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INTRODUCIÒN AL
ANÁLISIS COMBINATORIO
1.- INTRODUCCIÓN
El análisis combinatorio estudia las posibles
agrupaciones de objetos tomados de un conjunto
dado.
La teoría combinatoria es de gran utilidad en el
campo de las probabilidades y la estadística. Así
como también en el diseño y funcionamiento de
ordenadores o computadoras.
2.- FACTORIAL DE UN NÚMERO
Se define como el producto de todos los enteros
positivos y consecutivos comprendidos entre la
unidad y el número dado, incluyendo a ambos.
Representación:
Factorial de “n”n! n n
2! = 1x2= 2
3! = 1x2x3= 6
4! = 1x2x3x4= 24
5! = 1x2x3x4x5= 120
6! = 1x2x3x4x5x6= 720
7! = 1x2x3x4x5x6x7= 5040
8! = 1x2x3x4x5x6x7x8= 40320
9! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9= 362880
10! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10= 3628800
El único número que no cumple con la definición
que se da para factorial de un número, que sin
embargo posee factorial.
Es el caso.0! 1
3.- PERMUTACIÓN
Son todas las ordenaciones diferentes, que se
pueden formar utilizando TODOS los elementos
del conjunto dado, INTERESANDO EL ORDEN y
diferenciándose cada grupo de otro ya sea en por
lo menos un elemento, o por la ubicación de estos.
Permutación Lineal Simple P(n)
Cuando se toman todos los elementos para
ordenarlos del conjunto dado.
En general :
Ejemplo :
En las “Olimpiadas Deportivas 2003” participaron
4 atletas finalistas. ¿De cuántas maneras distintas
pueden llegar a la meta, si no hay empates?
Solución :
Sean los atletas: A; B ; C y D
Lugar : 1° 2° 3° 4° 1° 2° 3° 4°
Interesa el orden
Número de maneras=P(4)=4!=4 x 3 x 2 x = 24
A B C D D C B A
Ejercicios de aplicación
1).- ¿De cuántas maneras diferentes podrán
ubicarse en una fila, Renato, Adriana y Sheyla?
a) 3 b) 6 c) 9
d) 5 e) 8
2).- ¿De cuántas formas distintas se pueden
ordenar las letras de la palabra ARMO?
a) 12 b) 8 c) 4
d) 24 e) 16
3).- Una cómoda tiene 5 cajones; ¿de cuántas
maneras se pueden guardar en estos cajones, 5
prendas de vestir diferentes, una en cada cajón?
a) 100 b) 25 c) 120
d) 60 e) 50
4).- ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes se
pueden determinar con las cifras: 8; 5; 1 ; 3?
a) 16 b) 8 c) 12
d) 24 e) 4
- ¿Cuántas palabras diferentes se puede formar
intercambiando de orden las letras de la
palabra ESTUDIO?
a) 120 b) 720 c) 5040
d) 40320 e) 10080
- Candy, su novio y tres amigos más van al cine.
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse
en 5 asientos de una misma fila?
a) 25 b) 24 c) 48 d) 36 e) 120
- Candy, su novio y tres amigos más van al cine.
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse en
5 asientos de una misma fila, si Candy quiere estar
siempre al lado de su novio?
a) 48 b) 24 c) 36 d) 120 e) 60
- 8 niños son colocados en una misma fila de
modo que 3 niños siempre están juntos. ¿De
cuántas maneras se puede hacer?.
a) 4320 b) 1440 c) 17280
d) 720 e) 2880
- Si en una olimpiada 7 atletas: A, B, C, D, E, F y
G compiten en una carrera. ¿De cuántas formas
el atleta “A” ganará la carrera?.
a) 5040 b) 120 c) 24
d) 720 e) 60
- ¿De cuántas formas pueden ordenarse 6
personas en una hilera si una de ellas debe
estar siempre e uno de los extremos?.
a) 120 b) 240 c) 360
d) 720 e) 5040
- De cuántas formas se pueden ubicar 8 niños en
una fila: se dos de ellos deben estar siempre
juntos.
a) 40320 b) 5040 c) 1440
d) 10080 e) 720
- ¿De cuántas maneras diferentes 2 chilenos, 3
brasileños, 4 peruanos y 5 argentinos pueden
sentarse en fila de modo que los de las misma
nacionalidad se sienten juntos?.
a) 4!x6912 b) 6!x
c) 5!x6912 d) 5!x
e) 4!x
10 ).- En una carrera de caballos, participan 6 de
estos ejemplares. ¿De cuántas maneras podrán
ocupar los primeros 3 puestos?
a) 120 b) 180 c) 60
d) 240 e) 20
- ¿Cuántas señales se pueden hacer con 5
banderines de colores diferentes, usando 3 de
ellas en cada señal?
a) 120 b) 40 c) 60
d) 30 e) 15
- Se tienen 20 puntos coplanares donde 3 o
más de ellos no son colineales. ¿Cuántos
triángulos se pueden determinar tomando como
vértices a dichos puntos?
a) 1200 b) 1140 c) 1440
d) 1800 e) 1610
- Tres jóvenes buscan trabajar como ayudantes
en una panadería que tiene 6 locales. ¿De
cuántas maneras diferentes pueden trabajar
en la panadería, si se sabe que cada uno de ellos
debe estar en un local diferente?
a) 100 b) 120 c) 80 d) 160 e) 180
*** Un marinero tiene siete banderines del mismo**
tamaño pero de colores diferentes, si las iza
en un mástil una a continuación de otra:
- ¿Cuántas señales diferentes podrá hacer
con tres de ellas?
a) 35 b) 210 c) 5040
d) 6 e) 21
- ¿Cuántas, con cinco de ellas?
a) 5040 b) 2520 c) 120
d) 21 e) 42
- Con cinco de ellas, siendo la primera siempre
blanca y la última amarilla. ¿Cuantas señales
diferentes podrá hacer?
a) 60 b) 10 c) 120
d) 210 e) 20
- ¿Cuántas señales hará, si las iza todas al
mismo tiempo?
a) 5040 b) 49 c) 7
d) 343 e) 2401
PERMUTACIÓN CIRCULAR
Es una arreglo u ordenación de elementos
diferentes alrededor de un objeto; en estas
ordenaciones no hay primer ni último elemento,
por hallarse todos en línea cerrada.
Pc (n) = (n - 1)!
Ejercicios de aplicación
- ¿De cuántas maneras se pueden sentar
alrededor de una mesa circular, 7 personas?
a) 5040 b) 720 c) 2500
d) 49 e) 1140
- Diana con sus cuatro amiguitas se sientan en
círculo para jugar jazz ¿De cuántas podrían
ordenarse?
a) 48 b) 120 c) 240
d) 24 e) N.A.
3. ¿De cuántas pueden sentarse 5 personas
alrededor de una circular; si una de ellas
permanece fija en su asiento?
A) 6 B) 12 C) 18 D) 24 E) 36
- ¿De cuántas maneras distintas 8 integrantes de
una familia pueden sentarse alrededor de una
mesa circular, si papá y mamá se sientan juntos?
a) 1440 b) 1120 c) 1040
d) 1280 e) 1920
- ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una
mesa circular de 6 asientos un equipo de 6
personas, si dos de las personas siempre se
sientan juntas?
a) 24 b) 36 c) 48
d) 72 e) 120
- Antonio, su novia y los tres hermanos de su novia
se sientan alrededor de una fogata. ¿De cuantas
formas diferentes pueden hacerlos si Antonio y
su novia siempre están juntos?
A) 12 B) 14 C) 15
D) 9 E) 8
- ¿De cuántas maneras distintas, 7 amigos se
ubican alrededor de una mesa a comer helados,
si tres de ellos en particular siempre están
juntos?
A) 250 B) 120 C) 144
D) 260 E) 148
- Una familia con 3 hijos sale al campo. Una vez
que llegaron al campo prenden una fogata. ¿De
cuántas maneras diferentes se pueden sentar los
miembros de esta familia alrededor de la fogata,
de modo que los padres siempre estén juntos?
A) 12 B) 24 C) 48
D) 96 E) 60
- ¿De cuántas maneras diferentes 7 amigos se
ubicarán alrededor de una mesa circular, si
Andrea y Piero estarán siempre juntos?
a) 24 b) 60 c) 120 d) 240 e) 360
- Del problema anterior, ¿de cuántas maneras se
ubicarán, si Andrea y Piero no estarán juntos?
a) 360 b) 600 c) 240 d) 480 e) 540
- Cuatro parejas de novios, ¿De cuántas
maneras pueden ubicarse alrededor de una
fogata, de modo que cada pareja no se
separe?
a) 72 b) 120 c) 96
d) 90 e) 92
- ¿De cuantas maneras distintas se pueden ubicar
5 parejas de esposos, alrededor de una fogata,
tal que cada matrimonio permanezca junto?
a) 3840 b) 384 c) 120 d) 768 e) 24
Permutación con Repetición
Es el arreglo de elementos en donde algunos de
ellos se repiten.
Si se tienen “N” objetos (elementos) donde:
k 1 : Objetos repetidos de 1° clase.
k 2 : Objetos repetidos de 2° clase.
kn : Objetos repetidos de n-enesima clase.
Entonces :
N k 1 ,k 2 ,....kn
P
k!k !....k!
N!
1 2 n
Ejemplo:
Se tienen 3 bolas rojas y 2 negras todas
enumeradas de 1 al 5. ¿De cuántas maneras se
pueden ordenar en fila?
Solución :
N = 5
k 1 = 3 (rojas)
k 2 = 2 (negras)
10 maneras
- 2
P
5 3 , 2
