ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA
GUIA DE ACTIVIDADES MOMENTO 4
INTEGRANTES
JESUS ALEXIS CUERVO
JUAN DAVID SALCEDO
NATALIA RUIZ
JHOAN SEBASTIAN TUNJANO
2016
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Algebra Ejercicios Colaborativos, Ejercicios de Álgebra
Desarrollo de ejercicios de Algebra
Tipo: Ejercicios
2020/2021
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ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA
GUIA DE ACTIVIDADES MOMENTO 4
INTEGRANTES
JESUS ALEXIS CUERVO
JUAN DAVID SALCEDO
NATALIA RUIZ
JHOAN SEBASTIAN TUNJANO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
INTRODUCCION
La presente actividad tiene como fin, el desarrollo de ciertos aspectos de algebra, como el tema de graficas cónicas, elipses, hipérbolas, parábolas, circunferencias, así mismo el conocimiento de la conversión de productorias y sumatorias
Con esto se aumentara nuestras habilidades en matemáticas, y conoceremos muchos aspectos los cuales serán una base que nos ayudara en futuros temas matemáticos y de cálculo.
Ejercicio 1
4𝑥^2 + 9𝑦^2 + 24𝑥 + 36𝑦 + 36 = 0 → 4𝑥^2 + 9𝑦^2 + 24𝑥 + 36𝑦 = − 4(𝑥^2 + 6𝑥) + 9(𝑦^2 + 4) = −36 → 4(𝑥^2 + 6𝑥 + 9) + 9(𝑦^2 + 4 + 4) = −36 + 36 + 36
4(𝑥^2 + 6𝑥 + 9) + 9(𝑦^2 + 4 + 4) = 36 →
4(𝑥 + 3)^2
9(𝑥 + 2)^2
(𝑥 + 3)^2
(𝑦 + 2)^2
Aquí se cumple que esta fórmula es igual a la ecuación de la elipse (𝑥−ℎ)
2 𝑎^2 +^
(𝑦−𝑘)^2 𝑏^2 = 1
Reemplazamos los valores con los de la ecuación.
−ℎ = 3 → ℎ = −3 𝑦 − 𝑘 = 2 → 𝑘 = −
Con esto ya sabemos cuál es el centro de la elipse C = (-3,-2)
𝑎^2 = 9 → √𝑎^2 = √9 → 𝑎 = 3 𝑦 𝑏^2 = 4 → √𝑏^2 = √4 → 𝑎 = 2
𝑐 = √𝑎^2 − 𝑏^2 = √9 − 4 = √5 ≈ 2,
𝑥^2 𝑎^2 + 𝑎^2 𝑐^2 + 𝑦^2 𝑎^2 = 𝑥^2 𝑐^2 + 𝑎^4 → 𝑥^2 𝑎^2 + 𝑎^2 𝑐^2 + 𝑦^2 𝑎^2 − 𝑥^2 𝑐^2 − 𝑎^4 = 0
Se realiza factor con la variable x y a. para poder formar la ecuación final
𝑥^2 (𝑐^2 − 𝑎^2 ) + 𝑦^2 𝑎^2 = 𝑎^2 (𝑐^2 − 𝑎^2 )^ →
𝑥^2 (𝑐^2 − 𝑎^2 )
𝑎^2 (𝑐^2 − 𝑎^2 ) +^
𝑦^2 𝑎^2
𝑎^2 (𝑐^2 − 𝑎^2 ) =
𝑎^2 (𝑐^2 − 𝑎^2 )
𝑎^2 (𝑐^2 − 𝑎^2 )
Se elimina términos semejantes y finalmente quedara la ecuación así:
Como sabemos para hallar a b, basta con tener la resta entre a y c.
𝑥^2
𝑎^2 +
𝑦^2
𝑏^2 = 1
Ejercicio 3.
9𝑥^2 − 4𝑦^2 − 54𝑥 + 8𝑦 + 113 = 0 → 9𝑥^2 − 54𝑥 − 4𝑦^2 + 8𝑦 = − (9𝑥^2 − 54𝑥) − (4𝑦^2 − 8𝑦) = −113 → 9(𝑥^2 − 6𝑥) − 4(𝑦^2 − 2𝑦) = − 9(𝑥^2 − 6𝑥 + 9) − 4(𝑦^2 − 2𝑦 + 1) = −36 → 9(𝑥 − 3)^2 − 4(𝑦 − 1)^2 = − 9(𝑥 − 3)^2 −36 −
4(𝑦 − 1)^2
−36 = 1^ →^ −
(𝑥 − 3)^2
(𝑦 − 1)^2
(𝑦 − 1)^2
(𝑥 − 3)^2
Hallamos en centro de la hipérbola de la siguiente manera.
−ℎ = −3 → ℎ = 3 𝑦 − 𝑘 = −1 → 𝑘 = 1
Nuestro centro es (3,1).
𝑎^2 = 9 → 𝑎 = 3 𝑦 𝑏^2 = 4 → 𝑏 = 2
𝑐 = √𝑎^2 − 𝑏^2 → √9 + 4 = √13 ≈ 3,
Vértices = (3,4) y (3,-2)
Focos= (3, 4.60) y (3, -2,60)
Ejercicio 4
√(𝑥 − 𝑐)^2 + 𝑦^2 − √(𝑥 + 𝑐)^2 + 𝑦^2 = 2𝑎
(√(𝑥 − 𝑐)^2 + 𝑦^2 )
2 = (2𝑎 + √(𝑥 + 𝑐)^2 + 𝑦^2 )
2
(𝑥 − 𝑐)^2 + 𝑦^2 = 4𝑎^2 + 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)^2 + 𝑦^2 + (𝑥 + 𝑐)^2 + 𝑦^2
𝑥^2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐^2 + 𝑦^2 = 4𝑎^2 + 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)^2 + 𝑦^2 + 𝑥^2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐^2 + 𝑦^2
−4𝑥𝑐 − 4𝑎^2 = −4𝑎√(𝑥 + 𝑐)^2 + 𝑦^2
(−1) 4𝑥𝑐 + 4𝑎^2 = 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)^2 + 𝑦^2
4𝑥𝑐 + 4𝑎^2
4𝑎√(𝑥 + 𝑐)^2 + 𝑦^2
(𝑥𝑐 + 𝑎^2 )^2 = (𝑎√(𝑥 + 𝑐)^2 + 𝑦^2 )
2
𝑥^2 𝑐^2 + 2𝑎^2 𝑥𝑐 + 𝑎^4 = 𝑎^2 [(𝑥 + 𝑐)^2 + 𝑦^2 ]
𝑥^2 𝑐^2 + 2𝑎^2 𝑥𝑐 + 𝑎^4 = 𝑎^2 (𝑥^2 + 2𝑥𝑐 + 𝑎^2 𝑐^2 + 𝑦^2 )
𝑥^2 𝑐^2 + 2𝑎^2 𝑥𝑐 + 𝑎^4 = 𝑥^2 𝑎^2 + 2𝑎^2 𝑥𝑐+𝑎^2 𝑐^2 + 𝑦^2 𝑎^2 → 𝑥^2 𝑐^2 + 𝑎^4
= 𝑥^2 𝑎^2 + 𝑎^2 𝑐^2 + 𝑦^2 𝑎^2
𝑥^2 𝑐^2 + 𝑎^4 − 𝑥^2 𝑎^2 − 𝑎^2 𝑐^2 − 𝑦^2 𝑎^2 = 0 → 𝑥^2 (𝑐^2 − 𝑎^2 ) − 𝑦^2 𝑎^2 = 𝑎^2 (𝑐^2 − 𝑎^2 )
Ejercicio 6
4𝑥^2 − 20𝑥 − 25𝑦 + 97 = 0 → 4𝑥^2 − 20𝑥 = 25𝑦 − 97
4 (𝑥^2 − 5𝑥 + (
2 ) = 24𝑦 − 97 + 25 → 4 (𝑥^2 − 5𝑥 +
4(𝑥 −^52 )^2
4 →^ (𝑥 −
2 = 6(𝑦 − 3)
La fórmula de una parábola vertical es (𝑥 − ℎ)^2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
Así que nuestros vértices serán (5/2 , 3)
Y nuestro foco será (^52 , 6), y la directriz para una parábola vertical es h – p entonces reemplazando nuestra directriz es igual a 1.
Ejercicio 7
Para hallar la ecuación de la recta primero hallaremos el punto donde corta el eje y.
5𝑥 + 4𝑦 = −8 → 4𝑦 = −5𝑥 − 8 → 𝑦 = −
4 →^ 𝑦 = −
Nuestro punto de corte es (0,-2)
Y ahora hallaremos la pendiente de la recta perpendicular.
3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 → −2𝑦 = −3𝑥 − 6 → 𝑦 =
La primera pendiente es 3/2 y para poder hallar la pendiente de nuestra recta se debe conocer la fórmula que dice que la multiplicación de las dos pendientes debe ser igual a -1.
3 2 ∗ 𝑚2 = −1^ →^ 𝑚2 =
Conociendo la pendiente de la recta podemos encontrar la fórmula de la siguiente manera.
𝑦 − (−2) = −
(𝑥 − 0) → 𝑦 + 2 = −^2
3 𝑥^ →^ 𝑦 = −
Ejercicio 9
2
𝑖=−
2
𝑖=− (3(−1) + 3) ∗ (3(0) + 3) ∗ (3(1) + 3) ∗ (3(2) + 3) (−3 + 3) ∗ (0 + 3) ∗ (3 + 3) ∗ (6 + 3) 0 ∗ 3 ∗ 6 ∗ 9 = 0 + 4 = 4
CONCLUSION.
El avance en los temas de algebra son una preparación para el área siguiente (calculo), el conocimiento en las funciones cónicas, las sumatorias y productorias, las cuales ya son temas aplicadas al cálculo, serán de gran utilidad para poder fortalecer los conocimientos y habilidades matemáticas adquiridas durante las unidades vistas en la materia.