Preuzmite Determinante n-tog reda. Postupak rjesavanja i više Ispiti u PDF od Matematika samo na Docsity!
Osjeˇcki matematiˇcki list 10 (2010), 31–42 31
Metode izraˇcunavanja determinanti matrica n-tog
reda
Damira Keˇcek
∗
STUDENTSKA RUBRIKA
Saˇzetak. U ˇclanku su opisane metode izraˇcunavanja determinanti
matrica n-tog reda. Svaka od njih je ilustrirana primjerima.
Kljuˇcne rijeˇci: determinante, algebarski komplement, Laplaceov
razvoj determinante
Methods of computing determinants of the n-th order
Abstract. In the paper are described methods of computing deter-
minants of the n-th order. Each of them is illustrated by examples.
Key words: determinants, cofactor, Laplace expansion of the de-
terminant
1. Uvod
Determinantu kvadratne matrice A = [aij] reda n definiramo kao broj
detA =
i(p) a 1 p(1)a 2 p(2)...anp(n)
gdje p(1), p(2), ..., p(n) prolaze svih n! mogu´cih permutacija brojeva 1, 2 , ..., n.
Predznak svakog sumanda u detA ovisi o broju inverzija u permutaciji, i(p), tj. o
broju situacija kad u permutaciji vrijedi i < j i p(i) > p(j).
Determinantu matrice obiˇcno oznaˇcavamo sa
detA = det
a 11 a 12... a 1 n
a 21 a 22... a 2 n
. . .
an 1 an 2... ann
a 11 a 12... a 1 n
a 21 a 22... a 2 n
. . .
an 1 an 2... ann
∗ Veleuˇciliˇste u Varaˇzdinu Jurja Kriˇzani´ca 33, 42000 Varaˇzdin, [email protected]
32 Damira Keˇcek
Ako je n = 1, detA = |a| = a.
Za n = 2 imamo 2! = 2 permutacije, p 1 =
i p 2 =
. Kako je
i(p 1 ) = 0, a i(p 2 ) = 1 imamo
a 11 a 12
a 21 a 22
0 a 11 a 22 + (−1)
1 a 12 a 21 = a 11 a 22 − a 12 a 21.
Za n = 3 raˇcun postaje kompliciraniji, imamo 3! = 6 permutacija,
p 1 =
, p 2 =
, p 3 =
, p 4 =
p 5 =
i p 6 =
Dobivamo
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
0 a 11 a 22 a 33 + (−1)
1 a 11 a 23 a 32 + (−1)
1 a 12 a 21 a 33
2 a 12 a 23 a 31 + (−1)
2 a 13 a 21 a 32 + (−1)
3 a 13 a 22 a 31
= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31
−a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33.
Primijetimo da raˇcunanje determinante pomo´cu definicije nije jednostavno. Zato
postoje razne metode kojima se determinanta brˇze izraˇcuna, a najop´cenitija metoda
je Laplaceov razvoj determinante.
Laplaceov razvoj determinante moˇze se provoditi po bilo kojem retku ili stupcu
matrice. Neka je A matrica reda n. Ako u toj matrici izostavimo i-ti redak i j-ti
stupac dobit ´cemo matricu ˇciju determinantu zovemo subdeterminanta ili minora i
oznaˇcavamo sa Mij.
Algebarski komplement ili kofaktor elementa aij je broj Aij = (−1) i+j Mij.
Laplaceov razvoj po i-tom retku:
detA =
∑^ n
j=
aij Aij.
Laplaceov razvoj po j-tom stupcu:
detA =
n ∑
i=
aij Aij.
Zadatak 1. Izraˇcunajte determinantu matrice A =
(^) Laplaceovim
razvojem po
34 Damira Keˇcek
- Neka se matrice A i B razlikuju samo u elementima i-tog retka (stupca).
Suma determinanti det(A) + det(B) je determinanta ˇciji je i-ti redak (stupac)
suma odgovaraju´cih ˇclanova i-tih redova (stupaca) u det(A) i det(B), a ostali
elementi su jednaki odgovaraju´cim elementima tih determinanti.
- Ako su A i B kvadratne matrice istog reda, tada vrijedi det(AB) = det(A)det(B)
(Binet-Cauchyjev teorem).
2. Metode izraˇcunavanja determinanti matrica n-tog reda
2.1. Svod¯enje matrice na trokutasti oblik
Ova metoda se sastoji u transformiranju matrice transformacijama sliˇcnosti u oblik
u kojem su svi elementi s jedne strane glavne dijagonale matrice jednaki nuli. Tada
primjenom Cauchy–Binetove formule slijedi da je vrijednost determinante matrice
jednaka produktu elemenata na glavnoj dijagonali.
Zadatak 2. Izraˇcunajte determinantu
D =
1 x 12 x 13... x 1 n
1 2 x 23... x 2 n
1 2 3... x 3 n
. . .
1 2 3... n
Rjeˇsenje: Pomnoˇzimo prvi redak sa -1 i dodamo drugom, tre´cem, ..., n-tom, to nam
daje
D =
1 x 12 x 13... x 1 n
1 2 x 23... x 2 n
1 2 3... x 3 n
. . .
1 2 3... n
1 x 12 x 13... x 1 n
0 2 − x 12 x 23 − x 13... x 2 n − x 1 n
0 2 − x 12 3 − x 13... x 3 n − x 1 n
. . .
0 2 − x 12 3 − x 13... n − x 1 n
nastavimo li analogno postupak, tj. pomnoˇzimo drugi redak sa −1 i dodamo tre´cem,
ˇcetvrtom, ..., n-tom, i tako sve do (n − 1). retka, dobivamo
D =
1 x 12 x 13... x 1 n
0 2 − x 12 x 23 − x 13... x 2 n − x 1 n
0 0 3 − x 23... x 3 n − x 1 n
. . .
0 0 0... n − xn− 1 ,n
= (2 − x 12 ) · (3 − x 23 ) · · · (n − xn− 1 ,n).
Metode izraˇcunavanja determinanti matrica n-tog reda 35
Zadatak 3. Izraˇcunajte determinantu
D =
x 1 x 1... x 1 x 1 − y 1 x 1
x 2 x 2... x 2 − y 2 x 2 x 2
. . .
xn− 1 xn− 1 − yn− 1... xn− 1 xn− 1 xn− 1
xn − yn xn... xn xn xn
Rjeˇsenje: Pomnoˇzimo prvi redak sa −x 1 i dodamo drugom, pomnoˇzimo prvi redak
sa −x 2 i dodamo tre´cem, ..., pomnoˇzimo prvi redak sa −xn i dodamo n-tom retku.
D =
x 1 x 1... x 1 x 1 − y 1 x 1
x 2 x 2... x 2 − y 2 x 2 x 2
. . .
xn− 1 xn− 1 − yn− 1... xn− 1 xn− 1 xn− 1
xn − yn xn... xn xn xn
0 0... 0 −y 1 0
0 0... −y 2 0 0
. . .
0 −yn− 1... 0 0 0
−yn 0... 0 0 0
= razvoj po (n+1). stupcu
1+n+ ·
0 0... 0 −y 1
0 0... −y 2 0
. . .
0 −yn− 1... 0 0
−yn 0... 0 0
1+n+ · (−1)
n ·
0 0... 0 y 1
0 0... y 2 0
. . .
0 yn− 1... 0 0
yn 0... 0 0
= u ovoj determinanti ´ce ”preˇzivjeti” jedino sumand koji odgovara permutaciji
p =
1 2 · · · n − 1 n
n n − 1 · · · 2 1
n(n−1) (^2) y 1 ·^ y 2 · · ·^ yn.
Metode izraˇcunavanja determinanti matrica n-tog reda 37
a 11 a 12... a 1 n
a 21 a 22... a 2 n
. . .
an 1 an 2... ann
∑n
i=
a 11 a 12... a 1 n
. . .
ai− 1 , 1 ai− 1 , 2... ai− 1 ,n
x x... x
ai+1, 1 ai+1, 2... ai+1,n
. . .
an 1 an 2... ann
= D +
∑n
i=
x ·
∑n
j=
Aij = D + x ·
∑n
i,j=
Aij ,
gdje je Aij algebarski komplement elementa aij.
Zadatak 4. Izraˇcunajte determinantu Dn =
1 n n... n n
n 2 n... n n
n n 3... n n
. . .
n n n... n − 1 n
n n n... n n
Rjeˇsenje: Dn =
(1 − n) + n 0 + n 0 + n... 0 + n 0 + n
n 2 n... n n
n n 3... n n
. . .
n n n... n − 1 n
n n n... n n
1 − n 0 0... 0 0
n 2 n... n n
n n 3... n n
. . .
n n n... n − 1 n
n n n... n n
n n n... n n
n 2 n... n n
n n 3... n n
. . .
n n n... n − 1 n
n n n... n n
=
1 − n 0 0... 0 0
0 + n (2 − n) + n 0 + n... 0 + n 0 + n
n n 3... n n
. . .
n n n... n − 1 n
n n n... n n
38 Damira Keˇcek
1 − n 0 0... 0 0
0 2 − n 0... 0 0
n n 3... n n
. . .
n n n... n − 1 n
n n n... n n
1 − n 0 0... 0 0
n n n... n n
n n 3... n n
. . .
n n n... n − 1 n
n n n... n n
=
Nastavimo li analogno postupak rastavljanja determinanti, dobivamo
Dn =
1 − n 0 0... 0 0
0 2 − n 0... 0 0
0 0 3 − n... 0 0
. . .
n n n... n n
=primjena svojstva 4
= (1 − n)(2 − n) · · · (−1) · n
= (−1)
n− 1 · n!.
Zadatak 5. Izraˇcunajte determinantu Dn =
x y y... y y
y x y... y y
y y x... y y
. . .
y y y... x y
y y y... y x
Rjeˇsenje: Dn =
(x − y) + y 0 + y 0 + y... 0 + y 0 + y
y x y... y y
y y x... y y
. . .
y y y... x y
y y y... y x
x − y 0 0... 0 0
y x y... y y
y y x... y y
. . .
y y y... x y
y y y... y x
y y y... y y
y x y... y y
y y x... y y
. . .
y y y... x y
y y y... y x
40 Damira Keˇcek
x − y 0 0... 0 0
0 x − y 0... 0 0
0 0 x − y... 0 0
. . .
0 0 0... x − y 0
0 0 0... 0 x − y
∑n
i,j=
A^ ˆ
ij
= (x − y)
n
∑n
i,j=
Aij
A^ ˆ
ij = 0,^ za^ i^6 =^ j
A^ ˆ
ii = (−1)
i+i ·
x − y 0... 0
0 x − y... 0
. . .
0 0... x − y
= (x − y)
n− 1 , za i = j
= (x − y) n
= (x − y)
n− 1 [x + y · (n − 1)].
2.3. Metoda rekurzivnih relacija
Neka je
Dn = pDn− 1 + rDn− 2 , n ≥ 3 (1)
dvoˇclana rekurzija s konstantnim koeficijentima.
Razlikujemo 2 sluˇcaja:
- r = 0, onda je
Dn = pDn− 1 = p(pDn− 2 ) = p
2 Dn− 2 = · · · = p
n− 1 D 1. (2)
- r 6 = 0
Rekurziji (1) pridruˇzujemo karakteristiˇcni polinom k(x) = x
2 − px − r. Neka
su x 1 i x 2 korijeni karakteristiˇcne jednadˇzbe x 2 − px − r = 0.
Imamo sluˇcajeve:
(a) x 1 6 = x 2 , onda je
Dn = k 1 x
n 1
n 2 , n ∈ N, (3)
gdje se konstante k 1 i k 2 odrede pomo´cu poznatih D 1 i D 2 , tj.
k 1 =
D 2 − x 2 D 1
x 1 (x 1 − x 2 )
Metode izraˇcunavanja determinanti matrica n-tog reda 41
k 2 = −
D 2 − x 1 D 1
x 2 (x 1 − x 2 )
(b) x 1 = x 2 , onda je
Dn = x
n− 1 1 D^1 + (n^ −^ 1)x
n− 2 1 (D^2 −^ x^1 D^1 ), n^ ∈^ N.^ (6)
Zadatak 6. Izraˇcunajte determinantu:
Dn =
Rjeˇsenje: Dn =
razvoj po 1. retku
1+
1+
= 5 · Dn− 1 − 4
razvoj po 1. stupcu
=5 · Dn− 1 − 4 · 1 · (−1)
1+
= 5 · Dn− 1 − 4 Dn− 2 ,
D 1 = | 5 | = 5, D 2 =
Rjeˇsenja karakteristiˇcne jednadˇzbe x
2 − 5 x + 4 = 0 su x 1 = 4 i x 2 = 1.
Pomo´cu formula (4) i (5) odredimo koeficijente k 1 i k 2 koje uvrstimo u formulu (3)
