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Clases de
Álgebra Lineal
para Ingeniería
Revisión 3.0: Septiembre 201 2
Pedro José Hernando Oter
Instituto Universitario “Gregorio Millán Barbany” Grupo de Modelización, Simulación Numérica y Matemática Industrial Dep. Ciencia e Ing. de Materiales e Ing. Química Escuela Politécnica Superior UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
© Pedro José Hernando Oter, 201 2
Pedro José Hernando Oter Dep. Ciencia e Ing. de Materiales e Ing. Química Escuela Politécnica Superior UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Avda de la Universidad, 30 28911 Leganés SPAIN [email protected]
ISBN: xxx-xx-xxx-xxxx-x Revisión 3. 0 - Septiembre 201 2 Made by LATEX.
Conceptos Básicos de Rectas y Planos
- 0 Conceptos Básicos de Rectas y Planos Tema Página
- 0.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas
- 0.2 Ecuaciones de la Recta en el Plano Euclídeo
- 0.2.1 Ecuación de dos Puntos
- 0.2.2 Ecuación Punto-Pendiente
- 0.2.3 Ecuación General de la Recta
- 0.2.4 Casos Particulares: Rectas Horizontales y Verticales
- 0.2.5 Forma Vectorial y Paramétrica de la Recta
- 0.2.6 Ecuación Normal de la Recta
- 0.2.7 Resumen Fórmulas: Rectas en el Plano
- 0.2.8 Conversión entre Formas
- 0.3 Ecuaciones del Plano en el Espacio Euclídeo
- 0.3.1 Ecuación General del Plano
- 0.3.2 Forma Vectorial y Paramétrica del Plano
- 0.3.3 Forma Normal del Plano
- 0.3.4 Resumen Fórmulas: Planos en el Espacio Euclídeo
- 0.3.5 Conversión entre Formas
- 0.4 Ecuaciones de la Recta en el Espacio Euclídeo
- 0.4.1 Forma General de la Recta
- 0.4.2 Forma Vectorial-Paramétrica de la Recta
- 0.4.3 Forma Normal de la Recta
- 0.4.4 Resumen Fórmulas: Rectas en el Espacio
- 0.4.5 Conversión entre Formas
- 0.5 Geometría de los Sistemas de Ecuaciones en el Plano y en el Espacio
- 0.5.1 Sistemas de Una Ecuación
- 0.5.2 Sistemas de Dos Ecuaciones
- 0.5.3 Sistemas de Tres Ecuaciones
- 0.6 Métodos Simples de Resolución de Sistemas
- 1 Sistemas de Ecuaciones Lineales
- 1.1 Introducción a los Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL)
- 1.1.1 Características de los Sistemas de Ecuaciones
- 1.1.2 Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones
- 1.1.3 Puntos y Espacios Rn
- 1.1.4 Sistemas de Ecuaciones Lineales (SEL)
- 1.2 Geometría de los SEL en Rn
- 1.2.1 Objetos Geométricos
- 1.2.2 Dimensión de los Objetos Geométricos
- 1.2.3 Relaciones entre Objetos Geométricos ii Índice
- 1.3 Solución de un SEL en Rn
- 1.3.1 Interpetación Geométrica
- 1.3.2 Ecuaciones Equivalentes
- 1.3.3 Sistemas Compatibles e Incompatibles
- 1.4 Combinación Lineal de Ecuaciones
- 1.4.1 Propiedades de las Combinaciones Lineales
- 1.4.2 Dependencia e Independencia lineal de Ecuaciones
- 1.5 Métodos Resolución de SEL en Rn
- 1.5.1 Métodos Simples
- 1.5.2 Sistemas Escalonados o Triangulares
- 1.5.3 Sistemas Equivalentes
- 1.5.4 Operaciones Elementales de Fila
- 1.5.5 Método de Gauss o Eliminación Gaussiana
- 1.6 Matrices
- 1.6.1 Matrices Asociadas a SEL
- 1.6.2 Operaciones Elementales de Fila en la Matriz Asociada
- 1.6.3 Matriz Equivalente por Filas
- 1.6.4 Matrices Escalonadas o Triangulares
- 1.6.5 Rango de una Matriz
- 1.6.6 Teorema de Rouché-Fröbenius
- 1.7 Método de Gauss Matricial
- 1.7.1 Identificación de Sistemas Incompatibles
- 1.7.2 Identificación de Sistemas Compatibles Indeterminados
- 1.8 Método de Gauss-Jordan
- 1.8.1 Matriz Escalonada Reducida
- 1.8.2 Matriz Identidad
- 1.9 Sistemas Homogéneos
- 2 Espacios Vectoriales
- 2.1 Vectores en Espacios Rn
- 2.1.1 Representación Gráfica de Vectores
- 2.2 Operaciones Elementales con Vectores
- 2.2.1 Suma
- 2.2.2 Producto por un Escalar
- 2.2.3 Vector Opuesto y Vectores Estándar
- 2.2.4 Diferencia de Vectores
- 2.2.5 Propiedades Algebraicas de la Suma y Producto por un Escalar
- 2.3 Espacio y Subespacio Vectorial
- 2.4 Sistemas de Vectores
- 2.4.1 Combinación Lineal de Vectores
- 2.4.2 Dependencia e Independencia Lineal
- 2.4.3 Rango de un Sistema de Vectores
- 2.4.4 Interpretación Geométrica
- 2.5 Conjuntos o Sistemas Generadores
- 2.5.1 Base y Dimensión de un Sistema de Vectores
- 2.5.2 Generación de Rn
- 2.6 Producto Escalar
- 2.6.1 Propiedades del Producto Escalar
- 2.7 Distancia y Norma en Rn
- 2.7.1 Propiedades de la Distancia
- 2.7.2 Distancia de un Punto al Origen Índice iii
- 2.7.3 Norma de un Vector en Rn
- 2.7.4 Propiedades de la Norma
- 2.7.5 Vectores Unitarios y Normalización
- 2.8 Relaciones entre Vectores
- 2.8.1 Distancia entre dos Vectores
- 2.8.2 Ángulo entre dos Vectores en R
- 2.8.3 Ángulo entre dos Vectores en Rn
- 2.8.4 Definición Alternativa del Producto Escalar en Rn
- 2.9 Vectores Ortogonales
- 2.10 Proyección Ortogonal
- 2.10.1 Interpretación Geométrica en R^2 y R
- 2.10.2 Aplicaciones Geométricas de la Proyección Ortogonal
- 3 Matrices
- 3.0 Matrices
- 3.1 Operaciones Básicas con Matrices
- 3.1.1 Suma de Matrices
- 3.1.2 Producto de un Escalar por una Matriz
- 3.1.3 Diferencia o Resta de Matrices
- 3.1.4 Propiedades de la Suma y la Multiplicación por un Escalar
- 3.1.5 Espacio Vectorial de Matrices
- 3.1.6 Combinación Lineal de Matrices
- 3.2 Producto de Matrices
- 3.2.1 Propiedades de la Multiplicación de Matrices
- 3.2.2 Potencia de Matrices Cuadradas
- 3.2.3 Producto Matricial Matriz-Vector
- 3.2.4 Producto Matricial Vector-Vector
- 3.2.5 Producto Matriz-Vector Estándar
- 3.3 Expresión Matricial de un SEL
- 3.4 Matriz Transpuesta AT
- 3.4.1 Matriz Simétrica y Antisimétrica
- 3.4.2 Propiedades de la Matriz Transpuesta
- 3.5 Inversa de una Matriz
- 3.5.1 Cálculo de la Matriz Inversa: método de Gauss-Jordan
- 3.5.2 Inversa y SEL
- 3.5.3 Propiedades de las Matrices Invertibles
- 3.6 Determinantes
- 3.6.1 Introducción: Determinantes de Matrices 2 ×
- 3.6.2 Determinantes de Matrices 3 ×
- 3.6.3 Regla de Sarrus
- 3.6.4 Determinantes de Matrices n × n
- 3.6.5 Cálculo del Determinante mediante Desarrollos de Laplace
- 3.6.6 Determinantes e Inversa de una Matriz
- 3.6.7 Propiedades de los Determinantes
- 3.6.8 Método de Gauss para el Cálculo del Determinante
- 3.6.9 Regla de Cramer
- 3.6.10 Matriz Adjunta e Inversa de una Matriz
- 3.7 Subespacios Asociados a una Matriz
- 3.7.1 Espacios Columna y Fila de una Matriz
- 3.7.2 Propiedades de las Matrices Equivalentes por Filas iv Índice
- 3.7.3 Rango, Núcleo y Nulidad de una Matriz
- 3.7.4 Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles
- 3.7.5 Bases para los Espacios Fila, Columna y Nulo de una Matriz
- 4 Transformaciones Lineales
- 4.1 Concepto de Transformación Lineal
- 4.1.1 Forma Matricial de una Transformación Lineal
- 4.1.2 Propiedades de las Transformaciones Lineales
- 4.2 Transformaciones Lineales Elementales
- 4.2.1 Transformación Lineal de Vectores Estándar
- 4.2.2 Demostración ⇐= de la Sección 4.1.2
- 4.3 Inversa de una TL
- 4.3.1 Función Invertible
- 4.3.2 Inversa de una TL
- 4.4 Operaciones con TL
- 4.4.1 Suma de Transformaciones Lineales
- 4.4.2 Composición de Transformaciones
- 4.5 Imagen y Núcleo de una TL
- 4.5.1 Imagen de una TL
- 4.5.2 Núcleo o Espacio Nulo de una TL
- 4.5.3 Nulidad y Rango de una TL
- 4.6 Tipos de TL
- 4.6.1 Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas
- 4.6.2 Homomorfismos, Endomorfismos e Isomorfismos
- 4.7 Transformaciones Geométricas. Movimientos en R^2 y R
- 4.7.1 Translaciones en R^2 y R
- 4.7.2 Rotaciones en R
- 4.7.3 Rotaciones en R
- 4.7.4 Reflexiones sobre Rectas en R
- 4.7.5 Reflexiones sobre Rectas en R
- 4.7.6 Reflexiones sobre Planos en R
- 4.7.7 Homotecias en R^2 y R
- 5 Bases
- 5.1 Bases en Rn
- 5.1.1 Coordenadas y Matriz asociada a una Base
- 5.2 Cambio de Base
- 5.2.1 Matriz de Cambio de Base
- 6 Ortogonalidad
- 6.1 Ortogonalidad en Rn
- 6.1.1 Conjunto Ortogonal
- 6.1.2 Vector Ortogonal a un Subespacio
- 6.2 Bases Ortogonales y Ortonormales
- 6.2.1 Bases Ortogonales
- 6.2.2 Bases Ortonormales
- 6.3 Matrices Ortogonales
- 6.3.1 Propiedades de las Matrices Ortogonales
- 6.4 TL Ortogonales
- 6.5 Complemento Ortogonal
- 6.5.1 Propiedades del Complemento Ortogonal Índice v
- 6.5.2 Relaciones entre los Subespacios Fundamentales de una Matriz
- 6.6 Proyección Ortogonal sobre Subespacios
- 6.6.1 Propiedades del Complemento Ortogonal
- 6.7 Proceso de Gram-Schmidt
- 6.8 Factorización QR
- 7 Mínimos Cuadrados
- 7.1 Introducción
- 7.2 Mejor Aproximación
- 7.3 Aproximación mediante Mínimos Cuadrados
- 7.4 Mínimos Cuadrados mediante la Factorización QR
- 7.5 Error en la Aproximación por Mínimos Cuadrados: Residuos
- 7.6 Ajuste de Datos mediante Mínimos Cuadrados
- 7.6.1 Ejemplos de Problemas
- 7.7 Resumen de Fórmulas de Mínimos Cuadrados
- 8 Autovalores y Autovectores
- 8.1 Introducción: Sistemas Dinámicos Discretos
- 8.2 Autovalores y Autovectores
- 8.2.1 Interpretación Geométrica de los Autovalores y Autovectores
- 8.2.2 Determinación de Autovalores y Autovectores
- 8.2.3 Autoespacios
- 8.2.4 Multiplicidades Algebraica y Geométrica
- 8.2.5 Autovalores y Matrices Inversas
- 8.2.6 Tres Teoremas
- 8.3 Semejanza y Diagonalización
- 8.3.1 Matrices Triangulares
- 8.3.2 Matrices Semejantes
- 8.3.3 Diagonalización
- 8.3.4 Autovalores Reales y Complejos
- 8.4 Diagonalización Ortogonal
- 8.4.1 Interpretación Geométrica de la Diagonalización Ortogonal
- 8.4.2 Teorema Espectral
- 8.4.3 Descomposición Espectral
- 8.5 Teoremas Avanzados Adicionales
- 8.6 Resumen
- 9 Pseudoinversa y Descomposición en Valores Singulares
- 9.1 Pseudoinversa de una Matriz
- 9.1.1 Propiedades de la Matriz Pseudoinversa
- 9.2 Aplicaciones de la Matriz Pseudoinversa
- 9.2.1 Mínimos Cuadrados
- 9.2.2 Matriz de una Proyección Ortogonal sobre un Subespacio
- 9.3 Descomposición en Valores Singulares (DVS)
- 9.3.1 Valores Singulares de una Matriz
- 9.3.2 Relación entre Valores Singulares y Autovectores en Matrices Cuadradas
- 9.3.3 Descomposición en Valores Singulares
- 9.3.4 Relación entre las matrices AT A y AAT
- 9.4 Aplicaciones de la DVS
- 9.4.1 Pseudoinversa
- 9.4.2 Mínimos Cuadrados vi Índice
- 9.4.3 Otras Aplicaciones de la DVS
- 10 Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Coeficientes Constantes
- 10.1 Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
- 10.1.1 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
- 10.2 Solución o Curva Integral de una EDO
- 10.2.1 Resolución de EDO Simples: Método de Separación de Variables
- 10.2.2 Problema de Valores Iniciales y Condición Inicial
- 10.2.3 Solución General y Particular de una EDO
- 10.3 Interpretación Geométrica de una EDO
- 10.3.1 Campo de Pendientes
- 10.3.2 Isoclinas
- 10.4 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (SEDO)
- 10.4.1 SEDO de Primer Orden
- 10.4.2 Sistema Equivalente a EDO de Orden n
- 10.4.3 SEDO Lineales, Homogéneos y Autónomos
- 10.5 SEDO con Coeficientes Constantes, (SEDOC)
- 10.5.1 Forma Matricial de un SEDOC
- 10.5.2 Solución Analítica de un SEDOC
- 10.5.3 Solución General y Particular de un SEDOC
- 10.6 SEDOC Bidimensionales
- 10.6.1 Tipos de Soluciones
- 10.7 Sistemas Dinámicos
- 10.7.1 Sistemas Dinámicos Continuos Lineales y Homogéneos
- 10.7.2 Representación Gráfica: Trayectorias, Plano de Fases y Espacio de Fases
- 10.7.3 Puntos Criticos, Estacionarios o de Equilibrio
- 10.7.4 Campo Direccional
- 10.7.5 Separatrices
- 10.8 Estabilidad de un SEDO
- 10.8.1 Tipos de Estabilidad y Soluciones de Sistemas Dinámicos
- 10.8.2 Análisis de la Estabilidad
- APÉNDICES
- A Temas de Repaso
- A.1 Trigonometría
- A.2 Productos Notables
- A.3 Polinomios
- A.4 Distancia
- A.4.1 Valor Absoluto
- A.4.2 Distancia en R
- A.4.3 Distancia en R
- A.4.4 Distancia en R
- A.5 Vectores en el Plano y en el Espacio
- A.5.1 Vectores de Posición
- A.5.2 Vectores que no son de posición: Vectores Generales
- A.5.3 Vectores Elementales
- A.6 Vectores en Espacios Rn, Cn y Kn
- A.6.1 Caracterización de Vectores Índice vii
- A.7 Fórmulas Geométricas sobre Distancias
- A.7.1 Producto Escalar y Vectorial en R
- A.7.2 Distancia de un Punto a un Recta en R
- A.7.3 Distancia entre dos Rectas paralelas en R
- A.7.4 Distancia de un Punto a un Plano en R
- A.7.5 Distancia entre dos Planos Paralelos en R
- A.7.6 Distancia de un Punto a un Recta en R
- A.7.7 Distancia entre dos Rectas paralelas en R
- A.8 Sumatorios
- A.9 Introducción a las Funciones
- A.9.1 Tipos de Funciones
- A.9.2 Representación Gráfica de Funciones Reales
- A.9.3 Tipos de Funciones
- A.9.4 Función Inversa (o Recíproca) f −^1 (x)
- A.9.5 Composición de Funciones
- B Números Complejos
- B.1 Introducción
- B.2 Cuerpo de los números Complejos
- B.2.1 Definición del número imaginario i
- B.2.2 Potencias enteras de i
- B.2.3 Definición de Número Complejo. Formas Cartesiana y Binómica
- B.3 Operaciones Básicas en C
- B.3.1 Suma de Números Complejos
- B.3.2 Producto de Números Complejos
- B.3.3 El Cuerpo de los Números Complejo
- B.4 Conjugado de un Número Complejo
- B.4.1 Propiedades del Conjugado
- B.4.2 Conjugados y División de Números Complejos
- B.5 Representación Geométrica de C
- B.5.1 El Plano Complejo
- B.5.2 Módulo de un Número Complejo
- B.5.3 Argumento de un Número Complejo
- B.6 Otras Formas de Expresar los Números Complejos
- B.7 Forma Trigonométrica y Polar
- B.7.1 Propiedades y Operaciones Básicas de la Forma Polar
- B.7.2 Exponencial Compleja. Fórmula de Euler
- B.7.3 Teorema de De Moivre
- B.7.4 Potenciación en la Forma Polar
- B.7.5 Raíz n-ésima de un Número Complejo
- B.8 Forma Exponencial
- B.8.1 Operaciones en Forma Exponencial
- B.8.2 Seno y Coseno Complejo
- B.8.3 Logaritmo Complejo
- Bibliografía
- 0.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas Contenido
- 0.2 Ecuaciones de la Recta en el Plano Euclídeo
- 0.2.1 Ecuación de dos Puntos
- 0.2.2 Ecuación Punto-Pendiente
- 0.2.3 Ecuación General de la Recta
- 0.2.4 Casos Particulares: Rectas Horizontales y Verticales
- 0.2.5 Forma Vectorial y Paramétrica de la Recta
- 0.2.6 Ecuación Normal de la Recta
- 0.2.7 Resumen Fórmulas: Rectas en el Plano
- 0.2.8 Conversión entre Formas
- 0.3 Ecuaciones del Plano en el Espacio Euclídeo
- 0.3.1 Ecuación General del Plano
- 0.3.2 Forma Vectorial y Paramétrica del Plano
- 0.3.3 Forma Normal del Plano
- 0.3.4 Resumen Fórmulas: Planos en el Espacio Euclídeo
- 0.3.5 Conversión entre Formas
- 0.4 Ecuaciones de la Recta en el Espacio Euclídeo
- 0.4.1 Forma General de la Recta
- 0.4.2 Forma Vectorial-Paramétrica de la Recta
- 0.4.3 Forma Normal de la Recta
- 0.4.4 Resumen Fórmulas: Rectas en el Espacio
- 0.4.5 Conversión entre Formas
- 0.5 Geometría de los Sistemas de Ecuaciones en el Plano y en el Espacio
- 0.5.1 Sistemas de Una Ecuación
- 0.5.2 Sistemas de Dos Ecuaciones
- 0.5.3 Sistemas de Tres Ecuaciones
- 0.6 Métodos Simples de Resolución de Sistemas
2 TEMA 0: Conceptos Básicos de Rectas y Planos
Rectas y Planos
Coordenadas Cartesianas
Ecuaciones Básicas
Plano Euclídeo
Rectas
Ec. Dos Puntos Ec. Punto-Pendiente
Ec. General
Ec. Vectorial Ec. Paramétrica
Ec. Normal
Espacio Euclídeo
Planos
Ec. General
Ec. Vectorial Ec. Paramétrica
Ec. Normal
Rectas
Ec. General
Ec. Vectorial Ec. Paramétrica
Ec. Normal
Geometria de Sist. de Ec. Lineales
Sist. 1 Ecuación
Sist. 2 Ecuaciones
Sist. 3 Ecuaciones
Métodos Simples de Resolución de Sistemas Igualación
Sustitución
Reducción
Clases de Álgebra Pedro José Hernando Oter
4 TEMA 0: Conceptos Básicos de Rectas y Planos
0.2. Ecuaciones de la Recta en el Plano Euclídeo
Una recta es un conjunto infinitos de puntos dispuestos en una misma dirección.
Vamos a ver las diferentes formas básicas que hay de representar matemáticamente una recta en el plano euclídeo.
0.2.1. Ecuación de dos Puntos
y (^0) bb
−y 0 m
θ y 1 b
x 1
y 2 b
x 2 X
Y
Figura 0.3.: Representación de una recta en el plano y sus elementos característicos.
Por dos puntos distintos del plano de coordenadas (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) pasa una única recta, cuyos infinitos puntos (x, y) cumplen la ecuación:
y 2 − y 1 x 2 − x 1
y − y 1 x − x 1
Despejando la variable y se obtiene la siguiente fórmula:
y = y 1 +
y 2 − y 1 x 2 − x 1
(x − x 1 ) (0.2)
0.2.2. Ecuación Punto-Pendiente
Se denomina pendiente a la inclinación de una recta. Conociendo dos puntos de una recta, su pendiente m se puede determinar como:
m = y 2 − y 1 x 2 − x 1
; tan θ = m (0.3)
El valor de m puede ser cualquier número real (negativo, cero o positivo) o bien infinito si la recta es vertical^2. El ángulo de inclinación de la recta θ se puede obtener calculando la arcotangente^3 de m. Sustituyendo en la Ecuación (0.2) se obtiene la ecuación de la recta que pasa por un punto (x 1 , y 1 ) y tiene por pendiente m, conocida como ecuación punto-pendiente:
y = y 1 + m(x − x 1 ) (0.4) (^2) Ver la Sección 0.2.4, página 5. (^3) Ver el Apéndice A.1, página 294.
Clases de Álgebra Pedro José Hernando Oter
0.2. Ecuaciones de la Recta en el Plano Euclídeo 5
Si desarrollamos el paréntesis y denominamos y 0 = y 1 −mx 1 , se obtiene la ecuación punto-pendiente simplificada:
y = y 0 + mx (0.5)
El valor y 0 corresponde con la ordenada del punto de corte de la recta con el eje Y , (ver la Figura 0.3).
0.2.3. Ecuación General de la Recta
Una forma muy práctica de representar una recta en el plano euclídeo es mediante su ecuación general:
ax + by = c ; a, b, c ∈ R (0.6)
donde los valores a, b y c son número reales. Esta ecuación se puede obtener multiplicando la Ecuación (0.5) por un número b distinto de cero^4 y llamando a = bm y c = by 0.
0.2.4. Casos Particulares: Rectas Horizontales y Verticales
Dos casos sencillos de la ecuación general son las rectas horizontales (a = 0) y verticales (b = 0).
b k
y = k
X
Y
b k
x = k
X
Y
0.2.5. Forma Vectorial y Paramétrica de la Recta
Una forma alternativa y muy útil de describir una recta es representar la dirección de la misma mediante un vector^5 , de forma que por un punto del plano P = (x 0 , y 0 ) y con la dirección dada por el el vector ~v = [v 1 , v 2 ] pasa una única recta.
b
x 0
y 0
~v
X
Y
Teniendo esto en cuenta, la ecuación vectorial de la recta tiene la siguiente forma:
~x = ~p + t~v ; t ∈ R (0.7)
(^4) En la ecuación general el valor b puede ser cero dando lugar a una recta vertical con pendiente infinita. (^5) Ver una introducción a los vectores en el plano y en el espacio en el Apéndice A.5, página 298 y un estudio más detallado en el Tema 2, página 57.
Pedro José Hernando Oter (^) Clases de Álgebra
0.2. Ecuaciones de la Recta en el Plano Euclídeo 7
El valor c es un número real e independientemente de su valor siempre se puede encontrar un determinado vector ~p que al multiplicarlo escalarmente por el vector normal ~n se obtenga como resultado c: ~n · ~x = c =⇒ ~n · ~x = ~n · ~p Pasándo los dos términos a un mismo lado y despejando el vector normal ~n se obtiene la denominada ecuación normal de la recta:
~n · (~x − ~p) = 0 (0.10)
Esta ecuación tiene una interpretación geométrica interesante, si consideramos al vector normal ~n un vector cualquiera perpendicular a la recta y siendo ~p un vector fijo cuyas componentes son las coordenadas de un punto cualquiera de la recta, como muestra la siguiente figura:
b (^) ~x
~p
~n
X
Y
Tener en cuenta que la diferencia de vectores (~x − ~p) representa un vector en la dirección de la recta^11 y que este vector es perpendicular al vector normal ~v y por tanto su producto escalar es igual a cero.
0.2.7. Resumen Fórmulas: Rectas en el Plano
Ecuación Fórmula Punto-pendiente y = y 0 + mx General ax + by = c Vectorial (Paramétrica) ~x = ~p + t~v Normal ~n · (~x − ~p) = 0
0.2.8. Conversión entre Formas
General ⇐⇒ Punto-Pendiente
y = y 0 + mx =⇒ mx − y = y 0
a = m b = − 1 c = y 0
ax + by = c
b 6 = =⇒ y =
c b
−a b x
y 0 = c/b m = −a/b
! Nota 0.1. Si en al forma general b = 0, la recta es vertical y la pendiente m es infinita, por lo que este tipo de rectas
no pueden expresarse en la forma punto-pendiente.
(^11) Es decir, es un vector director de la recta, como se explicó en Sección 0.2.5, página 5.
Pedro José Hernando Oter (^) Clases de Álgebra
8 TEMA 0: Conceptos Básicos de Rectas y Planos
General ⇐⇒ Vectorial (Paramétrica)
ax + by = c =⇒
x = t y = c − at
[
x y
]
[
c
]
[
−a
]
x = x 0 + v 1 t y = y 0 + v 2 t
t = x − x 0 v 1
t = y − y 0 v 2
x − x 0 v 1
y − y 0 v 2
Esta ecuación se denomina ecuación continua de la recta en el plano euclídeo. Si v~ 1 6 = 0^12 la ecuación general tiene la forma: v 2 v 1
x − y =
v 2 v 1
x 0 − y 0
General ⇐⇒ Normal ~n·(~x−~p) =⇒ [n 1 , n 2 ]·([x, y]−[p 1 , p 2 ] = 0 =⇒ [n 1 , n 2 ]·[x−p 1 , y−p 2 ] = 0 =⇒ n 1 (x−p 1 )+n 2 (y−p 2 ) = 0
=⇒ n 1 x + n 2 y = n 1 p 1 + n 2 p 2
a = n 1 b = n 2 c = n 1 p 1 + n 2 p 2
ax + by = c =⇒ [a, b] ·
[x, y] −
[
c b
])
~n = [a, b] ~p = [0, c/b]
! Nota 0.2. Si en la forma general b = 0, la recta es vertical y la ecuación normal se puede expresar como:
[a, 0] · ([x, y] − [a/c, 0] = 0
P Ejemplo 0.1.^ Encontrar las distintas formas de expresar matemáticamente la recta que pasa por los puntos P 1 = (1, −2) y P 2 = (0, 3) del plano euclídeo y expecificar sus valores característicos: pendiente, vector director, vector normal y puntos de corte con los ejes X e Y.
Solución: Aplicando la ecuación de dos puntos podemos obtener la ecuación punto-pendiente de la recta. y − (−2) x − 1
; y = − 2 − 5(x − 1) ; y = 3 − 5 x
Con esta ecuación podemos determinar fácilmente la pendiente y los puntos de corte con el eje X (valor de la x para y = 0) y con el eje Y (valor de la y para x = 0):
pendiente: m = − 5 ; Corte eje X:
; Corte eje Y : (0, 3)
(Continúa en la página siguiente)
(^12) Si v 1 = 0, la recta es vertical y la ecuación general es x = x 0.
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10 TEMA 0: Conceptos Básicos de Rectas y Planos
P Ejemplo 0.2 (Continuación).
b) En este caso, las rectas deben ser perpendiculares. Teniendo en cuenta que las pendientes m y m′^ de dos rectas perpendiculares cumplen:
m = −
m′
Como la pendiente de la recta dada es m′^ = 3, la pendiente de la recta pedida es m = − 1 / 3. Teniendo en cuenta que pasa por el punto (1, 2) se tiene finalmente:
y = a −
x ; 2 = a −
; a =
=⇒ y =
x 3
0.3. Ecuaciones del Plano en el Espacio Euclídeo
Un plano es un ente bidimensional que posee infinitos puntos e infinitas rectas.
Las formas de representar matemáticamente un plano en el espacio euclídeo son similares a las de las rectas en el plano euclídeo vistas en la sección anterior, añadiendo una dimensión^15 más.
0.3.1. Ecuación General del Plano
La ecuación general de un plano en el espacio se puede expresar como:
ax + by + cz = d ; a, b, c ∈ R
c 6 = =⇒ z = a′x + b′y + d′
Z
X
Y
d c
d d^ b a
Z
X
Y
Z
X
Y
y = 0^ x^ = 0
z = 0
Características de las constantes a, b, c y d:
- Si a 6 = 0 el plano corta al eje X, de otra forma el plano es paralelo a dicho eje.
- Si b 6 = 0 el plano corta al eje Y , de otra forma el plano es paralelo a dicho eje.
- Si c 6 = 0 el plano corta al eje Z, de otra forma el plano es paralelo a dicho eje.
- Si d = 0 el plano pasa por el origen de coordenadas O(0, 0 , 0).
(^15) El concepto de dimensión será estudiado en más detalle en las siguientes temas.
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0.3. Ecuaciones del Plano en el Espacio Euclídeo 11
0.3.2. Forma Vectorial y Paramétrica del Plano
Una forma alternativa de describir un plano es a partir de un punto del plano^16 ~p = [x 0 , y 0 , z 0 ] y dos vectores contenidos en el mismo ~u = [u 1 , u 2 , u 3 ] y ~v = [v 1 , v 2 , v 3 ].
b^ ~u ~v
~p b
El conjunto de todos los puntos del plano (x, y, z) viene dado por las siguientes ecuaciones, donde la variables t, s ∈ R son parámetros.
F. Vectorial:
~x = ~p + t~u + s~v
x y z
x 0 y 0 z 0
(^) + t
u 1 u 2 u 3
(^) + s
v 1 v 2 v 3
F. Paramétrica:
x = x 0 + tu 1 + sv 1 y = y 0 + tu 2 + sv 2 z = z 0 + tu 3 + sv 3
Notar que la forma vectorial del plano en el espacio tiene vectores de tres componentes y posee dos parámetros^17.
0.3.3. Forma Normal del Plano
La forma normal de un plano se puede obtener de la forma general del mismo modo que se realizó con la recta en el plano^18.
ax + by + cz = d =⇒
~n = [a, b, c] ~x = [x, y, z]
=⇒ ~n · ~x = d =⇒ ~n · ~x = ~n · ~p =⇒ ~n · (~x − ~p) = 0
bb (^) b ~p
~n
~x
~x = [x, y, z] Todos los puntos del plano (variable).
~n = [a, b, c] Un vector normal al plano (constante).
~p = [x 0 , y 0 , z 0 ] Un punto cualquiera del plano (constante)
Notar que la ecuación normal de un plano en el espacio es exactamente igual que la ecuación normal de una recta en el plano^19 , aunque los vectores tienen tres componentes en lugar de dos.
(^16) El punto está expresado en forma vectorial, de igual forma que se realizó en la forma vectorial de una recta en el plano, (ver la Sección 0.2.5, página 5). (^17) A diferencia de la formaa vectorial de la recta en el plano donde los vectores tienen dos componenentes y sólo posee un parámetro, (ver la Sección 0.2.5, página 5). (^18) Ver la Sección 0.2.6, página 6. (^19) Ver la Sección 0.2.6, página 6.
Pedro José Hernando Oter (^) Clases de Álgebra
