivalˆencia l´ogica. Duas proposi¸c˜oes compostas p e q s˜ao logicamente equivalentes (isso foi definido acima) se p ←→ q for uma tautologia.
Nota¸c˜ao. p ⇐⇒ q significa que p e q s˜ao logicamente equivalentes. Em alguns textos, a equivalˆencia l´ogica ´e denotada por p ≡ q.
Observe que existe uma diferen¸ca entre os s´ımbolos ←→ e ⇐⇒.
p ←→ q ´e uma proposi¸c˜ao. J´a p ⇐⇒ q n˜ao ´e uma proposi¸c˜ao, ´e uma rela¸c˜ao entre as proposi¸c˜oes p e q, afirmando que “p e q tˆem a propriedade que p ←→ q ´e uma tautologia”. Existem v´arias vantagens em se mostrar que duas proposi¸c˜oes s˜ao logicamente equivalentes, principalmente se uma for “mais f´acil” que a outra, j´a que ent˜ao poderemos substituir a “mais dif´ıcil” pela “mais f´acil”. Para mostrar que duas proposi¸c˜oes s˜ao equivalentes temos duas alternativas bem eficientes: uma ´e usar a tabela verdade, o que pode ser bem trabalhoso, e a outra ´e usar propriedades dos conetivos. A seguir apresentamos uma lista das principais propriedades dos conetivos b´asicos: nega¸c˜ao, conju¸c˜ao e disjun¸c˜ao.
Sejam p, q e r proposi¸c˜oes, V uma tautologia (uma proposi¸c˜ao que ´e sempre verdadeira) e F uma contradi¸c˜ao (uma proposi¸c˜ao que ´e sempre falsa). As seguintes propriedades s˜ao v´alidas:
- Idempotˆencia: p ∨ p ⇐⇒ p e p ∧ p ⇐⇒ p
- Comutatividade: p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p e p ∧ q ⇐⇒ q ∧ p
- Associatividade: p ∨ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ r e p ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∧ r
- Distributividade: p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) e p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- Identidades: p ∨ V ⇐⇒ V e p ∧ F ⇐⇒ F p ∧ V ⇐⇒ p e p ∨ F ⇐⇒ p
- Complementares: p ∨ ¬p ⇐⇒ V e p ∧ ¬p ⇐⇒ F
- Dupla nega¸c˜ao : ¬(¬p) ⇐⇒ p
- Absor¸c˜ao: p ∧ (p ∨ q) ⇐⇒ p e p ∨ (p ∧ q) ⇐⇒ p
- Leis de De Morgan: ¬(p ∨ q) ⇐⇒ ¬p ∧ ¬q ¬(p ∧ q) ⇐⇒ ¬p ∨ ¬q
Todas essas propriedades podem ser provadas usando tabelas-verdade. Exemplificamos com
Leis de De Morgan: ¬(p ∨ q) ⇐⇒ ¬p ∧ ¬q
¬(p ∧ q) ⇐⇒ ¬p ∨ ¬q
Para provar a primeira dessas leis, constru´ımos uma tabela verdade.
¬(p ∨ (¬p ∧ q))
(9) ⇐⇒ ¬p ∧ ¬(¬p ∧ q)
(9) ⇐⇒ ¬p ∧ (¬¬p ∨ ¬q)
(7) ⇐⇒ ¬p ∧ (p ∨ ¬q) (4) ⇐⇒ (¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧ ¬q) (6) ⇐⇒ F ∨ (¬p ∧ ¬q) (5) ⇐⇒ ¬p ∧ ¬q.
onde F ´e um proposi¸c˜ao composta que ´e sempre falsa (contradi¸c˜ao).
Observa¸c˜ao. Assim como existem dois s´ımbolos ←→ e ⇐⇒ com significados diferentes, acontece o mesmo com → e =⇒. Assim, dadas duas proposi¸c˜oes p e q, temos que p → q ´e uma nova proposi¸c˜ao. J´a p =⇒ q ´e uma rela¸c˜ao entre as duas proposi¸c˜oes, significa que p → q ´e uma tautologia.
Exerc´ıcio resolvido. Mostre que (p ∧ q) → (p ∨ q) ´e uma tautologia.
Solu¸c˜ao: Podemos resolver de duas maneiras:
Construindo uma tabela verdade. Deixamos isso a cargo do leitor.
Usando v´arias das propriedades rec´em enunciadas e a propriedade (*) (r → s) ⇐⇒ (s ∨ ¬r) j´a demonstrada.
Substituindo r por (p ∧ q) e s por (p ∨ q) em (*) obtemos, (p ∧ q) → (p ∨ q) ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ ¬(p ∧ q) seguimos usando a Lei de De Morgan (9) e obtemos, (p ∨ q) ∨ ¬(p ∧ q) ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ (¬p ∨ ¬q)
e utilizando a comutatividade (2) e associatividade (3) repetidamente chegamos a (p ∨ q) ∨ (¬p ∨ ¬q) ⇐⇒ (p ∨ ¬p) ∨ (q ∨ ¬q).
Agora basta utilizar (6), complementar para obter, (p ∨ ¬p) ∨ (q ∨ ¬q) ⇐⇒ V ∨ V
Finalmente, utilizando a idempotˆencia (1) obtemos V ∨ V ⇐⇒ V, Portanto (p ∧ q) → (p ∨ q) ´e sempre verdadeira, ou seja, ´e uma tautologia. Logo, pela observa¸c˜ao acima temos uma implica¸c˜ao entre (p ∧ q) e (p ∨ q), e podemos escrever
(p ∧ q) =⇒ (p ∨ q).
Podemos abreviar a escrita dessa demonstra¸c˜ao para:
(p ∧ q) → (p ∨ q)
(∗) ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ ¬(p ∧ q)
(9) ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ (¬p ∨ ¬q)
(2)e(3) ⇐⇒ (p ∨ ¬p) ∨ (q ∨ ¬q)
(6) ⇐⇒ V ∨ V
(1) ⇐⇒ V
Mais exemplos equivalˆencias:
(p → q) ∧ (p → r) ⇐⇒ p → (q ∧ r)
(p → q) ∨ (p → r) ⇐⇒ p → (q ∨ r)
Predicados e quantificadores
Defini¸c˜ao. Um predicado ´e uma afirma¸c˜ao contendo vari´aveis.
Exemplos. 1) x > 1 2) x + y = z.
Quando se especifica um valor para a(s) vari´avel(eis) a afirma¸c˜ao se torna uma proposi¸c˜ao e tem um valor l´ogico.
Exemplo. 1. Seja P (x) a afirma¸c˜ao P (x) : x > 2.
P (x) ´e um predicado. P (3) ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira. P (0) ´e uma proposi¸c˜ao falsa.
- Seja Q(x, y, z) : x + y = z.
Q(x, y, z) ´e um predicado. Q(2, 3 , 5) ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira. Q(1, 1 , 3) ´e falsa.
Quantificador universal
Dado um predicado P (x), formamos a proposi¸c˜ao (∀x)
P (x)
, que se lˆe
“Para todo x (no conjunto universo de discurso U) P (x)”.
As vezes, para enfatizar o universo de discurso` U, escreve-se (∀x ∈ U)
P (x)
Exemplo. 1) (∀x ∈ R)(x^2 ≥ 0) ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira.
- (∀x ∈ R)(x^2 > 0) ´e falsa. Um contraexemplo para ela ´e x = 0. Isso porque 0^2 > 0 ´e falsa.
Um contraexemplo ´e um exemplo que mostra que uma dada proposi¸c˜ao envolvendo o quan- tificador universal ´e falsa.
S˜ao sinˆonimos as express˜oes “para qualquer x”, “para todo x”, “para cada x” e “qualquer que seja x”.
Quantificador existencial
Dado um conjunto universo U e um predicado P (x), a proposi¸c˜ao (∃x)(P (x)) lˆe-se “Existe x tal que P (x)”.
Exemplo. A proposi¸c˜ao (∃x ∈ R)(x^2 = x) ´e verdadeira pois, 0^2 = 0 e 1^2 = 1.
Quantificador de unicidade
(∃!x)(P (x)) lˆe-se “Existe um ´unico x tal que P (x).”
Em alguns textos, ´e usada a nota¸c˜ao ∃ 1 x em vez de ∃!x.
Exemplo. (∃!x ∈ N)(x^2 = 4) ´e verdadeira. Seria falsa se o universo de discurso fosse Z.
Note que se a proposi¸c˜ao (∃!x ∈ U)(P (x)) for verdadeira, ent˜ao (∃x ∈ U)(P (x)) tamb´em ´e.
(x > 0) ∧ (y > 0) → (xy > 0). Se o lado esquerdo (x > 0) ∧ (y > 0) for falso, a implica¸c˜ao j´a ´e verdadeira. Suponhamos ent˜ao que (x > 0) ∧ (y > 0) seja verdadeira. Mas x e y sendo positivos, segue que seu produto xy ´e positivo. Esse argumento mostra que, qualquer que fosse a maneira de escolher os elementos x e y dois elementos em R, a implica¸c˜ao (x > 0)∧(y > 0) → (xy > 0) seria verdadeira.
Ordem dos quantificadores. As vezes a ordem dos quantificadores ´` e fundamental para o significado. Por exemplo,
(∀x ∈ Z)(∃y ∈ Z)(x + y = 0)
´e uma proposi¸c˜ao verdadeira. Por exemplo, para x = 1, existe y = −1 tal que x + y = 0. Para x = 0, tamb´em existe y = 0 tal que x + y = 0. Nossa proposi¸c˜ao afirma que para cada x existe um y. Para um outro x′^ tamb´em existe o seu y′, que pode ser diferente do y anterior.
Trocando a ordem dos quantificadores, a proposi¸c˜ao
(∃y ∈ Z)(∀x ∈ Z)(x + y = 0)
´e falsa. De fato, ela est´a afirmando que existe UM elemento y, tal que qualquer que seja x tem-se x + y = 0. Note que com esta ordem dos quantificadores a proposi¸c˜ao est´a afirmando que o y ´e sempre o mesmo, inclusive quando o x mudar. No caso anterior, mudando o x, o y tamb´em pode mudar. (∃x)(∀y)( P (x, y) ) =⇒ (∀y)(∃x)( P (x, y) ) ⇍
Em outras situa¸c˜oes a ordem dos quantificadores n˜ao importa.
(∃x ∈ Z)(∃y ∈ Z)(xy = 1) e (∃y ∈ Z)(∃x ∈ Z)(xy = 1) s˜ao equivalentes. Ambas afirmam que existe um par de valores inteiros cujo produto ´e igual a 1. A afirma¸c˜ao ´e verdadeira, por exemplo x = y = 1, ou ainda x = y = −1.
Exemplo. Vejamos um exemplo de utiliza¸c˜ao de quantificadores encadeados.
A opera¸c˜ao de + no conjunto R dos n´umeros reais tem as seguintes propriedades:
- Associativa: (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(∀z ∈ R)
(x + y) + z = x + (y + z)
- Elemento neutro: (∃x ∈ R)(∀y ∈ R)( x + y = y + x = y ). De fato, existe x = 0 com essa propriedade. 0 ´e chamado de elemento neutro da adi¸c˜ao, pois 0 somado a qualquer n´umero real n˜ao altera esse n´umero.
- Oposto: (∀x ∈ R)(∃y ∈ R)( x + y = y + x = 0 ). De fato, cada x ∈ R tem o seu oposto, o n´umero que somado a x d´a o neutro.
- Comutativa: (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)( x + y = y + x ).
Exerc´ıcios resolvidos
- Verifique se ´e verdadeira ou falsa e negue a proposi¸c˜ao (∀x ∈ R)(x^2 > 0).
Solu¸c˜ao: A proposi¸c˜ao ´e falsa, pois sua nega¸c˜ao
(∃x ∈ R)(x^2 ≤ 0)
´e verdadeira. Esta nega¸c˜ao come¸ca com (∃x), para mostrar que ´e verdadeira precisamos dar um exemplo de x. Mas x = 0 satisfaz x^2 = 0^2 = 0 ≤ 0.
- Reescreva a afirma¸c˜ao ¬(∀x)(∃y)(x^2 + y < x) de modo de o s´ımbolo da nega¸c˜ao n˜ao apare¸ca na proposi¸c˜ao. Solu¸c˜ao: ¬(∀x)(∃y)(x^2 + y < x) ⇐⇒ (∃x)
¬(∃y)(x^2 + y < x)
⇐⇒ (∃x)(∀y)
¬(x^2 + y < x)
⇐⇒ (∃x)(∀y)(x^2 + y ≥ x).
