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MATEMÁTICA
MÓDULO 4
Eje temático: Álgebra y funciones
LOGARITMOS
Si nos preguntamos: ¿a cuánto hay que elevar el número 2 para obtener 3?, la respuesta es un número irracional entre 1 y 2. Este número, por definición, se denomina “logaritmo en base dos de tres”, lo que se anota log 2 3.
En la expresión loga b, a se denomina base del logaritmo y b se llama argumento , con a>0, b>0 y a ≠1.
Por lo tanto la definición de logaritmo es:
loga b = n ⇔ an^ = b (a>0, b>0, a ≠1)
A partir de esta definición, se pueden deducir las siguientes propiedades básicas.
1. Propiedades de logaritmos
Las siguientes igualdades son válidas solo para aquellos valores donde esté definido el logaritmo, es decir: a>
(1) loga a = 1 (2) loga1 = 0 (3) loga an^ = n
(4) alog n a =n
Las tres primeras propiedades las puedes verificar inmediatamente a partir de la definición; la última requiere un poco más de elaboración.
Supongamos que ab^ = n (con a>0). A partir de la definición de logaritmo, lo anterior es equivalente a: loga n = b. Si reemplazamos este valor de b en la igualdad anterior, obtenemos:
alog n a = , que es lo que se quería demostrar.
Aparte de las cuatro propiedades básicas anteriores, tenemos las siguientes:
(5) logc (ab) = logc a + logc b
(6) (^) c c
a
lo g log a logc b
b
⎜ ⎟=^ −
(7) logc an^ = nlogc a
(8) Si logc a = logc b ⇒ a = b Para que se cumplan las propiedades anteriores es necesario que a>0, b>0 y c>0.
A continuación demostraremos solo una de estas propiedades. Las demás se pueden demostrar de forma similar.
Demostración de propiedad (5)
logc (ab) = logc a + logc b
Supongamos que logc (ab) = x ; logc a = y ; logc b = z. Si demostramos que x = y + z, la propiedad (5) está demostrada.
Si logc (ab) = x ⇒ cx^ = ab.
Si logc a = y ⇒ cy^ = a y si logc b = z ⇒ cz^ = b.
Entonces: cy^.^ cz^ = ab , pero cy^.^ cz^ = cy+z.
Por lo tanto cy+z^ = ab y cx^ = ab, de modo que: cx^ = c y+z^ ⇒ x = y + z.
Hemos efectuado esta demostración solo con el objetivo de que entiendas el por qué de ella, pero lo más importante es que la apliques bien y no las confundas.
Por ejemplo, de la propiedad (5) se puede deducir que:
log 2 8 = log 2 4 + log 22
lo que es correcto, ya que log 2 8 = 3 ; log 2 4 = 2 y log 2 2 = 1 y 3 = 2 + 1
Ejercicios resueltos:
- Calcular log 4 8
Supongamos que log 4 8 = x, entonces por la definición: 4x^ = 8, igualando bases:
2 2x^ = 2^3
x
⇒ = , por lo tanto: log 4 8 =
- Desarrollar la expresión: (^2)
ab
log
c
utilizando las propiedades 5,6 y 7:
2 2
ab
log log ab log c log a logb 2log c
c
⎜ ⎟=^ −^ =^ +^ −
- Expresar en un solo logaritmo la expresión: 2log a – log b – 3log c.
En este ejercicio se solicita lo contrario que en el anterior:
Primero ocupamos la propiedad 7:
log a^2 – log b – log c^3
Ahora utilizamos la propiedad 6:
2
log a log c^3
b
Volviendo a utilizar la propiedad 6 obtenemos:
2 3
a
log
bc
- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. log (0,2) + log (0,3) < 0. II. log 3 – log (0,2) < 0. III. log 3.^ log (0,1) < 0.
Por la propiedad 5:
log (0,2) + log (0,3) = log (0,2.^ 0,3) = log (0,06) < 0
I es verdadera.
Por la propiedad 6:
log 3 – log (0,2) =
log log 15
II es falsa.
log 3 > 0 y log (0,1) < 0, por lo tanto: log 3.^ log (0,1) < 0
III es verdadera.
3. Ecuaciones exponenciales
Cuando no podemos igualar las bases en una ecuación exponencial aplicamos logaritmos a ambos lados de la ecuación, tal como lo ilustra el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación: 2 x+1^ = 3
Aplicamos logaritmo (en base 10 u otra base) a ambos lados de la ecuación:
2 x+1^ = 3 / log ( )
log (2 x+1^ ) = log 3
(x+1) log 2 = log 3
x log 2 + log 2 = log 3
log 3 log 2
x
log
x 1
x 1
x + 1= 2x – 2 x = 3
Esta solución se debe comprobar en la ecuación original:
log (3 + 1) – log (3 – 1) = log 4 – log 2 =
log
= log 2; por lo tanto
x = 3 es la solución.
Tal como lo hemos visto en este ejemplo, siempre se debe comprobar el valor de x en la ecuación original.
5. Aplicaciones de los logaritmos
Los logaritmos tienen variadas aplicaciones en modelos de fenómenos naturales y sociales: una de ellas es la escala Richter.
Escala Richter
Una escala habitualmente utilizada en la medición de la intensidad de los sismos es la escala Richter.
Los grados se calculan mediante la expresión R =
A
log
p
, donde A es la
amplitud medida en micrómetros (1 micrómetro = 10-4^ cm) y p es el período medido en segundos.
Ejemplo:
¿Cuál es la magnitud de un sismo en la escala Richter si la amplitud es 10-2^ cm y su período es 1 segundo?
Como 1 micrómetro = 10-4^ cm, entonces 10-2^ cm equivalen a 10^2 micrómetros. Entonces la cantidad de grados Richter R es:
A 102
R log log 2
p 1
⎛ ⎞^ ⎛^ ⎞
Sitios sugeridos
Ejercitación con propiedades de logaritmos y ecuaciones logarítmicas. http://www.luventicus.org/articulos/02A019/
Ejercicios de logaritmos: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2tp03/tpm2_23d_funciones_logarit mos.php
Ecuaciones logarítmicas: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_HCS_1/Ecuaciones_exponenciales_ y_logaritmicas/Ecu_log.htm
Gráfica de funciones logarítmicas y exponenciales: http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Funcion_logaritmica/Funcion_lo garitmo_1.htm
Breve historia de los logaritmos y tablas de logaritmos: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/ bach/naturaleza/numeroe/numeroe.htm
Aplicaciones de las funciones exponencial y logarítmica: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/ bach/naturaleza/aplicacionesdelaexponencial/aplicaciones.htm
Historia y aplicaciones de los logaritmos: http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/mod_fun_expolog_macr/CINCO.htm
Función exponencial: gráfica y aplicaciones: http://www.hiru.com/matematika/matematika_03500.html
