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Clases de
Álgebra Lineal
para Ingeniería
Teoría y 268 ejercicios y problemas resueltos
Revisión 3.5: Septiembre 201 3
Pedro José Hernando Oter
Instituto Universitario “Gregorio Millán Barbany” Grupo de Modelización, Simulación Numérica y Matemática Industrial Dep. Ciencia e Ing. de Materiales e Ing. Química Escuela Politécnica Superior UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
© Pedro José Hernando Oter, 201 3
Pedro José Hernando Oter Dep. Ciencia e Ing. de Materiales e Ing. Química Escuela Politécnica Superior UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Avda de la Universidad, 30 28911 Leganés SPAIN [email protected]
ISBN: xxx-xx-xxx-xxxx-x Revisión 3. 5 - Septiembre 201 3 Made by LATEX.
Conceptos Básicos de Rectas y Planos
- 0 Conceptos Básicos de Rectas y Planos Tema Página
- 0.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas
- 0.2 Ecuaciones de la Recta en el Plano Euclídeo
- 0.2.1 Ecuación de dos Puntos
- 0.2.2 Ecuación Punto-Pendiente
- 0.2.3 Ecuación General o Cartesiana de la Recta
- 0.2.4 Casos Particulares: Rectas Horizontales y Verticales
- 0.2.5 Forma Vectorial y Paramétrica de la Recta
- 0.2.6 Ecuación Normal de la Recta
- 0.2.7 Resumen de Fórmulas: Rectas en el Plano Euclídeo
- 0.2.8 Conversión entre Formas
- 0.3 Ecuaciones del Plano en el Espacio 3D
- 0.3.1 Ecuación General del Plano
- 0.3.2 Forma Vectorial y Paramétrica del Plano
- 0.3.3 Forma Normal del Plano
- 0.3.4 Resumen Fórmulas: Planos en el Espacio 3D
- 0.3.5 Conversión entre Formas de un Plano
- 0.4 Ecuaciones de la Recta en el Espacio 3D
- 0.4.1 Forma General de la Recta
- 0.4.2 Forma Vectorial-Paramétrica de la Recta
- 0.4.3 Forma Normal de la Recta
- 0.4.4 Resumen Fórmulas: Rectas en el Espacio 3D
- 0.4.5 Conversión entre Formas
- 0.5 Geometría de los Sistemas de Ecuaciones en el Plano y en el Espacio 3D
- 0.5.1 Sistemas de Una Ecuación
- 0.5.2 Sistemas de Dos Ecuaciones
- 0.5.3 Sistemas de Tres Ecuaciones
- 0.6 Métodos Simples de Resolución de Sistemas
- 1 Sistemas de Ecuaciones Lineales
- 1.1 Introducción a los Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL)
- 1.1.1 Características de los Sistemas de Ecuaciones
- 1.1.2 Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones
- 1.1.3 Puntos y Espacios Rn
- 1.1.4 Sistemas de Ecuaciones Lineales (SEL)
- 1.2 Geometría de los SEL en Rn
- 1.2.1 Objetos Geométricos
- 1.2.2 Dimensión de los Objetos Geométricos
- 1.2.3 Relaciones entre Objetos Geométricos ii Índice
- 1.3 Solución de un SEL en Rn
- 1.3.1 Fórmula de Equilibrio
- 1.3.2 Ecuaciones Equivalentes
- 1.3.3 Sistemas Compatibles e Incompatibles
- 1.4 Combinación Lineal de Ecuaciones
- 1.4.1 Propiedades de las Combinaciones Lineales
- 1.4.2 Dependencia e Independencia lineal de Ecuaciones
- 1.5 Métodos Resolución de SEL en Rn
- 1.5.1 Métodos Simples
- 1.5.2 Sistemas Escalonados o Triangulares
- 1.5.3 Sistemas Equivalentes
- 1.5.4 Operaciones Elementales de Fila
- 1.5.5 Método de Gauss o Eliminación Gaussiana
- 1.6 Matrices
- 1.6.1 Matrices Asociadas a SEL
- 1.6.2 Operaciones Elementales de Fila en la Matriz Asociada
- 1.6.3 Matriz Equivalente por Filas
- 1.6.4 Matriz Escalonada Equivalente
- 1.6.5 Rango de una Matriz
- 1.6.6 Teorema de Rouché-Fröbenius
- 1.7 Método de Gauss Matricial
- 1.7.1 Identificación de Sistemas Incompatibles
- 1.7.2 Identificación de Sistemas Compatibles Indeterminados
- 1.8 Método de Gauss-Jordan
- 1.8.1 Matriz Escalonada Reducida
- 1.8.2 Matriz Identidad
- 1.9 Sistemas Homogéneos
- 2 Espacios Vectoriales
- 2.1 Vectores en Espacios Rn
- 2.1.1 Representación Gráfica de Vectores
- 2.2 Operaciones Elementales con Vectores
- 2.2.1 Suma
- 2.2.2 Producto por un Escalar
- 2.2.3 Vector Opuesto y Vectores Estándar
- 2.2.4 Diferencia de Vectores
- 2.2.5 Propiedades Algebraicas de la Suma y Producto por un Escalar
- 2.3 Espacio y Subespacio Vectorial
- 2.4 Sistemas de Vectores
- 2.4.1 Combinación Lineal de Vectores
- 2.4.2 Dependencia e Independencia Lineal
- 2.4.3 Rango de un Sistema de Vectores
- 2.4.4 Interpretación Geométrica de la Dependencia e Independencia Vectorial
- 2.5 Conjuntos o Sistemas Generadores
- 2.5.1 Base y Dimensión de un Sistema de Vectores
- 2.5.2 Generación de Rn
- 2.5.3 Base Canónica o Estándar de Rn
- 2.6 Producto Escalar
- 2.6.1 Propiedades del Producto Escalar
- 2.7 Distancia y Norma en Rn
- 2.7.1 Propiedades de la Distancia Índice iii
- 2.7.2 Distancia de un Punto al Origen
- 2.7.3 Norma de un Vector en Rn
- 2.7.4 Propiedades de la Norma
- 2.7.5 Vectores Unitarios y Normalización
- 2.8 Espacio Euclídeo
- 2.9 Relaciones entre Vectores
- 2.9.1 Distancia entre dos Vectores
- 2.9.2 Ángulo entre dos Vectores en R
- 2.9.3 Ángulo entre dos Vectores en Rn
- 2.9.4 Definición Alternativa del Producto Escalar en Rn
- 2.10 Vectores Ortogonales
- 2.11 Proyección Ortogonal
- 2.11.1 Interpretación Geométrica en R^2 y R
- 2.11.2 Vector Perpendicular
- 2.11.3 Aplicaciones Geométricas de la Proyección Ortogonal
- 3 Matrices
- 3.0 Matrices
- 3.1 Operaciones Básicas con Matrices
- 3.1.1 Suma de Matrices
- 3.1.2 Producto de un Escalar por una Matriz
- 3.1.3 Diferencia o Resta de Matrices
- 3.1.4 Propiedades de la Suma y la Multiplicación por un Escalar
- 3.1.5 Espacio Vectorial de Matrices
- 3.1.6 Combinación Lineal de Matrices
- 3.2 Producto de Matrices
- 3.2.1 Propiedades de la Multiplicación de Matrices
- 3.2.2 Potencia de Matrices Cuadradas
- 3.2.3 Producto Matricial Matriz-Vector
- 3.2.4 Producto Matricial Vector-Vector
- 3.2.5 Producto Matriz-Vector Estándar
- 3.3 Expresión Matricial de un SEL
- 3.4 Matriz Transpuesta AT
- 3.4.1 Matriz Simétrica y Antisimétrica
- 3.4.2 Propiedades de la Matriz Transpuesta
- 3.5 Inversa de una Matriz
- 3.5.1 Cálculo de la Matriz Inversa: Método de Gauss-Jordan
- 3.5.2 Inversa y SEL
- 3.5.3 Operaciones con la Matriz Inversa
- 3.6 Determinantes
- 3.6.1 Introducción: Determinantes de Matrices 2 ×
- 3.6.2 Determinantes de Matrices 3 ×
- 3.6.3 Regla de Sarrus
- 3.6.4 Determinantes de Matrices n × n
- 3.6.5 Cálculo del Determinante mediante Desarrollos de Laplace
- 3.6.6 Determinantes e Inversa de una Matriz
- 3.6.7 Propiedades de los Determinantes
- 3.6.8 Método de Gauss para el Cálculo del Determinante
- 3.6.9 Regla de Cramer
- 3.6.10 Matriz Adjunta e Inversa de una Matriz iv Índice
- 3.7 Subespacios Fundamentales de una Matriz
- 3.7.1 Espacios Columna y Fila de una Matriz
- 3.7.2 Propiedades de las Matrices Equivalentes por Filas
- 3.7.3 Rango, Núcleo y Nulidad de una Matriz
- 3.7.4 Teorema del Rango de las Matrices
- 3.7.5 Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles
- 3.7.6 Bases para los Espacios Fila, Columna y Nulo de una Matriz
- 4 Transformaciones Lineales
- 4.1 Concepto de Transformación Lineal
- 4.1.1 Forma Matricial de una Transformación Lineal
- 4.1.2 Propiedades de las Transformaciones Lineales
- 4.2 Transformaciones Lineales Elementales
- 4.2.1 Transformación Lineal de Vectores Estándar
- 4.2.2 Demostración ⇐= de la Sección 4.1.2
- 4.3 Inversa de una TL
- 4.3.1 Función Invertible
- 4.3.2 Inversa de una TL
- 4.4 Operaciones con TL
- 4.4.1 Suma de Transformaciones Lineales
- 4.4.2 Composición de Transformaciones
- 4.5 Imagen y Núcleo de una TL
- 4.5.1 Imagen de una TL
- 4.5.2 Núcleo o Espacio Nulo de una TL
- 4.5.3 Nulidad y Rango de una TL
- 4.6 Tipos de TL
- 4.6.1 Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas
- 4.6.2 Homomorfismos, Endomorfismos e Isomorfismos
- 4.7 Transformaciones Geométricas. Movimientos en R^2 y R
- 4.7.1 Traslaciones en R^2 y R
- 4.7.2 Rotaciones en R
- 4.7.3 Rotaciones en R
- 4.7.4 Reflexiones sobre Rectas en R
- 4.7.5 Reflexiones sobre Rectas en R
- 4.7.6 Reflexiones sobre Planos en R
- 4.7.7 Homotecias en R^2 y R
- 5 Bases
- 5.1 Bases en Rn
- 5.1.1 Coordenadas y Matriz asociada a una Base
- 5.2 Cambio de Base
- 5.2.1 Matriz de Cambio de Base
- 6 Ortogonalidad
- 6.1 Ortogonalidad en Rn
- 6.1.1 Conjunto Ortogonal
- 6.1.2 Vector Ortogonal a un Subespacio
- 6.2 Bases Ortogonales y Ortonormales
- 6.2.1 Bases Ortogonales
- 6.2.2 Bases Ortonormales
- 6.3 Matrices Ortogonales Índice v
- 6.3.1 Propiedades de las Matrices Ortogonales
- 6.4 TL Ortogonales
- 6.5 Complemento Ortogonal
- 6.5.1 Características del Complemento Ortogonal
- 6.5.2 Cálculo del Complemento Ortogonal
- 6.5.3 Relaciones de Ortogonalidad entre los Subespacios de una Matriz
- 6.5.4 Dimensión del Complemento Ortogonal
- 6.6 Proyección Ortogonal y Vector Perpendicular sobre Subespacios
- 6.7 Teorema de la Descomposición Ortogonal
- 6.8 Proceso de Gram-Schmidt
- 6.9 Factorización QR
- 7 Mínimos Cuadrados
- 7.1 Introducción
- 7.2 Mejor Aproximación
- 7.3 Aproximación mediante Mínimos Cuadrados
- 7.4 Mínimos Cuadrados mediante la Factorización QR
- 7.5 Error en la Aproximación por Mínimos Cuadrados: Residuos
- 7.6 Ajuste de Datos mediante Mínimos Cuadrados
- 7.6.1 Ejemplos de Problemas
- 7.7 Resumen de Fórmulas de Mínimos Cuadrados
- 8 Autovalores y Autovectores
- 8.1 Introducción: Sistemas Dinámicos Discretos
- 8.2 Autovalores y Autovectores
- 8.2.1 Interpretación Geométrica de los Autovalores y Autovectores
- 8.2.2 Determinación de Autovalores y Autovectores
- 8.2.3 Autoespacios
- 8.2.4 Multiplicidades Algebraica y Geométrica
- 8.2.5 Autovalores y Matrices Inversas
- 8.2.6 Tres Teoremas
- 8.3 Matrices Semejantes
- 8.3.1 Matrices Triangulares
- 8.3.2 Matrices Semejantes
- 8.3.3 Interpretación de la Semejanza de Matrices
- 8.4 Diagonalización
- 8.4.1 Autovalores Reales y Complejos
- 8.5 Diagonalización Ortogonal
- 8.5.1 Interpretación Geométrica de la Diagonalización Ortogonal
- 8.5.2 Teorema Espectral
- 8.5.3 Descomposición Espectral
- 8.6 Teoremas Avanzados Adicionales
- 8.7 Resumen
- 9 Pseudoinversa y Descomposición en Valores Singulares
- 9.1 Pseudoinversa de una Matriz
- 9.1.1 Propiedades de la Matriz Pseudoinversa
- 9.2 Aplicaciones de la Matriz Pseudoinversa
- 9.2.1 Mínimos Cuadrados
- 9.2.2 Matriz de una Proyección Ortogonal sobre un Subespacio
- 9.3 Descomposición en Valores Singulares (DVS) vi Índice
- 9.3.1 Valores Singulares de una Matriz
- 9.3.2 Relación entre Valores Singulares y Autovectores en Matrices Cuadradas
- 9.3.3 Descomposición en Valores Singulares (DVS)
- 9.3.4 Teorema de la Descomposición Espectral Generalizada
- 9.3.5 Relación entre las matrices AT A y AAT
- 9.4 Aplicaciones de la DVS
- 9.4.1 Pseudoinversa
- 9.4.2 Mínimos Cuadrados
- 9.4.3 Compresión de Datos
- 9.4.4 Otras Aplicaciones de la DVS
- 10 Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Coeficientes Constantes
- 10.1 Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
- 10.1.1 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
- 10.2 Solución o Curva Integral de una EDO
- 10.2.1 Resolución de EDO Simples: Método de Separación de Variables
- 10.2.2 Problema de Valores Iniciales y Condición Inicial
- 10.2.3 Solución General y Particular de una EDO
- 10.3 Interpretación Geométrica de una EDO
- 10.3.1 Campo de Pendientes
- 10.3.2 Isoclinas
- 10.4 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (SEDO)
- 10.4.1 SEDO de Primer Orden
- 10.4.2 Sistema Equivalente a EDO de Orden n
- 10.4.3 SEDO Lineales, Homogéneos y Autónomos
- 10.5 SEDO con Coeficientes Constantes, (SEDOC)
- 10.5.1 Forma Matricial de un SEDOC
- 10.5.2 Solución Analítica de un SEDOC
- 10.5.3 Solución General y Particular de un SEDOC
- 10.6 SEDOC Bidimensionales
- 10.6.1 Tipos de Soluciones
- 10.7 Sistemas Dinámicos
- 10.7.1 Sistemas Dinámicos Continuos Lineales y Homogéneos
- 10.7.2 Representación Gráfica: Trayectorias, Plano de Fases y Espacio de Fases
- 10.7.3 Puntos Criticos, Estacionarios o de Equilibrio
- 10.7.4 Campo Direccional
- 10.7.5 Separatrices
- 10.8 Estabilidad de un SEDO
- 10.8.1 Tipos de Estabilidad y Soluciones de Sistemas Dinámicos
- 10.8.2 Análisis de la Estabilidad
- APÉNDICES
- A Temas de Repaso
- A.1 Trigonometría
- A.1.1 Medida de Ángulos: Radianes
- A.1.2 Funciones Trigonométricas
- A.2 Productos Notables
- A.3 Sumatorios
- A.4 Binomio de Newton Índice vii
- A.5 Polinomios
- A.6 Distancia
- A.6.1 Valor Absoluto
- A.6.2 Distancia en R
- A.6.3 Distancia en R
- A.6.4 Distancia en R
- A.7 Vectores en el Plano y en el Espacio
- A.7.1 Vectores de Posición
- A.7.2 Vectores que no son de posición: Vectores Generales
- A.7.3 Vectores Elementales
- A.8 Vectores en Espacios Rn, Cn y Kn
- A.8.1 Caracterización de Vectores
- A.9 Fórmulas Geométricas sobre Distancias
- A.9.1 Producto Escalar y Vectorial en R
- A.9.2 Distancia de un Punto a un Recta en R
- A.9.3 Distancia entre dos Rectas paralelas en R
- A.9.4 Distancia de un Punto a un Plano en R
- A.9.5 Distancia entre dos Planos Paralelos en R
- A.9.6 Distancia de un Punto a un Recta en R
- A.9.7 Distancia entre dos Rectas paralelas en R
- A.10 Introducción a las Funciones
- A.10.1 Tipos de Funciones
- A.10.2 Representación Gráfica de Funciones Reales
- A.10.3 Tipos de Funciones
- A.10.4 Función Inversa (o Recíproca) f −^1 (x)
- A.10.5 Composición de Funciones
- B Números Complejos
- B.1 Introducción
- B.2 Cuerpo de los números Complejos
- B.2.1 Definición del número imaginario i
- B.2.2 Potencias enteras de i
- B.2.3 Definición de Número Complejo. Formas Cartesiana y Binómica
- B.3 Operaciones Básicas en C
- B.3.1 Suma de Números Complejos
- B.3.2 Producto de Números Complejos
- B.3.3 El Cuerpo de los Números Complejo
- B.4 Conjugado de un Número Complejo
- B.4.1 Propiedades del Conjugado
- B.4.2 Conjugados y División de Números Complejos
- B.5 Representación Geométrica de C
- B.5.1 El Plano Complejo
- B.5.2 Módulo de un Número Complejo
- B.5.3 Argumento de un Número Complejo
- B.6 Otras Formas de Expresar los Números Complejos
- B.7 Forma Trigonométrica y Polar
- B.7.1 Propiedades y Operaciones Básicas de la Forma Polar
- B.7.2 Exponencial Compleja. Fórmula de Euler
- B.7.3 Teorema de De Moivre
- B.7.4 Potenciación en la Forma Polar viii Índice
- B.7.5 Raíz n-ésima de un Número Complejo
- B.8 Forma Exponencial
- B.8.1 Operaciones en Forma Exponencial
- B.8.2 Seno y Coseno Complejo
- B.8.3 Logaritmo Complejo
- Bibliografía - TEMA
- 0.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas Contenido
- 0.2 Ecuaciones de la Recta en el Plano Euclídeo
- 0.2.1 Ecuación de dos Puntos
- 0.2.2 Ecuación Punto-Pendiente
- 0.2.3 Ecuación General o Cartesiana de la Recta
- 0.2.4 Casos Particulares: Rectas Horizontales y Verticales
- 0.2.5 Forma Vectorial y Paramétrica de la Recta
- 0.2.6 Ecuación Normal de la Recta
- 0.2.7 Resumen de Fórmulas: Rectas en el Plano Euclídeo
- 0.2.8 Conversión entre Formas
- 0.3 Ecuaciones del Plano en el Espacio 3D
- 0.3.1 Ecuación General del Plano
- 0.3.2 Forma Vectorial y Paramétrica del Plano
- 0.3.3 Forma Normal del Plano
- 0.3.4 Resumen Fórmulas: Planos en el Espacio 3D
- 0.3.5 Conversión entre Formas de un Plano
- 0.4 Ecuaciones de la Recta en el Espacio 3D
- 0.4.1 Forma General de la Recta
- 0.4.2 Forma Vectorial-Paramétrica de la Recta
- 0.4.3 Forma Normal de la Recta
- 0.4.4 Resumen Fórmulas: Rectas en el Espacio 3D
- 0.4.5 Conversión entre Formas
- 0.5 Geometría de los Sistemas de Ecuaciones en el Plano y en el Espacio 3D
- 0.5.1 Sistemas de Una Ecuación
- 0.5.2 Sistemas de Dos Ecuaciones
- 0.5.3 Sistemas de Tres Ecuaciones
- 0.6 Métodos Simples de Resolución de Sistemas
0.1. Sistema de Coordenadas Cartesianas 3
0.1. Sistema de Coordenadas Cartesianas
Las coordenadas cartesianas o rectangulares se usan para definir un sistema de referencia respecto a un solo eje (recta real), respecto a dos ejes (plano euclídeo) o respecto a tres ejes (espacio 3D^1 ).
En el plano euclídeo y en el espacio 3D, los ejes son perpendiculares entre sí y se cortan en un punto llamado origen de coordenadas representado por O.
X
Y
O
Z
X
Y
O
Figura 0.1.: Sistemas de coordenadas cartesianas en el plano euclídeo y en el espacio 3D.
En el plano euclídeo, los ejes se denominan:
- Eje X o de abscisa: eje horizontal.
- Eje Y o de ordenada: eje vertical.
En el espacio 3D, las coordenadas cartesianas se suelen denominar eje X, eje Y y eje Z^2. La localización de un punto en el plano euclídeo y en el espacio 3D se realiza mediante la utilización de las coordenadas cartesianas.
- Las coordenadas cartesianas de un punto P en el plano euclídeo son el par de números reales (x, y) en los cuales rectas perpendiculares a los ejes que pasan por el punto P , cortan a los ejes.
- Las coordenadas cartesianas de un punto P en el espacio 3D son la terna de números (x, y, z) en los cuales planos perpendiculares a los ejes que pasan por el punto P , cortan a los ejes.
x b(x, y)
y (^) X
Y
Z
X
Y
b
(x, y, z)
x
y
z
Figura 0.2.: Representación gráfica de puntos en el plano euclídeo y en el espacio 3D.
(^1) Espacio tridimensional euclídeo. Ver en la Sección 2.8, página 89 la definición general de espacio euclídeo. (^2) La disposición espacial de estos ejes puede variar según las diferentes aplicaciones.
Pedro José Hernando Oter (^) Clases de Álgebra
4 TEMA 0: Conceptos Básicos de Rectas y Planos
0.2. Ecuaciones de la Recta en el Plano Euclídeo
Una recta es un conjunto infinito de puntos dispuestos en una misma dirección.
Vamos a ver las diferentes formas básicas que hay de representar matemáticamente una recta en el plano euclídeo.
0.2.1. Ecuación de dos Puntos
y 0 bb
−y 0 m
θ y 1 b
x 1
y 2 b
x 2 X
Y
Figura 0.3.: Representación de una recta en el plano euclídeo y sus elementos característicos.
Por dos puntos distintos del plano euclídeo de coordenadas (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) pasa una única recta, cuyos infinitos puntos (x, y) cumplen la ecuación:
y 2 − y 1 x 2 − x 1
y − y 1 x − x 1
Despejando la variable y se obtiene la siguiente fórmula práctica:
y = y 1 +
y 2 − y 1 x 2 − x 1
(x − x 1 ) (0.2)
P Ejemplo 0.1.^ Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos^ P^1 =^ (1,^ 2)^ y P 2 = (− 1 , 3) del plano euclídeo.
Solución: Vamos a aplicar la Ecuación (0.1), tomando por ejemplo^3 P 1 = (x 1 , y1) y P 2 = (x 2 , y 2 ).
y 2 − y 1 x 2 − x 1
y − y 1 x − x 1
y − 2 x − 1
y − 2 x − 1
; −(x − 1) = 2(y − 2)
−(x − 1) = 2y − 4 ; 2 y = 4 − (x − 1) ; y = 2 −
(x − 1)
Esta misma ecuación se puede obtener aplicando directamente la Ecuación (0.2). Podemos comprobar como la fórmula obtenida se cumple para las coordenadas de los puntos P 1 y P 2 utilizados en su cálculo. (^3) Es indiferente el orden que se tome en los puntos, en este caso podríamos tomar P 2 = (x 1 , y1) y P 1 = (x 2 , y 2 ) obteniéndose el mismo resultado.
Clases de Álgebra Pedro José Hernando Oter
6 TEMA 0: Conceptos Básicos de Rectas y Planos
P Ejemplo 0.3.^ Determinar la ecuación general de la recta que tiene por pendiente^ m^ = 3/^2 y pasa por el punto P = (− 1 , 2).
Solución: Aplicando la Ecuación (0.4) se tiene:
y = y 1 + m(x − x 1 ) = 2 +
[x − (−1)] = 2 +
3 x 2
7 + 3x 2 Reordenando podemos encontrar la ecuación general de esta recta:
2 y = 7 + 3x =⇒ 3 x − 2 y = 7
0.2.4. Casos Particulares: Rectas Horizontales y Verticales
Dos casos sencillos de la ecuación general son las rectas horizontales (a = 0) con ecuación y = k, y las rectas verticales (b = 0) con ecuación x = k, siendo k una constante real.
b k
y = k
X
Y
b k
x = k
X
Y
0.2.5. Forma Vectorial y Paramétrica de la Recta
Una forma alternativa y muy útil de describir una recta es representar la dirección de la misma mediante un vector^8 , de forma que por un punto del plano euclídeo P = (x 0 , y 0 ) y con la dirección dada por el vector ~v = [v 1 , v 2 ] pasa una única recta.
b
x 0
y 0
~v
X
Y
Teniendo esto en cuenta, la ecuación vectorial de la recta tiene la siguiente forma:
b
~v ~p
~x
X
Y
~x = ~p + t~v ; t ∈ R (0.7)
(^8) Ver una introducción a los vectores en el plano euclídeo y en el espacio 3D en el Apéndice A.7, página 354 y un estudio más detallado en el Tema 2, página 63.
Clases de Álgebra Pedro José Hernando Oter
0.2. Ecuaciones de la Recta en el Plano Euclídeo 7
Los términos de esta ecuación son:
- ~x = [x, y] : vector^9 que representa a todos y cada uno de los puntos de la recta.
- ~p = [x 0 , y 0 ]: vector que posee su extremo en el punto P = (x 0 , y 0 ).
- ~v: vector en la dirección de la recta, conocido con el nombre de vector director.
- t: es un parámetro^10 que puede tomar cualquier valor real. Para cada valor del parámetro t se obtiene un punto de la recta. El parámetro t modifica el tamaño del vector director ~v, alargándolo si t > 1 , encogiéndolo si 0 < t < 1 y cambiándolo de dirección si t < 0. De esta forma el vector resultante ~x alcanza todos los puntos de la recta. Teniendo en cuenta que los vectores del plano euclídeo tienen dos componentes, la ecuación vectorial de la recta, Ecuación (0.7), se puede escribir también como^11 : [ x y
]
[
x 0 y 0
]
[
v 1 v 2
]
Esta ecuación se puede partir en dos, dando lugar a la conocida como forma paramétrica de la recta: { x = x 0 + v 1 t y = y 0 + v 2 t
Las formas vectoriales y paramétricas son elementos esenciales del Álgebra Lineal y serán muy utilizadas en los próximos temas.
P Ejemplo 0.4.^ Determinar la ecuación vectorial y paramétrica de la recta que pasa por los puntos P 1 = (1, −2) y P 2 = (− 3 , 0).
Solución: Restando las coordenadas de los puntos dados se puede obtener un vector con la dirección de la recta (vector director).
~v =
P 1 P 2 = [− 3 − 1 , 0 − (−2)] = [− 4 , −2]
Como vector director ~v podemos tomar o bien éste que acabamos de calcular o cualquiera de sus múltiplos no nulos, como por ejemplo: [− 2 , −1] ó [2, 1] ya que todos tienen la misma dirección^12. Con un vector director y un punto cualquiera de la recta, por ejemplo P 1 ó P 2 , podemos obtener una^13 ecuación vectorial de esta recta:
~x = ~x 0 + t~v ;
[
x y
]
[
]
[
]
Podemos comprobar como dando los valores t = 0 y t = − 2 se obtienen respectivamente los puntos P 1 y P 2 de la recta. (Continúa en la página siguiente) (^9) Los vectores se van a representar en este libro encerrando su coordenadas entre corchetes cuadrados, [ ]. (^10) Un parámetro es un término que puede tomar cualquier valor, pero que no es una variable del sistema. (^11) Los vectores se pueden poner indistintamente como filas o como columnas. (^12) Lo importante aquí es la dirección del vector y no su sentido. Por ello también podemos utilizar el vector − P− 2 −P→ 1 en lugar de − P− 1 −P→ 2. (^13) Hay infinitas formas de representar una recta en su forma vectorial, dependiendo del punto y vector director elegidos, pero todas representan la misma recta.
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0.2. Ecuaciones de la Recta en el Plano Euclídeo 9
0.2.6. Ecuación Normal de la Recta
Siguiendo con los conceptos vectoriales, la ecuación general de la recta^15 se puede interpretar como un determinado producto escalar^16 :
ax + by = [a, b] · [x, y] = ~n · ~x = c =⇒ ~n · ~x = c
Donde:
- ~n = [a, b] : se denomina vector normal de la recta y que tiene por componentes los coeficientes de la variables, a y b.
- ~x = [x, y] : vector que representa a todos y cada uno los puntos (x, y) de la recta^17.
- c : término independiente (constante) de la ecuación general.
La constante c es un número real y siempre se puede encontrar un determinado punto de la recta ~p = [x 0 , y 0 ] que al multiplicarlo escalarmente por el vector normal ~n se obtenga como resultado c:
~n · ~x = c =⇒ ~n · ~x = ~n · ~p
Pasando los dos términos a un mismo lado y despejando el vector normal ~n se obtiene la denominada ecuación normal de la recta:
~n · ~x − ~n · ~p = 0 =⇒ ~n · (~x − ~p) = 0 (0.10)
~x
~p
~n
x 0
y 0 b
b
X
Y
La interpretación geométrica de esta ecuación vectorial es la siguiente: la diferencia entre un vector ~x = [x, y] con extremo en cualquier punto de la recta y el vector ~p = [x 0 , y 0 ] con extremo en un determinado punto (x 0 , y 0 ) de la recta, da lugar a un nuevo vector (~x − ~p) que tiene la dirección de la recta^18. Según la Ecuación (0.10), este vector es perpendicular^19 al vector ~n, luego por tanto ~n es un vector perpendicular (normal) a la recta.
P Ejemplo 0.7.^ Encontrar la ecuación normal de la recta:^ x^ −^2 y^ = 3.
Solución: Podemos reinterpretar esta ecuación en base al producto escalar de la siguiente forma:
x − y = 1 =⇒ [1, −2] · [x, y] = 3
Un vector normal de la recta es por tanto^20 ~n = [1, −2]. Tomando un punto cualquiera de la recta, por ejemplo (3, 0) se tiene ~p = [3, 0]. Finalmente una ecuación normal de esta recta es:
[1, −2] · ([x, y] − [3, 0]) = 0
Desarrollando el producto escalar y simplificando se puede volver a recuperar la ecuación general. (^15) Ver la Ecuación 0.6, página 5. (^16) Ver la Sección 2.6, página 86. (^17) De la misma forma que se utilizó en la ecuación vectorial de la recta en la Sección 0.2.5, página 6. (^18) Es decir, es un vector director de la recta, como se explicó en Sección 0.2.5, página 6. (^19) Ya que el producto escalar de ambos es cero. (^20) Hay infinitos vectores normales a una recta, todos con la misma dirección.
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10 TEMA 0: Conceptos Básicos de Rectas y Planos
0.2.7. Resumen de Fórmulas: Rectas en el Plano Euclídeo
Ecuación Fórmula Punto-pendiente y = y 0 + mx General ax + by = c Vectorial (Paramétrica) ~x = ~p + t~v Normal ~n · (~x − ~p) = 0
0.2.8. Conversión entre Formas
General ⇐⇒ Punto-Pendiente
y = y 0 + mx =⇒ mx − y = y 0
a = m b = − 1 c = y 0
ax + by = c b 6 = =⇒ y =
c b
−a b
x
y 0 = c/b m = −a/b
! Nota 0.1. Si en al forma general b = 0, la recta es vertical y la pendiente m es infinita, por lo que este tipo de rectas
no pueden expresarse en la forma punto-pendiente.
General ⇐⇒ Vectorial (Paramétrica)
ax + by = c =⇒
x = t y = c − at
[
x y
]
[
c
]
[
−a
]
x = x 0 + v 1 t y = y 0 + v 2 t
t =
x − x 0 v 1
t =
y − y 0 v 2
x − x 0 v 1
y − y 0 v 2
Esta ecuación se denomina ecuación continua de la recta en el plano euclídeo. Si v~ 1 6 = 0^21 la ecuación general tiene la forma: v 2 v 1
x − y =
v 2 v 1
x 0 − y 0
General ⇐⇒ Normal ~n·(~x−~p) =⇒ [n 1 , n 2 ]·([x, y]−[p 1 , p 2 ] = 0 =⇒ [n 1 , n 2 ]·[x−p 1 , y−p 2 ] = 0 =⇒ n 1 (x−p 1 )+n 2 (y−p 2 ) = 0
=⇒ n 1 x + n 2 y = n 1 p 1 + n 2 p 2
a = n 1 b = n 2 c = n 1 p 1 + n 2 p 2
ax + by = c =⇒ [a, b] ·
[x, y] −
[
c b
])
~n = [a, b] ~p = [0, c/b]
! Nota 0.2. Si en la forma general b = 0, la recta es vertical y la ecuación normal se puede expresar como:
[a, 0] · ([x, y] − [a/c, 0] = 0
(^21) Si v 1 = 0, la recta es vertical y la ecuación general es x = x 0.
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