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Teorema de Stokes
Introdução O teorema de Stokes relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada no espaço com a integral do rotacional do campo em uma região cuja fronteira seja a curva. No caso da região estar contida em um plano, o teorema de Stokes é o próprio teorema de Green. O resultado apareceu publicamente pela primeira vez como um problema proposto por George Stokes (1819-1903) em uma competição de estudantes da Universidade de Cambridge em 1854. Tinha sido enunciado em uma carta endereçada a Stokes pelo físico William Thomson (Lord Kelvin, 1824-1907). Devido à sua generalidade, o teorema de Stokes tem várias aplicações. Uma delas é como ferramenta teórica em eletromagnetismo e mecânica dos fluidos.
A Vida de George Stokes Matemático e físico britânico nascido em Skreen Sligo, Irlanda, 13 de agosto de 1819, faleceu em Cambridge, Inglaterra, 1º de fevereiro de 1903. O pai de George Stokes, Gabriel Stokes, era ministro protestante da paróquia de Skreen em Município Sligo. A mãe dele era filha de um ministro da igreja, assim Stokes recebeu uma educação muito religiosa. Ele era o mais jovem de seis crianças e todos os três irmãos mais velhos tornaram-se pastores. Gabriel Stokes estudou na Faculdade de Trinity Dublin e ele ensinou para George gramática latina. Antes de ir para a escola George teve aulas com o escrivão da paróquia do pai, em Skreen. Partindo em 1832 de Skreen, George freqüentou escola em Dublin. Ele passou três anos na escola Rev R H Wall's; mas não era um pensionista, viveu com o tio John Stokes. Na realidade as finanças familiares não lhe teriam permitido uma educação mais cara, mas na escola ele procurou os estudos escolares habituais, e chamou a atenção do mestre matemático pela solução de problemas geométricos.
Durante os três anos em que George estava em Dublin seu pai morreu e isto lhe causou um amadurecimento precoce. Em 1835, à idade de 16 anos, George Stokes se mudou para a Inglaterra e entrou na Faculdade de Bristol. Os dois anos que Stokes ficou em Bristol foram importantes para o preparo dos seus estudos em Cambridge. O Reitor da Faculdade, Dr. Jerrard era um irlandês que tinha freqüentado a Universidade de Cambridge com William Stokes, um dos irmãos mais velhos de George. Claramente o talento de Stokes pela matemática foi mostrado durante seus estudos na Faculdade de Bristol e quando ele ganhou um prêmio. Dr. Jerrard escreveu a ele: “Eu aconselhei para que seu irmão inscrevesse você em Trinity, como eu me sinto convencido de que você tem toda a probabilidade humana de sucesso, obtendo um Companheirismo naquela Faculdade.” Porém sua preferência foi pela Faculdade de Pembroke, em Cambridge, na qual Stokes entrou em 1837.
A Matemática de Stokes Stokes escreveu em 1901: “Naqueles dias que entrei na Faculdade de Pembroke, em Cambridge, em 1837, eu não tinha ido tão longe na matemática como é o costume no momento; e não tinha começado o cálculo diferencial, tinha tido só seções analíticas recentemente lidas.” Foi no segundo ano de Stokes em Cambridge, que ele começou a ser treinado por William Hopkins, um tutor famoso de Cambridge que teve um papel tão importante quanto os conferencistas. Stokes escreveu: “Em meu segundo ano comecei a estudar com Mr Hopkins, que era célebre para um grande número de alunos que obtinham os lugares mais altos nos exames Universitários para honorários matemáticos...” Hopkins teve uma forte influência na direção dos interesses matemáticos de Stokes. Em 1841, Stokes foi graduado como Sênior Wrangler (o Primeiro da Classe). A Faculdade de Pembroke lhe deu imediatamente uma Bolsa Auxílio. Ele escreveu: “Depois de completar meu grau eu continuei residindo na Faculdade e recebi alunos privados. Eu pensei que seguiria na pesquisa original...” William Hopkins o aconselhou a trabalhar em pesquisa hidrodinâmica e foi realmente nesta área que Stokes começou a trabalhar. Além do conselho de Hopkins, Stokes também foi inspirado para entrar neste campo pelo recente trabalho de George Green. Stokes teve
Ele investigou a teoria de onda de luz, nomeou e explicou o fenômeno de fluorescência em 1852, e em 1854 teorizou uma explicação do Fraunhofer sobre linhas no espectro solar. Ele sugeriu que estas fossem causadas por átomos nas camadas exteriores do Sol que absorvem certos comprimentos de onda. Porém, mais tarde, quando Kirchhoff publicou esta explicação, negou qualquer descoberta anterior de Stokes. O próprio Stokes (cujo caráter ressaltava modéstia e generosidade) sempre insistiu que não havia esclarecido certos pontos críticos dos problemas então em jogo e que, por isso, não reclamara para si nenhuma prioridade. Certamente a carreira de Stokes tomou um rumo bastante diferente em 1857, quando ele passou do período de pesquisa teórica e se tornou mais envolvido com administração e trabalho experimental. Stokes noivou para se casar com Mary Susanna Robinson, a filha do astrônomo do Observatório de Armagh, na Irlanda. No dia 21 de janeiro de 1857, ele escreveu seus sentimentos a ela: “Eu era capaz de ser movido, matematicamente, como seja, pela convicção de que um curso particular era o certo; e eu acredito que Deus pôs estas visões em minha mente, enquanto trabalhando por meio do que estava em prover como estava querendo.” Uns três dias depois escreveu: “Você tem razão dizendo que não se pode pensar sobre os próprios sentimentos da pessoa, em uma família que é fácil, mas você não sabe o que é viver totalmente só.” No dia 31 de março de 1857, ele escreveu expressando seus sentimentos novamente em condições bastante matemáticas: “Eu também sinto que tenho pensado muito ultimamente, mas de um modo diferente, minha cabeça está correndo em série divergente, como feita descontinuidade de constantes arbitrárias..., eu pensei freqüentemente que você teria me impedido de passar tanto tempo por essas coisas.” Estas cartas não expressaram o amor claramente que Mary esperou achar nelas e, quando Stokes lhe escreveu uma carta de 55 páginas, ela quase desmanchou o casamento à última hora. Ao receber uma carta dela, mostrando sua infelicidade em prosseguir com o matrimônio, Stokes respondeu: “Então estou certo de que você deveria se retirar até mesmo agora, entretanto eu deveria ir para a sepultura como máquina de pensamento defeituosa...” O matrimônio prosseguiu e Stokes, longe da vida de intensa pesquisa matemática. Naquele momento, membros em Cambridge tinham que ser solteiros, mesmo assim levou adiante o matrimônio. Stokes deveria deixar a Faculdade de Pembroke. Porém, uma mudança nas regras, em 1862, permitia que homens casados continuassem lá. Stokes
continuou como secretário da Royal Society até 1885, quando foi eleito presidente. Ele ocupou o cargo de presidente até 1890. Ele também foi presidente do Victoria Institute de 1886 até sua morte em 1903. Participou de outras tarefas administrativas. Em 1859 escreveu a Thomson: “Eu tenho outro ferro no fogo agora: fui designado há pouco a um cargo de secretário adicional da Comissão Universitária de Cambridge.” Stokes recebeu a Copley Medal da Royal Society de Londres em 1893 e foi o honorário mais alto da Faculdade, onde serviu como mestre entre 1902 e 1903. Stokes influenciou muito as novas gerações: Stokes era uma influência formativa muito importante em gerações subseqüentes de homens de Cambridge, inclusive Maxwell. Como Green tinha influenciado Stokes, seguindo o trabalho francês, especialmente os de Lagrange, Laplace, Fourier, Poisson e Cauchy. Isto é visto claramente nos seus estudos teóricos em ótica e hidrodinâmica; mas também deve notar- se que Stokes, até mesmo como um estudante universitário, realizou experimentos incessantemente. Ainda seus interesses e investigações estenderam além da física, seu conhecimento em química e botânica era extenso, e freqüentemente o seu trabalho em ótica o atraiu a esses campos. Os documentos de Stokes foram publicados em 5 volumes, os primeiros três, Stokes editou em 1880, 1883 e 1891. Os últimos dois foram editados por Senhor Joseph Larmor incluindo um trabalho completo em 1905.
Teorema de Stokes Seja S uma superfície lisa por partes, orientada, no espaço, cuja fronteira C é uma curva lisa por partes, simples e fechada, orientada positivamente (sentido anti-horário) em relação à
normal. Seja ( ) ( ) ( ) ( )
→ → → → F x,y,z = Px,y,z i+Qx,y,z j+Rx,y,z k um campo vetorial com
componentes contínuas e deriváveis, → n é o vetor normal unitário à S, → t o vetor tangente unitário à C e D um domínio do espaço contendo S. Nessas condições, tem-se:
∫C
→ F .d → r = ∫∫S (rot^ F→. → n )dS (7.1)
Exercícios: 1) Seja um balão de ar quente, com um formato esférico de raio r = 5, conforme a figura abaixo. O ar quente escapa através dos poros da superfície deste balão com um campo de
velocidade vetorial
→ V (x,y,z) = ∇ × Φ(x,y,z), quando Φ (x,y,z) = -y
→ i + x
→ j. Se o raio da
circunferência do bordo é r = 5/4, calcule o volume do fluxo de ar quente que atravessa a superfície do balão. Solução:
A figura abaixo mostra a representação de alguns vetores do campo vetorial dado por → F (x,y,z) = -y
→ i + x
→ j. Como o raio do balão é r = 5, e o seu centro está sobre o eixo-z, a
variação do raio das curvas de nível desta esfera (balão) é de 0 a 5.
Aplicando o Teorema de Stokes: (^) ∫ C
→ F .d → r = ∫∫S (rot^
→ F. → n )dS temos que a circulação
através da superfície é igual à circulação em torno do bordo desta superfície.
Seja γ , [0,2 π ] → ℜ^3
γ (t) = (^) ⎟ ⎠ ⎜ ⎞ ⎝
⎛ (^) sent, 0 4 cost,^5 4
5
γ`(t) = (^) ⎟ ⎠
⎛ − cos, 0 4
,^5
(^5) sent t
→ F (γ(t)) = ⎜⎝⎛ −^45 sent, 45 cost,^0 ⎟⎠⎞
Substituindo γ (t) e γ`(t) em
∫C
→
F .dr = ∫
b a
→ F (( γ (t)). γ `(t)dt
Tem-se:
2 π 0
⎜⎝⎛ − 45 sent, 45 cost ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − 45 sent, 45 cost⎟⎠⎞dt = ∫
2 π 0 ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ (^) + sen t 16 cos t^25 16
(^25 2 2) dt =
2 π 0
[sen 2 t+ cos^2 t]dt = 1625 ∫
2 π 0
dt = 2516 (^2 π^ ) = 258 π
2) Seja S uma superfície aberta através da qual fluam as linhas de um vetor indução magnética → B , e Φ o fluxo de → B através de S, chamada fluxo magnético, Φ =
∫∫ S
→ B .dS.
Solução:
Como a superfície é aberta, ela é limitada por uma curva C, cuja orientação em relação
à dS obedece à regra da mão direita. À circulação de um campo elétrico → E ao longo de C dá- se o nome de força eletromotriz,
C
→ E .d
→ r
3) Aplique o Teorema de Stokes para calcular (^) ∫
C
F .T ds, onde C é a elipse que o plano
z = y + 3 intercepta o cilindro x^2 + y^2 = 1. Oriente a elipse no sentido anti–horário quando
vista de cima, e tome
F (x, y, z) = 3z
→ i + 5x
→ j – 2y
→ k.
Solução: Plotando o gráfico vemos que a interseção entre o cilindro e o plano gera uma elipse
com semi-eixos 1 e 2. A orientação dada de C corresponde ao vetor normal
→ n = (-
→ j +
→ k )
apontando para cima e normal à região elíptica S no plano z = y + 3, delimitada por C. Mas,
rot
F =
3z 5x 2y
x y z
i j k
∂ (^) = - 2 → i + 3 → j + 5 → k
Assim,
( rot
F ).
n = (-
→ i + 3
→ j + 5
→ k ). (-
→ j +
→ k ) = -3 + 5 = 2 Logo, pelo Teorema de Stokes,
∫
→ C
F .T ds
r = (^) ∫∫
S
( rotF).ndS = (^) ∫∫ S
2 dS= 2 área(S) = 2 π 2
porque, pode-se ver que S é uma elipse com semi-eixos 1 e 2. Assim sua área é π 2.
4) Aplique o Teorema de Stokes para calcular (^) ∫∫
S
( xF ).ndS,onde → F = 3z → i + 5x → j –
2y
→ k e S é a parte da superfície parabólica z = x^2 +y^2 que está abaixo do plano z = 4 e cuja orientação é dada pelo vetor normal unitário superior. Solução: Parametriza-se o círculo fronteira C de S por x = 2cos(t), y = 2sen(t), z = 4, com
0 ≤ t≤ 2 π. Então, dx = -2sen t dt, dy = 2cos t dt e dz = 0.
O Teorema de Stokes dá, pois,
∫∫ ∇^ =∫ =∫ +
→ → → →→ S C C
( xF).ndS F.TdS 3zdx 5xdy-2ydz
= (^) ∫ 02 π 3. 4 .(- 2 sen tdt)+ 5 .( 2 cost)( 2 costdt)+ 2 .(2sen t). 0
= (^) ∫ 0 2 π( - 24 sent+ 20 cos^2 t)dt= ∫ 02 π (- 24 sent+ 10 + 10 cos2t)
= [ (^24) cost+ 10t+ 5 sen2t]^20 π= 20 (^) π
5) Seja o campo de forças → F definido por → F ( x, y, z ) = -4y → i + 2z → j + 3x → k e suponha que
S seja a parte do parabolóide z = 10 – x^2 – y^2 acima do plano z = 1. Verifique o Teorema de
Stokes para esse
→ F e para S, calculando:
∫∫
S
(rotF).ndS
Solução: Plotando o gráfico vemos que a interseção entre o parabolóide e o plano projeta uma superfície S sobre o plano xy. A região é delimitada pela circunferência x^2 + y^2 = 9. A curva C, que é a fronteira de S, é a circunferência com centro em ( 0, 0, 1) e raio 3 no plano z = 1.
Calculamos primeiro o rot → F.
rot
→ F = 4 y 2 z 3 x
x y z
i j k
−
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
→ → → = - 2
→ i –
→ j + 4
→ k
Assim,
∫∫ ∫∫
→ → → → → → = + S S
(rot F).ndS (- 2 i- 3 j 4 k).ndS
Para calcular essa integral de superfície devemos encontrar o vetor →n normal unitário superior, como a equação da superfície é z = 10 – x^2 – y^2 sua derivada parcial em relação a x é –2x e em relação a y é –2y, daí temos o vetor normal. Logo,
∫∫ =∫∫ +
→ → S D
(rotF).ndS [-(- 2 )(-2x)-(- 3 )(-2y) 4 ]dxdy
= (^) ∫∫ + D
(-4x-6y 4 )dxdy
Fazendo a mudança de parâmetros, x = r cos θ , y = r sen θ e dxdy = rdrd θ , com
0 ≤ r≤ 3 e 0≤ θ ≤ 2 π, temos:
∫ 0 2 π∫ 03 (-4rcosθ-6rsenθ+^4 )rdrdθ
7) Aplicar o teorema de Stokes para
→ A = ( 2x – y )
→ i – ( yz^2 )
→ j – ( y 2 z )
→ k , onde S é a
metade superior da superfície da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 e C é sua curva limítrofe. Solução: A linha limite C de S é uma circunferência no plano xy, de raio unitário e centro na origem. Seja x = cos t, y = sen t, z = 0, 0 ≤ t≤ 2 π as equações paramétricas de C. Logo,
∫ ⋅^ =∫ − − − = ∫ − − =
→ →^2 π 0
2 C C
A dR (2x y)dx yz^2 dy y dz (2cost sent)( sent)dt π
E também, rot → A = 2x-y -yz^2 y^2 z
x y z
i j k
∂ (^) = → k
Assim,
∫∫
→ → S
( rot A ). n dS = (^) ∫∫ →⋅→ S
k n dS = (^) ∫∫ R
dxdy
2 2 2
1 0
1 0
(^12) 1
1 0
1 1 ∫ ∫ =^ ∫ ∫ = ∫ −^ =
− − =− =− −
dxdy dxdy x dx
x x x y x e o teorema de Stokes é verificado.
8) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha (^) ∫
→ → C
F .Tdsse
→ F ( x, y, z ) = xz
→ i +
xy → j + y 2 → k e C for a fronteira orientada da superfície que consiste na parte do cilindro
z = 4 –x^2 no primeiro octante que é delimitada pelos planos coordenados e pelo plano y = 3. Solução: A interseção do plano com o cilindro gera uma superfície S, com fronteira C composta por quatro curvas C1, C2, C3 e C4. Do teorema de Stokes temos que:
∫
→ → C
F .TdS= (^) ∫∫
S
( xF ).ndS rot
→ F = xz xy y
x y z
i j k ∂ 2
∂ ∂
∂ ∂
∂
→ → → = 2y
→ i + x
→ j + y
→ k
Assim, (^) ∫ → → C
F .TdS = (^) ∫∫ →+ →+ → → S
( 2yi xj yk).ndS.
Assim temos,
∫
→ → C
F .TdS= (^) ∫∫ + S
[-(2y)(-2x)-x( 0 ) y]dxdy
= (^) ∫∫ + S
(4xy y)dxdy
Como a projeção no plano xy é um retângulo, limitado pelos eixos x e y e pelas retas x =2 e y = 3, logo temos a região de integração:
∫
→ → C
F .TdS= (^) ∫ ∫ 02 0 3 ( 4xy+y)dydx=
= 2xy 21 y dx
3 0
2 0 ∫ 2 2 ⎥ ⎦
= (^) ∫ 02 18x 29 ⎟dx ⎠
2 0
(^2) x 2 9x 9 ⎢⎣⎡^ +^ ⎥⎦⎤ = 45
9) Mostrar que se r é um vetor posição, então:
∫
→ → C
r .dr = 0
Solução: ∇xr = 0. Então, pelo teorema de Stokes
∫
→ → C
r .dr = (^) ∫∫ ∇× =
→ → S
rdS 0
10) Se C é uma curva fechada, mostrar que (^) ∫ ∇→ →= C
φ.dr 0
Solução:
Para a suficiência, ∇→× →f = 0 ; então pelo teorema de Stokes (^) ∫ ∇ C
φ .dr= (^) ∫∫ ∇ (∇ ) S
x φ .dS,
onde S é uma superfície contida em C. Sabemos que, ∇x ∇ φ =0;então (^) ∫ ∇ = C
φ.dr 0
