Analisis combinatorio, Ejercicios de Matemáticas

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Espacios Muestrales,Combinatoria y Probabilidad UCR – ECCICI-1204 Matemáticas DiscretasProf. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

Combinatoria
^ Es la ciencia que estudia las reglas de conteo.
^ Es la parte de las matemáticas discretas que estudia lasdiversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de^ un conjunto, formándolas y calculando su número. UCR-ECCI

CI-1204 Matemáticas Discretas

un conjunto, formándolas y calculando su número.
Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, segúnse repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos loselementos de que disponemos o no y si influye o no el ordende colocación de los elementos.Espacios Muestrales, Combinatoria y Probabilidad

Espacio Muestral
^ En el estudio de la estadística se trata básicamente con lapresentación e interpretación de resultados fortuitos queocurren en un estudio planeado o investigación científica.
^ Por ello, el estadístico a menudo trata con datos UCR-ECCI

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^ Por ello, el estadístico a menudo trata con datos^ experimentales, conteos o mediciones representativos, o quizácon

datos categóricos

que se pueden clasificar de acuerdo con

algún criterio.^
^ Cualquier registro de información, ya sea numérico o categórico,como una

observación

^ Los estadísticos utilizan la palabra

experimento

para describir

cualquier proceso que genere un conjunto de datos.

Espacio Muestral (cont.)
^ El conjunto de todos los resultados posibles de unexperimento estadístico se llama

espacio muestral

y se

representa con el símbolo

S.

^ Cada resultado en un espacio muestral se llama

elemento

o

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^ Cada resultado en un espacio muestral se llama

elemento

o

miembro

del espacio muestral, o simplemente

punto

muestral

^ Si el espacio muestral tiene un número finito de elementos, sepuede listar los miembros separados por comas y encerrarlosen llaves.^

Experimento:

Lanzar un dado.

^ El espacio muestral de ver qué número sale es

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.^1

^ El espacio muestral de ver si el número es par o impar es

S = {par,^2

impar}.

Espacio Muestral (cont.)
^ En algunos experimentos es útillistar los elementos del espaciomuestral de forma sistemáticamediante un

diagrama de árbol

Experimento:

Lanzar una

E

Punto Muestralde^ S SegundoResultado PrimerResultado

E C

EE EC

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^ Experimento:

Lanzar una moneda, y después, lanzarla unasegunda vez si sale escudo o sisale corona lanzar una vez undado.^
^ S^ = {EE, EC, C1, C2, C3, C4,

C5, C6}
^ Son muy útiles para “fabricar” cualquiertipo de agrupación: variaciones,permutaciones o combinaciones.

C

1 2 3 4 5 6

C1 C2 C3 C4 C5 C

Espacio Muestral (cont.)
^ Los espacios muestrales con un número grande o infinito depuntos muestrales se describen mejor mediante un

enunciado

o^ regla

^ Experimento:

Conjunto de ciudades en el mundo con una población

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^ Experimento:

Conjunto de ciudades en el mundo con una población

de más de un millón. El espacio muestral se escribe

S^ = { x

|^ x^ es una

ciudad con una población de más de un millón}, y se lee “

S^ es el

conjunto de todas las

x^ tales que

x^ es una ciudad con una población

de más de un millón”.

^ Si se describe el espacio muestral listando los elementos omediante el método de la regla dependerá del problemaespecífico en cuestión.

Eventos (cont.)
^ El

complemento

de un evento

A^ con respecto a

S^ es el

subconjunto de todos los elementos de

S^ que no están en

A , y

se denota el complemento de

A^ mediante el símbolo

A’.

^ Experimento:

Lanzar un dado y ver que número sale.

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^ Experimento:

Lanzar un dado y ver que número sale.

^ Espacio muestral:

S^ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

^ Evento

A :^ Salga un número par,

A^ = {2, 4, 6}

^ Complemento del Evento:

Salga un número que no sea par, o sea,

impar,^

A’^ = {1, 3, 5}

Eventos (cont.)
^ La

intersección

de dos eventos

A^ y^ B

, denotada mediante el

símbolo

A^ ∩^

B , es el evento que contiene a todos los

elementos que son comunes a

A^ y^ B

^ Experimento:

Lanzar un dado y ver que número sale.

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^ Experimento:

Lanzar un dado y ver que número sale.

^ Espacio muestral:

S^ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

^ Evento

A :^ Salga un número par,

A^ = {2, 4, 6}

^ Evento

B :^ Salga un número mayor a 3,

B^ = {4, 5, 6}

^ Intersección de los Eventos:

A^ ∩^ B^

Eventos (cont.)
^ La

unión

de dos eventos

A^ y^ B

, denotada mediante el símbolo

A^ ∪^ B

, es el evento que contiene a todos los elementos que

pertenecen a

A^ o^ B

o ambos.

^ Experimento:

Lanzar un dado y ver que número sale.

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^ Experimento:

Lanzar un dado y ver que número sale.

^ Espacio muestral:

S^ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

^ Evento

A :^ Salga un número par,

A^ = {2, 4, 6}

^ Evento

B :^ Salga un número mayor a 3,

B^ = {4, 5, 6}

^ Unión de los Eventos:

A^ ∪^ B^

Eventos (cont.)
^ La relación entre eventos y elcorrespondiente espacio muestralse puede ilustrar de forma gráficamediante

diagramas de Venn

El espacio muestral se

S

A^

B 2 5

6

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^ El espacio muestral se^ representa como un rectánguloy los eventos con círculostrazados dentro del rectángulo.
^ Cada uno de los númerosrepresenta una región, en lacual hay elementos.

8 (^1347) C

Eventos (cont.)
^ Diagrama de Venn.^

A^ ∩

B^ = regiones 1 y 2.
^ A^ ∩^ C^ = regiones 1 y 4.
^ B^ ∩^ C^ = regiones 1 y 3. UCR-ECCI

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^ A^

∪^ B^ = regiones 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
^ A^ ∪^ C^ = regiones 1, 2, 3, 4, 5 y 7.
^ B^ ∪^ C^ = regiones 1, 2, 3, 4, 6 y 7.
^ A^

∩^ B’^ = regiones 4 y 5.
^ …
^ ( A

∪^ B )^ ∩

C’^ = regiones 2, 5 y 6.
^ …
^ ( A

∪^ B^ ∪

C ) ’^ = región 8.

Eventos (cont.)
^ Varios resultados que se derivan de las definicionesprecedentes, y que, se pueden verificar de forma fácilmediante diagramas de Venn, son los siguientes:^

A^ ∩

Ø = Ø.

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^ A^

∪^ Ø =

A.

^ A^

∩^ A’^ = Ø.

^ A^

∪^ A’^ =

S.

^ S’

= Ø.

^ Ø

’^ =^ S.

^ ( A’

) ’^ =^ A.

^ ( A

∩^ B ) ’

=^ A’^ ∪

B’.

^ ( A

∪^ B ) ’

=^ A’^ ∩

B’.

Conteo de Puntos de la Muestra (cont.)
^ El principio fundamental del conteo se denomina

regla del

producto

(o^ regla de multiplicación

), se formula con el

siguiente teorema:^
^ Si una operación se puede llevar a cabo en

n formas y si para cada^1

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^ Si una operación se puede llevar a cabo en

n formas y si para cada^1

una de estas se puede una segunda operación en

n formas, entonces^2

las dos operaciones se pueden ejecutar juntas de

n * n^12

( nn ) formas.^12

^ Ejemplo: Si tengo 5 camisas y 3 pantalones para combinar, entoncestengo 5*3 = 15 maneras de vestirme al combinar esas prendas.

Conteo de Puntos de la Muestra (cont.)
^ En la regla de la multiplicaciónes útil los diagramas de árbol.^

Se puede observar el diagramade árbol del ejemplo anterior.^ Los diagramas en árbol son

Camisa 1

VESTIMENTA A UTILIZARPANTALÓN CAMISA Camisa^2

Pantalón 2Pantalón 3

Camisa 1 y Pantalón 1 Pantalón 1 Pantalón 1 Pantalón^2

Camisa 1 y Pantalón 2Camisa 1 y Pantalón 3Camisa 2 y Pantalón 1 Camisa^2 y Pantalón

2

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^ Los diagramas en árbol son^ muy útiles para “fabricar”cualquier tipo de agrupación:variaciones, permutaciones ocombinaciones.

Camisa^2

Pantalón^2 Pantalón 3

Camisa^2 y Pantalón

2 Camisa 2 y Pantalón 3 Camisa 3 Camisa 4

Pantalón 1Pantalón 2Pantalón 3Pantalón 1Pantalón 2Pantalón 3 Camisa 5^

Pantalón 1Pantalón 2Pantalón 3

Camisa 3 y Pantalón 1Camisa 3 y Pantalón 2Camisa 3 y Pantalón 3Camisa 4 y Pantalón 1Camisa 4 y Pantalón 2Camisa 4 y Pantalón 3Camisa 5 y Pantalón 1Camisa 5 y Pantalón 2Camisa 5 y Pantalón 3