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Disciplina de Matemática
Texto de Apoio: Equações quadráticas Paramétricas simples e Equações biquadráticas
Docente da disciplina: dr. Ângelo Américo Marcelino 10ª Classe/
Unidade Temática II: Equações quadráticas Paramétricas simples
2.1 Definição
Chama-se Equação Quadrática Paramétrica, a equação quadrática que para além da incógnita
considerada, contem outra variável denominada parâmetro.
Exemplos:
a) 𝑥
2
- 4 𝑥 − 𝑚 = 0 É uma equação quadrática paramétrica em ordem a x com
parâmetro m, sendo: 𝑎 = 1 ; 𝑏 = 4 ; 𝑐 = −𝑚
b) 𝑥
2
𝑥 − 𝑘 + 3 = 0 É uma equação quadrática paramétrica em ordem a x com
parâmetro k, sendo 𝑎 = 1 ; 𝑏 = 𝑘 − 1 ; 𝑐 = −𝑘 + 3
2.2 Resolução de Equações quadráticas Paramétricas Simples
Resolver uma equação quadrática paramétrica significa satisfazer as condições que forem
apresentadas ao parâmetro.
❖ Condição de existência das raízes de uma equação quadrática.
𝟐
Condição
A equação admite duas raízes reais e diferentes
A equação admite uma raiz dupla /A equação admite uma
única solução/ A equação admite duas raízes reais e iguais.
A equação não tem raízes reais.
Exemplos. 1. Dada a equação 2 𝑥
2
− 4 𝑥 + 𝑘 = 0. Determine k de modo que a equação
admita duas raízes reais e iguais.
2
Condição: ∆ = 0 ⟺ 𝑏
2
2
− 4 × 2 × 𝑘 = 0
⟺ 𝑘 = 16 ÷ 8 ⟺ 𝑘 = 2 Solução: {𝑘 = 2 }
- Considere a equação 𝑥
2
− 4 𝑥 + 2 𝑚 = 0 , sendo m um parâmetro real. Determine m tal
que a equação tenha duas raízes reais e distintas.
2
Condição: ∆ > 0 ⟺ 𝑏
2
2
− 4 × 1 × 2 𝑚 > 0 ⟺ 16 − 8 𝑚 > 0
⟺ − 8 𝑚 > − 16 (Multiplicando ambos os membros da desigualdade pelo factor − 1 )
⟺ 𝑚 < 16 ÷ 8
⟺ 𝑚 < 2 2 m
]
[
- Determine o valor de p na equação 𝑥
2
- 6 𝑥 + 𝑝 = 0 , de modo que o produto das raízes
seja positivo.
2
Condição: {
2
𝑐
𝑎
2
− 4 × 1 × 𝑝 ≥ 0
𝑝
1
𝑝 ≤ 36 ÷ 4
0 9 p Solução: 𝑝 ∈
]
]
2.3 Exercícios Propostos
1. Dada a equação 4 𝑥
2
- 8 𝑥 − 𝑘 = 0. Determine k de modo que:
a) A equação tenha uma única solução. b) A equação não tenha raízes reais.
c) A equação tenha duas raízes reais e distintas d) O Produto das raízes seja negativo.
- Dada a equação 𝑥
2
− 4 𝑥 + ( 5 − 𝑚) = 0. Determine m de modo que:
a) A equação tenha duas raízes reais e iguais. b) O produto das raízes seja 9
c) A equação admita duas raízes reais de sinais contrários d) Uma das raízes seja 2.
- Na equação 3 𝑥
2
− (𝑚 + 1 )𝑥 + 𝑚 − 2 = 0 , determine m de modo que:
a) A equação admita apenas uma solução b) o produto das raízes seja igual a
1
3
3.3 Exercícios Propostos
- Assinala com S para as expressões que representam equações Biquadráticas e com N às
que não são.
a) 𝑥
2
1
𝑥
4
b) 𝑥
4
𝑥
2
5
c) 3
4
2
d) 𝑥
4
- Usando o método de substituição, determine o conjunto solução das seguintes equações
biquadráticas.
a) 𝑥
4
2
b) 𝑥
4
2
= 0 Sol:
c) 𝑥
4
2
+18=0 Sol: {−𝟑; −√𝟐 ; √𝟐; 𝟑} d) 𝑥
4
− 16 = 0 Sol:
e) 𝑥
4
2
− 2 = 0 Sol: {−𝟏; 𝟏}
f) 𝑥
4
g) 𝑥
4
2
h) 𝑥
4
2
- Resolva as seguintes equações biquadráticas usando a fórmula resolvente
a) 𝑥
4
2
b) 𝑥
4
− 81 = 0 Sol:
c) 𝑥
4
2
+100 =0 Sol:
d) 𝑥
4
− 16 𝑥 = 0 Sol:
e) 𝑥
4
2
− 2 = 0 Sol:
f) 𝑥
4
− 625 = 0 Sol:
g) 𝑥
4
2
h) 𝑥
4
2
- Componha a equação biquadráticas que tenha como soluções:
a) − 3 ; − 2 ; 2 ; 3
b) 0 e ± 7
c) − √
d) ± 5 ; ± 4
O docente:
Ângelo Américo Marcelino
Contacto: 84 5560135
