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Álgebra 07 2013, Exámenes de Álgebra

Universidad Carlos III de Madrid (UC3M)Álgebra

Prof. Pedro José Hernando Oter

Asignatura: Álgebra, Profesor: Pedro José Hernando Oter, Carrera: Ingeniería en Informática, Universidad: UC3M

Tipo: Exámenes

2012/2013

Subido el 30/06/2013

adri_tuscani 🇪🇸

1 documento

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ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR

Universidad Carlos II I de Madrid

Álgebra Lineal

-

Conv. Extraordinaria - Julio 2013

Grado y Doble Grado en Ingeniería Informátia

P1

(2 ptos) Denir de forma breve y onisa los siguientes oneptos:

a) (0.5 ptos) Matries Semejantes.

b) (0.5 ptos) Subespaio Vetorial.

) (0.5 ptos) Matriz Diagonalizable.

d) (0.5 ptos) Isomorsmo.

P2

(1.5 ptos) Sea

T

una transformaión lineal

T:Rn→Rm

que umple:

T





2

0





=



2

10

8



T





0

3

0





=

−6

−3

3



T





1

0

−1





=



0

2





a) (0.5 ptos) Enontrar la matriz aso iada a

T

.

b) (0.5 ptos) Determinar si

T

es inyetiva.

) (0.5 ptos) Demostrar que

T

no es sobreyetiva y enontrar un vetor de su imagen que no perteneza

al espaio imagen de

T

.

P3

(2 ptos) Dada la siguiente matriz

A

A=1

2

−2 3 0

0 1 0

0 0 −2





a) (1 ptos) En aso de ser posible, diagonalizar la matriz

A

.

b) (0.5 ptos) Calular

A100

.

) (0.5 ptos) Determinar el vetor

A1000~v

, siendo

~v = [0,1,1]T

.

P4

(1.5 ptos) Realizar el ajuste de los siguientes datos a la funión dada, determinando el error de ajuste.

x0 0 0 1

y0 1 0 1 ;y=ax +bx2

P5

(1.5 ptos) Enontrar, en aso de que exista, la reexión del vetor

~v = [5,4,−2]

sobre el plano

2x+y−2z= 0

.

P6

(1.5 ptos) Enontrar, en aso de ser posible, una matriz

A∈R4x2

on las siguientes araterístias:

a) Sus valores singulares son:

σ1= 4

y

σ2= 2

b) La matriz

V

de la desomposiión en valores singulares de

A=UΣVT

es

V=0−1

1 0 

)

Bcol(A)=















1





,





1

−1

















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matematicas aplicadas II

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Universidad Carlos I I I de Madrid

Álgebra Lineal - Conv. Extraordinaria - Julio 2013

Grado y Doble Grado en Ingeniería Informáti a

P1 (2 ptos) Denir de forma breve y on isa los siguientes on eptos:

a) (0.5 ptos) Matri es Semejantes.

b) (0.5 ptos) Sub espa io Ve torial.

) (0.5 ptos) Matriz Diagonalizable.

d) (0.5 ptos) Isomorsmo.

P2 (1.5 ptos) Sea T una transforma ión lineal T : Rn^ → Rm^ que umple:

T

 T

a) (0.5 ptos) En ontrar la matriz aso iada a T.

b) (0.5 ptos) Determinar si T es inye tiva.

) (0.5 ptos) Demostrar que T no es sobreye tiva y en ontrar un ve tor de su imagen que no p ertenez a

al espa io imagen de T.

P3 (2 ptos) Dada la siguiente matriz A

A =^12

a) (1 ptos) En aso de ser p osible, diagonalizar la matriz A.

b) (0.5 ptos) Cal ular A^100.

) (0.5 ptos) Determinar el ve tor A^1000 ~v, siendo ~v = [0, 1 , 1]T^.

P4 (1.5 ptos) Realizar el a juste de los siguientes datos a la fun ión dada, determinando el error de a juste.

x 0 0 0 1 y 0 1 0 1 ;^ y^ =^ ax^ +^ bx

2

P5 (1.5 ptos) En ontrar, en aso de que exista, la reexión del ve tor ~v = [5, 4 , −2] sobre el plano

2 x + y − 2 z = 0.

P6 (1.5 ptos) En ontrar, en aso de ser p osible, una matriz A ∈ R^4 x^2 on las siguientes ara terísti as:

a) Sus valores singulares son: σ 1 = 4 y σ 2 = 2

b) La matriz V de la des omp osi ión en valores singulares de A = U ΣV T^ es V =

[ 0 − 1

]

) Bcol(A) =

Universidad Carlos I I I de Madrid

Álgebra Lineal - Conv. Extraordinaria - Julio 2013

Grado y Doble Grado en Ingeniería Informáti a

1 Solu iones

P

a) Matri es Semejantes: Sean A, B matri es Rn x n. Se di e que A es semejante a B si existe una

matriz (real o ompleja) P ∈ Rn x n^ invertible tal que:

AP = P B → P −^1 AP = B

b) Sub espa io Ve torial: Un sub onjunto W de un espa io ve torial V , W ⊂ V , se denomina sub espa io

ve torial de V si umple las siguientes tres propiedades:

1) W ontiene el elemento nulo de V.

2) W es errado ba jo la suma, es de ir, si w 1 , w 2 ∈ W → w 1 + w 2 ∈ W

3) W es errado ba jo el pro du to p or un es alar, es de ir, si w ∈ W y k ∈ R → kw ∈ W

) Matriz Diagonalizable: Una matriz A ∈ Rn x n^ es diagonalizable si existe una matriz diagonal

D ∈ Kn x n^ tal que A sea semejante a D, es de ir, que exista una matriz P ∈ Kn x n^ invertible tal que:

AP = P D =⇒ A = P DP −^1

d) Isomorsmo: Se las denomina isomorsmo a las transforma iones lineales biye tivas (es de ir, son

inye tivas y sobreye tivas).

P

a) Sab emos que T : R^3 → R^3 p or lo que la matriz aso iada deb ería tener la siguiente forma:

T

x y z

a b c d e f g h i

x y z

sustituyendo obtenemos el siguiente sistema

T

a b c d e f g h i

2 a = 2 2 d = 10 2 g = 8

a = 1 d = 5 g = 4

T

a b c d e f g h i

3 b = − 6 3 e = − 3 3 h = 3

b = − 2 e = − 1 h = 1

T

a b c d e f g h i

a − c = 0 d − f = 2 g − i = 2

c = 1 f = 3 i = 2

Universidad Carlos I I I de Madrid

Álgebra Lineal - Conv. Extraordinaria - Julio 2013

Grado y Doble Grado en Ingeniería Informáti a

λ 2 = λ 3 = − 2  

 (^) → v~ 1 =

 (^) , v~ 2 =

Es fá il omprobar que los tres autove tores son linealmente indep endientes y pueden formar una

matriz P de la forma:

P = [ v~ 1 , ~v 2 , ~v 3 ] =

De igual forma, la matriz D la onstruimos usando los autovalores omo sigue:

D =

b) Sabiendo que A^100 =

P

2 D

P −^1

P

2 D

P −^1

100 ve es

= P (^12 D)^100 P −^1 ,

al ulamos la matriz inversa de P :

A^100 = P

2 D

P −^1 =

2 −^100 0

0 (−1)^100

0 0 (−1)^100

A^100 =

1 2 −^100 − 1 0

0 2 −^100

) Sab emos que Ak~x = α 1 λk 1 v~ 1 + α 2 λk 2 v~ 2 + α 3 λk 3 v~ 3 , donde ~x = α 1 v~ 1 + α 2 v~ 2 + α 3 v~ 3

Cal ulamos ~α

P ~α = ~x =⇒ α~ =

α 1 = 1 α 2 = − 1 α 3 = 1

A^1000

 = (−1)( 1 / 2 )^1000

+(−1)(−1)^1000

+(1)(−1)^1000

−(^1 / 2 )^1000 − 1

−(^1 / 2 )^1000

Universidad Carlos I I I de Madrid

Álgebra Lineal - Conv. Extraordinaria - Julio 2013

Grado y Doble Grado en Ingeniería Informáti a

P

y = ax + bx^2 →

a + b = 1

[ (^) a b

]

 →^ A~x^ =^ ~b

AT^ A~p = AT~b →

AT^ A~p =

[ 0 0 0

]

[ 1

]

AT~b =

[ 0 0 0

]

[ 1

]

[ 1

] [ (^) a b

]

[ 1

]

[ 1 1

]

[ 1 1

]

b = t ; ∀t ∈ R a = 1 − t

Error:

e = ||~e|| = ||A~p − ~b|| =

[ (^1) − t t

]

1 − t + t

P

En este problema el ve tor normal del plano es ~n = [2, 1 , −2]

~u = ~v − 2 ~n ~n^ ··^ ~v~n~n =

Álgebra 07 2013, Exámenes de Álgebra

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Grado y Doble Grado en Ingeniería Informáti a

P1 (2 ptos) Denir de forma breve y on isa los siguientes on eptos:

a) (0.5 ptos) Matri es Semejantes.

b) (0.5 ptos) Sub espa io Ve torial.

) (0.5 ptos) Matriz Diagonalizable.

d) (0.5 ptos) Isomorsmo.

P2 (1.5 ptos) Sea T una transforma ión lineal T : Rn^ → Rm^ que umple:

T

 T

 T

a) (0.5 ptos) En ontrar la matriz aso iada a T.

b) (0.5 ptos) Determinar si T es inye tiva.

) (0.5 ptos) Demostrar que T no es sobreye tiva y en ontrar un ve tor de su imagen que no p ertenez a

al espa io imagen de T.

P3 (2 ptos) Dada la siguiente matriz A

A =^12

a) (1 ptos) En aso de ser p osible, diagonalizar la matriz A.

b) (0.5 ptos) Cal ular A^100.

) (0.5 ptos) Determinar el ve tor A^1000 ~v, siendo ~v = [0, 1 , 1]T^.

P4 (1.5 ptos) Realizar el a juste de los siguientes datos a la fun ión dada, determinando el error de a juste.

P5 (1.5 ptos) En ontrar, en aso de que exista, la reexión del ve tor ~v = [5, 4 , −2] sobre el plano

2 x + y − 2 z = 0.

P6 (1.5 ptos) En ontrar, en aso de ser p osible, una matriz A ∈ R^4 x^2 on las siguientes ara terísti as:

a) Sus valores singulares son: σ 1 = 4 y σ 2 = 2

b) La matriz V de la des omp osi ión en valores singulares de A = U ΣV T^ es V =

[ 0 − 1

]

) Bcol(A) =

Universidad Carlos I I I de Madrid

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Grado y Doble Grado en Ingeniería Informáti a

1 Solu iones

P

a) Matri es Semejantes: Sean A, B matri es Rn x n. Se di e que A es semejante a B si existe una

matriz (real o ompleja) P ∈ Rn x n^ invertible tal que:

AP = P B → P −^1 AP = B

b) Sub espa io Ve torial: Un sub onjunto W de un espa io ve torial V , W ⊂ V , se denomina sub espa io

ve torial de V si umple las siguientes tres propiedades:

1) W ontiene el elemento nulo de V.

2) W es errado ba jo la suma, es de ir, si w 1 , w 2 ∈ W → w 1 + w 2 ∈ W

3) W es errado ba jo el pro du to p or un es alar, es de ir, si w ∈ W y k ∈ R → kw ∈ W

) Matriz Diagonalizable: Una matriz A ∈ Rn x n^ es diagonalizable si existe una matriz diagonal

D ∈ Kn x n^ tal que A sea semejante a D, es de ir, que exista una matriz P ∈ Kn x n^ invertible tal que:

AP = P D =⇒ A = P DP −^1

d) Isomorsmo: Se las denomina isomorsmo a las transforma iones lineales biye tivas (es de ir, son

inye tivas y sobreye tivas).

P

a) Sab emos que T : R^3 → R^3 p or lo que la matriz aso iada deb ería tener la siguiente forma:

T

sustituyendo obtenemos el siguiente sistema

T

T

Universidad Carlos I I I de Madrid

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Grado y Doble Grado en Ingeniería Informáti a

Es fá il omprobar que los tres autove tores son linealmente indep endientes y pueden formar una

matriz P de la forma:

De igual forma, la matriz D la onstruimos usando los autovalores omo sigue:

D =

b) Sabiendo que A^100 =

P

2 D

P −^1

P

2 D

P −^1

100 ve es

= P (^12 D)^100 P −^1 ,

al ulamos la matriz inversa de P :

A^100 = P

2 D

P −^1 =

2 −^100 0

0 (−1)^100

P1 (2 ptos) Denir de forma breve y on isa los siguientes on eptos:

d) (0.5 ptos) Isomorsmo.

P5 (1.5 ptos) En ontrar, en aso de que exista, la reexión del ve tor ~v = [5, 4 , −2] sobre el plano

d) Isomorsmo: Se las denomina isomorsmo a las transforma iones lineales biye tivas (es de ir, son