Preuzmite Teorija krivih višeg reda i više Skripte u PDF od Matematika samo na Docsity!
1. KRIVE
Definicija 1.1. Regularna (parametrizovana) kriva u Rn, n > 1 , je preslikavanje α : (a, b) →
Rn, klase Ck^ za neko k ≥ 1 , tako da je dα dt
= 0, za sve t ∈ (a, b).
Oznake:
dα dt = α′(t) = (α′ 1 (t),... , α′ n(t));
d^2 α dt^2 = α′′(t) = (α′′ 1 (t),... , α′′ n(t)).
Definicija 1.2. Vektor brzine regularne krive α(t) u t = t 0 je
dα dt izraˇcunat u t = t 0. Brzina
krive α u t = t 0 je duˇzina vektora brzine u t = t 0 , tj.
dα dt
(t 0 )
Za krivu α : I → R^3 kaˇzemo da je jediniˇcne brzine ukoliko je ||α′(t)|| = 1 za a < t < b.
Definicija 1.3. Neka je α : (a, b) → Rn^ kriva. Vektorsko polje (polje vektora) duˇz krive α je funkcija Y koja svakom t ∈ (a, b) dodeljuje vektor Y (t) u taˇcki α(t).
Y (t) = (y 1 (t), .., yn(t))
Definicija 1.4. Tangentno vektorsko polje na regularnu krivu α(t) je polje vektora
T (t) =
dα ∥dt ∥ ∥ ∥
dα dt
Tangentna linija (tangenta) na regularnu krivu α u taˇcki t = t 0 je prava: l = {w ∈ R^3 |w = α(t 0 ) + sT (t 0 ), s ∈ R}.
Definicija 1.5. Neka su α : (a, b) → Rn^ i β : (c, d) → Rn^ dve regularne parametrizovane krive klase Ck. Tada se kaˇze da su one ekvivalentne (piˇse se α ∼ β) ako postoji difeomorfizam φ : (c, d) → (a, b) klase Ck^ tako da je β = α ◦ φ. Kriva β je reparametrizacija krive α. Za β se kaˇze da je pozitivna reparametrizacija krive α ukoliko je φ′^ > 0 , a negativna reparametrizacija krive α ukoliko je φ′^ < 0.
Lema 1.1. Relacija ∼ navedena u Definiciji 1.5 je relacija ekvivalencije.
Definicija 1.6. Klasa ekvivalencije [α] relacije ∼ je regularna geometrijska (neparametri- zovana) kriva, tj. regularna kriva, ili samo kriva.
Napomenimo da se termin ”kriva” ˇcesto se koristi i za skup slika, tj. za S = α ((a, b)), naroˇcito ukoliko ne postoji mogu´cnost zabune. Za preslikavanje α kaˇzemo da je ”parametrizacija skupa” S, ”parametarski oblik” skupa S, da ”parametarski definiˇse” skup S, ili, slobodnije, da je ”parametrizacija krive” S. Tako kaˇzemo i da je ”kriva α parametarski zadana, definisana”. Koja je relacija izmedju brzine krive α i brzine njene reparametrizacije?
Lema 1.2. Neka je β reparametrizacija od α. Tada je
(1.1) β′(u) = φ′(u) α′(φ(u)),
pri ˇcemu je β = α ◦ φ, φ : (c, d) → (a, b), c < u < d.
Da li su krive α(t) = (t, 0 , 0), β(t) = (t^3 , 0 , 0), γ(t) = (t^3 + t, 0 , 0) regularne? Koje su njihove slike (tragovi)? 1
Da li su krive α(t) = (cos t, sin t, 0), 0 ≤ t ≤ 2 π i β(t) == (cos t, sin t, 0), 0 ≤ t ≤ 4 π ekvivalentne u smislu Definicije 1.5?
Da li je prava p = {w ∈ R^3 |w = α(t 0 ) + λ
dα dt
(t 0 ), λ ∈ R} tangentna linija? Da li tangenta linija zavisi od parametrizacije? Da li vektor brzine zavisi od parametrizacije? A tang vektor? Da li skup taˇcaka u R^2 moˇzemo zadati i na neki drugi naˇcin?
Definicija 1.7. Neka je F : R^2 → R ne obavezno neprekidna funkcija. Skup nula funkcije F je skup F −^1 (0) = {p ∈ R^2 |F (p) = 0}. Implicitno definisana kriva u R^2 je skup nula diferencijabilne funkcije F : R^2 → R.
Cak i kada pretostavimo da je^ ˇ F diferencijabilna, skup nula od F moˇze da ima ”vrhova”. Medjutim, postoji vaˇzan sluˇcaj kada je mogu´ce na´ci parametrizaciju skupa nula od F.
Teorema 1.1. Neka je F : R^2 → R diferencijabilna funkcija i q taˇcka takva da je F (q) = 0. Ukoliko je ( ∂F∂x , ∂F∂y )|q 6 = 0, tada postoji okolina U od q u R^2 i (parametrizovana) kriva α : (a, b) → R^2 takav da je slika od α {p ∈ U|F (p) = 0}.
Koriste´ci polarne koordinate x = r cos t, y = r sin t, ravansku krivu moˇzemo zadati preslika- vanjem α(θ) = ρα(θ)(cos θ, sin θ), za ρα(θ) ≥ 0, a < θ < b. Tada kaˇzemo da je α : (a, b) :→ R^2 polarna parametrizacija, a funkciju ρα zovemo radijus funkcija krive α. Radijus funkcija potpuno odredjuje polarnu parametrizaciju krive, pa ˇcesto krivu definiˇsemo koriste´ci samo radijus funkciju.
Definicija 1.8. Neka je α : (a, b) → Rn^ regularna kriva. Pretpostavimo da je α definisana na otvorenom intervalu (c, d), sa c < a < b < d, tako da je α definisana i diferencijabilna u a i b. Duˇzina luka krive na intervalu [a, b] je
(1.2) L(α) =
∫ (^) b
a
||α′(t)|| dt.
Neka je kriva α zadana polarnom parametrizacijom ρ = ρ(θ). Dokazati da je duˇzina krive α na segmentu [a, b] data formulom:
(1.3) L(α) =
∫ (^) b
a
(ρ′)^2 + ρ^2 dθ′.
Neka je kriva α zadana sa y = f (x). Tada je duˇzina krive α na segmentu [a, b] data formulom:
L(α) =
∫ (^) b
a
1 + f ′^2 dx.
Za neko svojstvo krive kaˇzemo da je geometrijsko ako ono ne zavisi od parametrizacije, ili ako samo zavisi od izbora orijentacije.
Teorema 1.2. Neka je β reparametrizacija od α. Tada je L(α) = L(β).
Definicija 1.9. Fiksirajmo broj c sa a < c < b. Funkcija duˇzine luka sα sa poˇcetkom u c krive α : (a, b) → Rn^ je definisana sa
(1.4) sα(t) =
∫ (^) t
c
||α′(u)||du,
za c ≤ t ≤ b.
Teorema 1.3. Neka je α : (a, b) → Rn^ regularna kriva. Tada postoji njena reparametrizacija β, ˇcija je brzina jediniˇcna.
Teorema 1.5. Neka je α : (a, b) → R^3 regularna kriva sa brzinom v = ||α′|| = s′. Tada su ”uopˇstene” Frenet-ove formule:
T ′(s) = vκ(s)N (s) N ′(s) = −vκ(s)T (s) + vτ (s)B(s) B′(s) = −vτ (s)N (s).
Lema 1.4. Brzina i ubrzanje regularne krive α su dati formulama
(1.5) α′^ = vT,
α′′^ =
dv dt (1.6) T + v^2 κN,
gde v oznaˇcava brzinu krive α.
Teorema 1.6. Neka je α : (a, b) → R^3 regularna kriva i κ > 0. Tada je:
(1) B = α′^ × α′′ ||α′^ × α′′||
(2) N = B × T ;
(3) κ =
||α′^ × α′′|| ||α′||^3
(4) τ = [α′, α′′, α′′′] ||α′^ × α′′||^2
Definicija 1.13. Oskulatorna ravan krive α parametrizovane duˇzinom luka u taˇcki α(s) je ravan koja sadrˇzi α(s) i ortogonalna je na vektor binormale. sliˇcno, normalna ravan je ortogonalna na T , a rektificiona ravan je ortogonalna na N.
Teorema 1.7. Izometrije prostora R^3 ˇcuvaju krivinu, torziju i izvod funkcije duˇzine luka. Znak torzije se menja ukoliko je izometrija indirektna.
Teorema 1.8. Neka su α i β prirodno parametrizovane krive u R^3 definisane na istom intervalu (a, b) i pretpostavimo da imaju istu torziju i istu pozitivnu krivinu. Tada postoji izometrija koja preslikava α u β.
Teorema 1.9. Neka su κ : (a, b) → R^3 , κ > 0 i τ : (a, b) → R^3 diferencijabilne funkcije. Tada postoji kriva jediniˇcne brzine β : (a, b) → R^3 ˇcija je krivina κ i torzija τ.
Definicija 1.14. Neka je α : (a, b) → R^2 prirodno parametrizovana kriva i Nz vektor normale takav da je [T, Nz ] pozitivno orijentisana ortonormirana baza. Tada je κz ”uopˇstena” krivina krive α, pri ˇcemu je α′′^ = κz Nz.
Teorema 1.10. Neka je kz : (a, b) → R proizvoljna glatka funkcija. Tada postoji prirodno parametrizovana kriva α : (a, b) → R^2 ˇcija je ”uopˇstena” krivina kz. Ukoliko je β : (a, b) → R^2 neka druga prirodno parametrizovana kriva ˇcija je ”uopˇstena” krivina kz , tada postoji direktna izometrija M u R^2 , takva da je β(t) = M (α(t)), za sve t ∈ (a, b).
Posledica 4. Kriva α iz Teoreme 1.10 je: α(t) =
s s 0 cos^ θ(t)dt,^
∫ (^) s s 0 sin^ θ(t)dt
, θ(s) =
∫ (^) s s 0 kz^ (u)du.
Posledica 5. Jedan od klasiˇcnih naˇcina da se opiˇse ravanska kriva α je pomo´cu prirodnih jednaˇcina, tj. jednaˇcina oblika F (κ, s) = 0, gde s oznaˇcava funkciju duˇzine luka krive α. Ove jednaˇcine jasno pokazuju kako se krivina menja pri promeni duˇzine luka i invarijantne su pri translaciji i rotaciji. Ipak, ove jednaˇcine nisu baˇs korisne za raˇcun.
