¡Descarga Ejercicios de álgebra lineal I: cálculo de parámetros, arraíces, dimensión y aplicaciones y más Exámenes en PDF de Álgebra solo en Docsity!
ÀLGEBRA / MATEMÀTIQUES I
SOLUCIÓ EXAMEN 19- 1 - 2013
Exercici 1:
Realitzeu els càlculs següents:
a) Calculeu els valors dels paràmetres a i b de manera que es verifiqui:
( a bi ) 3 4 i
2
b) Calculeu les arrels sisenes del complex següent: z = 64 (proporcioneu els resultats en
forma polar)
Resolució:
a) Operem amb l´expressió, tot recordant, tal com s´explica al requadre gris de la pàgina
17, que 1
2
i =− :
2 2 2 2 2 2
( a + bi ) = a + 2 abi + b · i = a + 2 abi − b
Seguint les instruccions de la pàgina 18, apartat 3.2 sobre la forma binòmica dels
nombres complexos, igualem la part real a 3 i la part imaginària a 4:
a
ab b
a b
2 2
Se substitueix la b a la primera equació:
4 2
4 2
2
2
2
2
a a
a a
a
a
a
a
Fem el canvi a
2
=t i resolem com una equació de segon grau:
2
t
t t
Com que a
2
=t, la solució t=-1 la descartem.
Queda la solució t=4 i, desfent que a
2
=t, queden les següents solucions:
a = 2 à b = 1
a = - 2 à b = - 1
b) Posem el complex z en forma polar tal com s´explica a l´apartat 3.4, pàgina 27 del
material imprès, sobre la forma polar dels nombres complexos:
2 2
arctg arctg
m
Tenim, per tant, que
0 º
z = 64 = 64
Com que ens demanen les arrels sisenes, hem de fer (observem que a l´apartat 3.6.1. de
la pàgina 43 del material imprès es fa el mateix però amb les arrels cúbiques de la
unitat):
6
0360
6
0360
6 6
6
0 º
6
k
k
z
= = = per a k=0, 1, 2, 3, 4, 5
Això és, el mòdul de les arrels és:
6 6 6
r = = =
Els arguments de les arrels són
0 + 360 k
β = per a k=0, 1, 2, 3, 4, 5
0
β =
1
β =
2
β =
3
2
β =
3
β =
Per tant, les sis arrels sisenes del complex z = 64 són:
0 º 60 º 120 º 180 º 240 º 300 º
Exercici 2:
Siguin A i B els subespais vectorials de R
3
següents:
A =< ( 0 , 1 , 0 ), ( 0 , − 1 , 1 ), ( 0 , 7 a − 4 , 2 − a
2
) > , a ∈ R
− 1 ⋅ c
1
2
i 1 ⋅ c
1
2
De la primera equació obtenim directament que c 1
= (0,-1,0). I ara usant la segona
obtenim que c 2
Així doncs la base de C és {(0,1,0),(0,-1,1)}.
Ejercicio 3:
Discutiu el següent sistema d’equacions lineals per als diferents valors dels paràmetres
a b , ∈ R.
x y z
x y z
ax z b
Resolució:
La matriu del sistema és:
A A
a b
Estudiem el rang de la matriu A. Com que
= ≠ , aleshores rang A ≥ 2. Per a
veure quan el rang pot ser 3, calculem el determinant d’ A i obtenim A = 3 − a que
només s’anul.la pel valor a = 3.
- Cas I. a ≠ 3 ⇒ A ≠ 0 ⇒ rang A = 3 = rang A '⇒ SCD
- Cas II. a = 3 ⇒ A = 0 ⇒ rang A = 2
Per a calcular el rang de la matriu ampliada orlem el menor diferent de zero que tenim a
la matriu A i mirem si s’anul.la el determinant.
b b b b
b
Per tant:
Cas II.a: Si b ≠ 5 ⇒ rang ( A ')= 3 ⇒ SI
Cas II.b: Si b = 5 ⇒ rang ( A ')= 2 = rang ( A )⇒ SCI amb (3-2=1) 1 grau de llibertat.
En resum:
a b SCI g ll
a b SI
a b SCD
Exercici 4:
Sigui
3 3
f : R → R l’aplicació lineal definida per
f ( , x y z , ) = ( 2− x + 5 y + 2 , z − 2 x + 5 y + 2 , z − x + y + z ).
a) Trobeu la matriu A de f en les bases canòniques.
b) Calculeu el polinomi característic de f i els valors propis de f.
c) Estudieu si f diagonalitza.
d) Trobeu una base de
3
R amb el nombre màxim de vectors propis de f.
Resolució:
a) La matriu de f en les bases canòniques és:
A
(Veure apunts M5, Matriu associada a una apliació lineal.)
b) El polinomi característic de f és
