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Campos Vetoriais
Campos Vetoriais
Um campo vetorial associa um vetor a um ponto no espaço. Por exemplo, se F for
uma função com valores vetoriais definida numa bola aberta B em ℜ³, tal que:
F (x,y,z) P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z) k
r r r r = + + (2.1)
então F
r associa a cada ponto (x, y, z) em B um vetor, sendo F
r chamada de campo vetorial.
Esse campo vetorial tem como seu domínio um subconjunto de ℜ³ e como sua imagem um
subconjunto de V 3. Se o domínio de um campo vetorial for um conjunto de pontos num plano
e sua imagem for um conjunto de vetores em V 2 , então o campo vetorial terá uma equação da
forma:
F (x,y) P(x,y)i Q(x,y) j
r (^) r r = + (2.2)
Exercícios:
1) Um exemplo de um campo vetorial em V 3 decorre da lei do inverso dos quadrados de
Newton da atração gravitacional. Essa lei estabelece que a medida da intensidade da força
gravitacional entre duas partículas com massa M e m unidades, respectivamente é (^2) d
GMm
onde d unidades é a distância entre duas partículas e G é uma constante gravitacional. Assim,
se uma partícula com M unidades de massa estiver na origem e uma partícula com 1 unidade
(m = 1) de massa estiver num ponto
P(x, y, z) e se F
r (x, y, z) for a força gravitacional exercida pela partícula na origem sobre a
partícula em P, temos
2 R(x,y,z)
GM( 1 ) F( x,y,z) r
r
onde R( x,y,z) xi yj zk
r (^) r r r = + +. Para obter o vetor F
r (x, y, z) que representa a força, precisamos
também da direção e sentido de F
r
. Como a direção é radial e o sentido aponta para a origem,
podemos caracterizá-los pelo vetor unitário R
R r
r
−. Como o módulo foi dado anteriormente,
temos:
(xi yj zk ) (x y z )
GM F(x,y,z)
como R(x,y,z) x y z teremos
R(x,y,z)
R(x,y,z)
R(x,y,z)
GM F(x,y,z)
2 2 2 2 3
2 2 2
2
r r r^ r
r
r
r
r
r
=−
= + +
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ = −
O campo vetorial definido acima é chamado de campo de forças.
2) Desenhe um campo vetorial em ℜ³ dado por F
r (x, y, z) = z k
r
Solução:
(0, 0, 1) k
(1, 2, 3)
x
y
z
o
X
Z
Y
F (x,y,z) P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z) k
r r r r = + + (2.7)
Então, o Divergente de F
r , denotado por div F
r será definido por:
⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛
∂
∂ ⎟⎟+ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛
∂
∂ ⎟+ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛
∂
∂
z
R
y
Q
x
P div F(x,y,z)
r (2.8)
se as derivadas parciais existirem.
Teorema: Suponha que F
r seja um campo vetorial numa bola B em ℜ³, tal que
F (x,y,z) P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z) k
r r r r = + + , se as derivadas parciais segundas de P, Q e R
forem contínuas em B então div (rot F
r ) = 0
Exercícios:
1) Ache o rot F, se f for um campo vetorial definido por F
r (x, y z) = e
2x i
r
2 yz j
r
2 z +
x) k
r
Solução:
e x yz y z x
y z x
2 2 2 3 2
x
i j k
rotF(x,y,z)
r r r
r
= (4yz – 3x
2 y) i
r
r
r
=(4yz –3x
2 y) i
r
r
r
2) Ache o div F
r , sendo que F
r o campo vetorial é definido por:
F(x, yz) e i 3x yzj (2y z x)k
2x 2 2
r r r r = + + +
Solução:
Div F
r
(x, y, z) = ∇. F
r (x, y z)
2x 2 2 y z x z
x yz y
e x
= 2e
2x
2 z + 2y
2
3) Calcule o Rotacional F(x, y,z) xi yj zk
r r r r = + +
Solução:
rotF(x,y,z) 0
y
rotF(x,y,z)
rotF(x,y,z)
r
r r r r r r r
r r r
r
x k y
yi z
z j x
x j z
yk x
zi
x y z
x y z
i j k
4) Calcule o divergente do campo vetorial dado
Solução:
. 2z 1 (x y z)
divF 2ztg ( ) ( ).
divF
F(x,y,z) ( )tg ( )
2 2 2 2
2 2 2 1 2 2 2
2 2 2 1 2 2 2
−
−
x y z x y z
z
x y z tg x y z
x y
x y z x y z k
r
r
r r
