analisis funcional, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga analisis funcional y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

INTRODUCCI ´ON

1. CONCEPTO.

El An´alisis Funcional es una rama de las Matem´aticas que utiliza el lenguaje de la Geometr´ıa en el estudio de ciertas estructuras topol´ogico-algebraicas y de los m´etodos que pueden aplicarse a problemas anal´ıticos mediante el conocimiento de estas estructuras. As´ı, muchos problemas en An´alisis se refieren no s´olo a ob- jetos aislados, como funciones, medidas u operadores, sino a clases o conjuntos de tales objetos. La mayor´ıa de estas clases (en el caso que nos ocupa) son espacios vectoriales, tanto reales como complejos. Como los procesos de l´ımite juegan su papel en todo problema anal´ıtico -concepto que permite hablar de diferenciaci´on e integraci´on y en general de procesos infinitos, que pueden incluso reducirse a la consideraci´on de ciertos procesos finitos,- no debe sorprender que esos espa- cios est´en dotados de m´etricas, o al menos de topolog´ıas, para poder establecer relaciones naturales entre los objetos de esos espacios y generalizar conceptos familiares, como el de l´ımite de sucesiones, sucesiones de Cauchy, funciones con- tinuas, etc. Una forma simple, pero que ser´a fundamental en el desarrollo de este curso, consiste en introducir una norma, obteni´endose una estructura de espacio normado.

La idea crucial en el estudio del espacio vectorial cl´asico Rn^ de las n-tuplas de n´umeros reales es la expresada por R. Descartes y consiste en asociar a ca- da elemento (x 1 ,... , xn) del espacio un punto en un sistema de coordenadas ortogonales. De esta forma todo punto representa un vector y tiene sentido geom´etrico la suma de vectores y el producto por un escalar, los planos tienen

Weierstrass) pero en el caso infinito nunca es cierto. Por esta raz´on es importante el estudio de los operadores compactos que son la generaliza- ci´on directa de los operadores en espacios de dimensi´on finita.

La necesidad de considerar espacios de dimensi´on infinita, originada por su re- laci´on con las teor´ıas cl´asicas de momentos, de las ecuaciones integrales, etc., permiti´o dar un gran impulso al desarrollo del An´alisis Funcional, impulso que ya no ha cesado al sumarse con la influencia que parte de sus aplicaciones e in- terrelaci´on con otras ramas del An´alisis, como la Mec´anica Cu´antica, An´alisis Arm´onico y Teor´ıa de Aproximaci´on e Interpolaci´on, entre otras.

2. EVOLUCI ´ON.

El an´alisis funcional nace en la resoluci´on de ecuaciones donde las inc´ognitas son funciones. A las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales estu- diadas en el siglo XVIII se unen las ecuaciones integrales a partir del siglo XIX; luego las ecuaciones integro-diferenciales y dem´as ecuaciones funcionales.

A lo largo de los siglos XVIII y XIX se daban soluciones formales de ecuaciones diferenciales resolviendo sistemas infinitos de ecuaciones por el m´etodo de coe- ficientes indeterminados. Por supuesto en esa ´epoca no importaba demasiado la convergencia de las series asociadas a tales problemas.

Hacia 1800 comienza el estudio de tres tipos de ecuaciones fundamentales en la F´ısica Matem´atica:

∆u ≡ ∂

(^2) u ∂x^2

• ∂

(^2) u ∂y^2

• ∂

(^2) u ∂z^2

= 0 : ecuaci´on de Laplace

∂^2 u ∂t^2

− ∆u = 0 : ecuaci´on de ondas ∂u ∂t −^ ∆u^ = 0^ :^ ecuaci´on del calor

que dan lugar al An´alisis Lineal, a la teor´ıa de series e integrales de Fourier, a la teor´ıa de Sturm-Liouville y a finales de siglo aparecieron los primeros ejemplos de espacios de Hilbert y algunos resultados de la teor´ıa espectral de operadores en tales espacios. Tambi´en hacia el final del siglo XIX se impone la distinci´on entre diversos tipos de convergencia de sucesiones de funciones lo que conducir´a a la idea general de topolog´ıa sobre un conjunto de funciones.

A principios del presente siglo se empez´o a desarrollar la teor´ıa abstracta gracias a los trabajos de muchos investigadores, entre los que podemos citar a V. Vol- terra, I. Fredholm, D. Hilbert, M. Fr´echet, F. y M. Riesz, E. Schmidt, H. Weyl, H. Hahn, T. Carleman, J. von Neumann, E. Hellinger, S. Banach, M. Stone, etc., quienes estudiaron las ecuaciones integrales, problemas de valores propios, descomposiciones espectrales de operadores lineales, etc., y fueron descubrien- do el correcto encuadre conceptual de los resultados. Ya no se trata de reducir cuestiones referentes a espacios infinito-dimensionales a la geometr´ıa del espa- cio finito-dimensional sino de desarrollar la geometr´ıa de los objetos a analizar desde un punto de vista intr´ınseco, sin estar sujeto a la elecci´on de coordenadas ni a la adopci´on de bases espec´ıficas, y usando la geometr´ıa eucl´ıdea s´olo como analog´ıa.

Los avances experimentados durante esa ´epoca fueron presentados de forma sis- tem´atica en los famosos libros “Th´eorie des Op´erations Lin´eaires”, de Banach y “Linear Transformations in Hilbert Spaces”de Stone, ambos publicados en 1932. Ambos tratados ejercieron una gran influencia posterior y todav´ıa sirven de base para un tratamiento b´asico del An´alisis Funcional y la Teor´ıa de Operadores. La axiom´atica de los espacios de Hilbert fue dada por von Neumann en un art´ıculo de 1930, fundamental en la teor´ıa de operadores no acotados pues establece para ellos el teorema espectral, generalizando lo hecho por Hilbert veinte a˜nos antes para operadores acotados. El inter´es de von Neumann en la teor´ıa de operadores, que arranc´o de la Mec´anica Cu´antica, le condujo a un estudio sistem´atico de las ´algebras de operadores; estudio profundizado por I. Gelfand (1941) al descubrir el importante papel que representan los ideales maximales de un ´algebra conmu- tativa y construir as´ı la hoy llamada transformada de Gelfand. La axiomatizaci´on y discusi´on de estos espacios es la que permite un tratamiento unificado de los elementos de an´alisis, geometr´ıa y matem´atica aplicada ya citados adem´as de la teor´ıa de operadores, series de Fourier abstractas, geometr´ıa de subespacios, topolog´ıa d´ebil, fuerte y uniforme, teor´ıa de espectros y muchos otros.

A partir de los a˜nos 40 se desplaz´o el inter´es en los espacios normados por el de los espacios localmente convexos motivado por la construcci´on de L. Schwartz de la teor´ıa de distribuciones, la cual ha resultado tener muchas aplicaciones, en particular a las ecuaciones en derivadas parciales. El desarrollo de la teor´ıa de distribuciones tambi´en ha originado la aparici´on de la teor´ıa de operadores pseudo-diferenciales y el An´alisis sobre variedades diferenciales.

INTERDEPENDENCIA LOGICA

I. NOCIONES GENERALES

SOBRE ESPACIOS

M´ETRICOS

En este primer cap´ıtulo se recuerdan los conceptos topol´ogi- cos b´asicos y se adopta la terminolog´ıa y notaci´on que se mane- jar´an a lo largo del curso; se introducen adem´as los ejemplos que servir´an de modelo para las aplicaciones esenciales de la teor´ıa a desarrollar.

SECCIONES

1. Definiciones previas y primeros ejemplos.
2. Nociones topol´ogicas en espacios m´etricos.
3. Aplicaciones entre espacios m´etricos.
4. Completitud en espacios m´etricos.
5. Compacidad en espacios m´etricos.
6. Ejercicios.

An´alogamente, una colecci´on arbitraria de vectores es linealmente indepen- diente si cualquier subconjunto finito de ella es linealmente independien- te.

Se dice que un conjunto A ⊂ X linealmente independiente es base de Ha- mel de X si todo vector x ∈ X puede expresarse como combinaci´on lineal de elementos de A, es decir si existen escalares α 1 ,... , αn ∈ E y vectores x 1 ,... , xn ∈ A tales que x = α 1 x 1 + · · · + αnxn. Entenderemos siempre las combinaciones lineales finitas, aunque haya un n´umero infinito de elementos en la base. Se puede probar (como una aplicaci´on del lema de Zorn) que todo espacio vectorial posee una base de Hamel. Adem´as todas las bases tienen el mismo n´umero de elementos, llamado dimensi´on (algebraica) del espacio.

Un conjunto Y ⊂ X es subespacio de X si Y es tambi´en espacio vectorial (con las mismas operaciones, por supuesto). Esto ocurre si y s´olo si 0 ∈ Y y αY + βY ⊂ Y, ∀α, β ∈ E. Dada una familia U ⊂ X, el menor subespacio de X que contiene a U se llama subespacio generado por U , y lo denotaremos por 〈U 〉.

Se dice que X es suma directa de los subconjuntos M 1 ,... , Mn, lo cual denotaremos por X = M 1 ⊕ · · · ⊕ Mn, si

X = M 1 + · · · + Mn y Mi ∩

j 6 =i

Mj = { 0 }, i = 1,... , n.

Si esto es cierto, todo vector en X se puede escribir en forma ´unica como suma x = m 1 +· · ·+mn con mi ∈ Mi, i = 1,... n. A diferencia de lo anterior, se define la suma directa externa de dos espacios X e Y al producto X × Y con las operaciones usuales.

En un conjunto arbitrario (no necesariamente con estructura algebraica) se puede definir el concepto de m´etrica. Si adem´as posee estructura de espacio vectorial, ciertas m´etricas dar´an lugar a la noci´on de norma, como veremos en el cap´ıtulo II.

1.1.- Definici´on. Un espacio m´etrico es un par (X, d), donde X es un conjunto arbitrario no vac´ıo y d : X × X → R una aplicaci´on, llamada distancia o m´etrica, tal que, para cualesquiera x, y, z ∈ X, se verifica:

(1) d(x, y) ≥ 0.

(2) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.

(3) d(x, y) = d(y, x).

(4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

De la definici´on son evidentes las siguientes propiedades:

i) d(x 1 , xn) ≤ d(x 1 , x 2 ) + d(x 2 , x 3 ) + · · · + d(xn− 1 , xn), ∀x 1 , x 2 ,... , xn ∈ X.

ii) |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y), ∀x, y, z ∈ X.

iii) Si Y es un subconjunto del espacio m´etrico (X, d) y se define d′(y 1 , y 2 ) = d(y 1 , y 2 ), ∀y 1 , y 2 ∈ Y , entonces (Y, d′) es tambi´en un espacio m´etrico y d′^ se llama m´etrica inducida por d a Y.

1.2.- Ejemplos. 1) Sea X un conjunto cualquiera. La aplicaci´on d definida

por d(x, y) =

1 si x 6 = y 0 six = y,

es la llamada m´etrica trivial o discreta.

2. Si X = R, d(x, y) = |x − y| es la distancia usual (eucl´ıdea).

3. Para X = R^2 , d(x, y) =

(x 1 − y 1 )^2 + (x 2 − y 2 )^2 es tambi´en la distancia eucl´ıdea.

Las aplicaciones d(x, y) = |x 1 −y 1 |+|x 2 −y 2 | y d(x, y) = m´ax{|x 1 −y 1 |, |x 2 − y 2 |} son tambi´en m´etricas en X.

4. En X = Rn^ son distancias

dp(x, y) =

( (^) ∑n

i=

|xi − yi|p

) 1 /p (p ≥ 1), y

d∞(x, y) = m´ax 1 ≤i≤n

|xi − yi|.

Un hecho interesante es que todas ellas van a dar topolog´ıas equivalentes (ver teorema 5.9, cap´ıtulo II)..

5. Sean X = Q, c ∈ R (0 < c < 1), p primo. Todo x ∈ Q se puede escribir

como x = pα^

a b

donde p no divide a a ni a b. As´ı definimos el valor p-´adico

de x como |x|p = cα^ si x 6 = 0 y | 0 |p = 0.

De este modo, d(x, y) = |x − y|p es una m´etrica (ver [BN]).

6. En el espacio X = {x = (xn)n∈N : xn ∈ C, (xn)n∈N sucesi´on acotada} definimos d(x, y) = supn |xn − yn|. As´ı (X, d) es un espacio m´etrico y se denota por `∞.

7. En general, si llamamos `p^ = {x = (xn)n∈N :

n=1 |xn|

p (^) < ∞}, (p ≥

1), las aplicaciones dp(x, y) =

n=1 |xn^ −^ yn|

p)^1 /p^ son tambi´en distan-

cias.

El espacio correspondiente a p = 2 fue estudiado por Hilbert (1912) en su estudio sobre las ecuaciones integrales y constituy´o el primer ejemplo de los que posteriomente definiremos como espacios de Hilbert.

P1) Aα ∈ A, α ∈ I =⇒

α∈I Aα^ ∈ A^ (I^ es cualquier conjunto de ´ındices).

P2) A 1 ,... , An ∈ A =⇒

⋂n i=1 Ai^ ∈ A.

P3) ∅, X ∈ A.

Observaci´on. Recordemos que un espacio topol´ogico es aqu´el en el que existe una familia A de subconjuntos de X que verifican los axiomas (P1), (P2), (P3). De aqu´ı se deduce que todo espacio m´etrico es a su vez un espacio topol´ogico.

2.2.- Definici´on. Dado A ⊂ X, un punto x ∈ X es de adherencia de A si

∀r > 0 : B(x, r) ∩ A 6 = ∅.

El conjunto A = {x ∈ X : x es punto de adherencia de A} se llama clau- sura de A. Un conjunto A se dice cerrado cuando A = A. Las siguientes propiedades son elementales: (1) A ⊂ A; (2) A ⊂ B =⇒ A ⊂ B; (3) A ∪ B = A ∪ B.

2.3.- Proposici´on. A es abierto si y s´olo si Ac^ es cerrado.

Demostraci´on. Supongamos que A es abierto. Entonces

x ∈ Ac^ =⇒ ∀r > 0 : B(x, r) ∩ Ac^6 = ∅ =⇒ B(x, r) 6 ⊂ A =⇒ x 6 ∈ int A =⇒ (como A es abierto) x 6 ∈ A =⇒ x ∈ Ac.

Esto quiere decir que Ac^ es cerrado.

El rec´ıproco tambi´en es directo. (^) ♦

De esta proposici´on y de las propiedades an´alogas para los abiertos, se de- ducen las siguientes:

P1) Si⋂ {Ai}i∈I es una familia arbitraria de conjuntos cerrados, entonces

i∈I Ai^ es cerrado.

P2) Si {A 1 ,... , An} son cerrados,

⋃n i=1 Ai^ es cerrado.

P3) ∅, X son cerrados.

2.4.- Definici´on. Un punto x ∈ X es punto l´ımite (o de acumulaci´on) de A ⊂ X cuando ∀r > 0 , B(x, r) ∩ A contiene infinitos puntos de A (lo que es equivalente a decir que contiene alg´un punto de A distinto de x). Se llama conjunto derivado de A,

A′^ = {x ∈ X : x es punto l´ımite de A}.

Es f´acil comprobar que A es cerrado si y s´olo si A′^ ⊂ A.

2.5.- Definici´on. Dada una sucesi´on (xn)n∈N de puntos de X, se dice que converge al punto x, y se escribe xn → x, cuando

∀r > 0 , ∃N : xn ∈ B(x, r), ∀n > N.

La condici´on anterior equivale a que la sucesi´on de n´umeros reales {d(xn, x)}n∈N converge a cero.

An´alogamente, una sucesi´on de subconjuntos {An}n∈N de X converge a un punto x ∈ X si para toda bola B centrada en x, existe un ´ındice m tal que An ⊂ B para todo n > m. Es inmediato que:

2.6.- Proposici´on. Dada una sucesi´on arbitraria (xn)n∈N en X, si llama- mos Ak = {xn : n > k}, entonces xn → x si y s´olo si Ak converge a x.

Ejemplos. 1) Sea X un conjunto arbitrario con la m´etrica trivial. Si xn → x, entonces xn = x, ∀n > N.

2. Sea Q con la distancia p-´adica. Dada la sucesi´on {pn}n∈N, d(0, pn) = |p|np = cn^ y como c < 1 , pn^ → 0.

2.7.- Definici´on. Una sucesi´on (xn)n∈N en X es acotada cuando

sup{d(xn, xm) : n, m ∈ N} < ∞.

En general, un subconjunto M ⊂ X es acotado cuando M ⊂ B(x 0 , r) con x 0 arbitrario y r suficientemente grande.

Un concepto m´as general, y que relacionaremos posteriormente con el de compacidad, es el siguiente:

2.8.- Definici´on. Un conjunto A de un espacio m´etrico X se dice totalmente acotado o precompacto si, dado cualquier ε > 0, existe un n´umero finito de conjuntos A 1 ,... , Ap tales que A = A 1 ∪ · · · ∪ Ap y di´am Ai ≤ ε, i = 1 ,... , p.

2.9.- Proposici´on. Si A es totalmente acotado, entonces es acotado.

Demostraci´on. Tomemos ε = 1; por hip´otesis A = A 1 ∪· · ·∪Ap con di´am Ai ≤

1. Para cada i ∈ { 1 ,... , p}, elegimos xi ∈ Ai y llamamos

δ = m´ax{d(xi, xj ), i, j = 1,... , p}.

Dados x, y ∈ A, existir´an i, j tales que x ∈ Ai, y ∈ Aj ; luego

d(x, y) ≤ d(x, xi) + d(xi, xj ) + d(xj , y) ≤ 1 + δ + 1 = 2 + δ,

lo que prueba la acotaci´on de A. (^) ♦

El rec´ıproco no es cierto: basta considerar un conjunto infinito A con la m´etrica discreta pues toda esfera de radio ε < 1 s´olo posee un punto y A no

4. Veamos que `∞^ no es separable:

Sea M = {y = (yn)n∈N sucesi´on formada por ceros y unos}. Asociamos a cada y otro n´umero ̂y ∈ [0, 1] cuya representaci´on binaria es y 1 /2 + y 2 / 22 + · · · + yn/ 2 n^ +...

As´ı, como [0, 1] no es numerable y dos puntos distintos ̂y, ẑ ∈ [0, 1] tienen distintas representaciones binarias, el conjunto de las sucesiones M formadas por ceros y unos es tambi´en no numerable. (Otra forma de ver que M es no numerable es aplicar el procedimiento diagonal de Cantor.)

Adem´as, dos de ellas verifican d(y, z) = 1. Por tanto, {B(y, 1 /3) : y ∈ M } es una familia no numerable de conjuntos disjuntos.

Si un conjunto arbitrario D fuera denso en ∞, cada una de esas bolas ten- dr´ıa alg´un punto de D; como hay un conjunto no numerable de bolas, debe haber un conjunto no numerable de elementos de D. De esto se deduce que∞^ no es separable.

5. Los espacios `p, con 1 ≤ p < ∞, son separables:

En efecto, si M = {y = (y 1 ,... , yn, 0 ,... ) : yk ∈ Q, ∀k}, M es numera- ble.

Adem´as, ∀x = (xn)n∈N ∈ `p, dado cualquier ε > 0, ∃n = n(x) :

k=n+

|xk|p^ <

εp/2 (por ser el resto de una serie convergente).

Como Q es denso en R, ∃yk ∈ Q :

∑n k=1 |xk^ −^ yk|

p (^) < εp/ 2. Si definimos el

elemento y = (y 1 ,... , yn, 0 ,... ), entonces

d(x, y)p^ =

∑^ n

j=

|xk − yk|p^ +

∑^ ∞

j=n+

|xk|p^ < εp^ =⇒ d(x, y) < ε.

Esto demuestra que M es denso en `p.

3. APLICACIONES ENTRE ESPACIOS M´ETRICOS.

3.1.- Definici´on. Sean (X, d), (Y, d′) espacios m´etricos. Se dice que una aplicaci´on f : X → Y es continua en x 0 ∈ X cuando

∀ε > 0 , ∃δ > 0 : f (B(x 0 , δ)) ⊂ B(f (x 0 ), ε).

Si f es continua en todo x ∈ X, se llama aplicaci´on continua. (Es evidente que esta definici´on extiende el concepto de continuidad de funciones rea- les.)

3.2.- Proposici´on. f : X → Y es continua en x 0 si y s´olo si toda sucesi´on (xn)n∈N que converge a x 0 verifica f (xn) → f (x 0 ).

Demostraci´on. a) Sea f continua en x 0. Entonces

∀ε > 0 , ∃δ > 0 : f (B(x 0 , δ)) ⊂ B(f (x 0 ), ε).

Si xn → x 0 , dado tal δ, existe N tal que xn ∈ B(x 0 , δ), ∀n > N. Entonces f (xn) ∈ B(f (x 0 ), ε).

En definitiva, ∀ε > 0 , ∃N : f (xn) ∈ B(f (x 0 ), ε), ∀n > N lo que significa que f (xn) → f (x 0 ).

b) Si f no es continua en x 0 , entonces

∃ε > 0 : ∀δ > 0 , ∃y ∈ B(x 0 , δ) : f (y) 6 ∈ B(f (x 0 ), ε).

Si elegimos δn = 1/n, encontramos una sucesi´on (yn)n∈N tal que yn ∈ B(x 0 , δn) y f (yn) 6 ∈ B(f (x 0 ), ε). Entonces yn → x 0 pero f (yn) 6 → f (x 0 ).

♦

3.3.- Proposici´on. Sean X e Y dos espacios m´etricos y f : X → Y. Son equivalentes:

i) f es continua.

ii) xn → x =⇒ f (xn) → f (x), ∀x ∈ X.

iii) F ⊂ Y es cerrado =⇒ f −^1 (F ) ⊂ X es cerrado.

iv) A ⊂ Y es abierto =⇒ f −^1 (A) ⊂ X es abierto.

Demostraci´on.

i) =⇒ ii). Ya probado en la proposici´on anterior.

ii) =⇒ iii). Supongamos que f verifica ii); sea F cerrado en Y y A = f −^1 (F ). Veamos que A ⊂ A.

Si x ∈ A, ∃(xn)n∈N con xn ∈ A tal que xn → x (por la proposici´on 2.11). Por hip´otesis, f (xn) → f (x), pero f (xn) ∈ F =⇒ f (x) ∈ F. Como F es cerrado, f (x) ∈ F =⇒ x ∈ f −^1 (F ) = A.

iii) =⇒ iv). Sea A ⊂ Y abierto. Entonces Y \ A es cerrado y, por hip´otesis, f −^1 (Y \ A) es cerrado. Como f −^1 (Y \ A) = X \ f −^1 (A), entonces f −^1 (A) es abierto.

iv) =⇒ i). Sea x ∈ X y elegimos ε > 0 arbitrario. Es claro que B(f (x), ε) es abierto. Esto implica por hip´otesis que f −^1 (B(f (x), ε)) es abierto. Como

que d(T x, T x 0 ) ≤ r · d(x, x 0 ) < r · δ. Tomando δ = ε/r, se verifica que d(T x, T x 0 ) < ε, como quer´ıamos probar. (^) ♦

4.5.- Definici´on. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Una sucesi´on (xn)n∈N es de Cauchy cuando ∀ε > 0 , ∃N : d(xn, xm) < ε, ∀n, m > N.

Es f´acil comprobar que toda sucesi´on convergente es de Cauchy. Adem´as, en R ´o C toda sucesi´on de Cauchy converge, pero en general esto no es cierto.

4.6.- Definici´on (Fr´echet, 1906). Un espacio m´etrico es completo si toda sucesi´on de Cauchy es convergente.

4.7.- Ejemplos. 1) Cualquier conjunto X con la m´etrica trivial es comple- to.

2. Rn^ con cualquier distancia de las ya definidas es completo.

3. El intervalo X = (0, 1), con d(x, y) = |x − y|, no es completo, porque la sucesi´on { 1 /n}n∈N es de Cauchy pero su l´ımite es cero.

4. El conjunto X = Q con la m´etrica eucl´ıdea d(x, y) = |x−y| no es completo (hay sucesiones de racionales cuyo l´ımite es irracional).

5. X = Q, con d(x, y) = |x − y|p, no es completo como muestra el siguiente ejemplo:

Eligiendo p = 5, la sucesi´on xn = (^12)

∑n k=0(−1)

k(^1 /^2 k

5 k^ es de Cauchy y converge a

−1 que no es racional.

6. Veamos que el espacio `∞^ es completo:

Sea {x(n)}n∈N = {(x( 1 n ), x( 2 n ),... )}n∈N una sucesi´on de Cauchy en `∞. En- tonces, ∀ε > 0, ∃N tal que, para n, m > N ,

d(x(m), x(n)) < ε =⇒ |x( i m)− x( in )| < ε, ∀i =⇒ ∃xi : d(x( i m), xi) < ε.

Si llamamos x = (x 1 , x 2 ,... ), entonces d(x(m), x) ≤ ε, es decir x(m)^ → x.

Por otra parte, como la sucesi´on (x( i m))m∈N converge a xi, est´a acotada, es

decir ∃k > 0 : |x( im )| < k, ∀m. Aplicando la desigualdad triangular,

|xi| ≤ |xi − x( i m)| + |x( i m)| < ε + k,

lo que significa que (xi)i∈N est´a acotada. Esto prueba que x ∈ `∞.

7. Tambi´en son completos los espacios `p, para 1 ≤ p < ∞.

Para comprobarlo, sea {x(n)}n∈N una sucesi´on de Cauchy en `p. Entonces ∃N tal que, para n, m > N :

d(x(n), x(m)) =

i

|x( in )− x( im )|p

) 1 /p < ε =⇒ |x( i n)− x( im )| < ε, ∀i.

Esto implica que {x( in )}n∈N es de Cauchy, por lo que x( in )→ xi ∈ C.

Si llamamos x = (x 1 ,... xi,... ), veamos que x(n)^ → x y x ∈ `p^ :

Como

∑k i=1 |x

(n) i −^ x

(m) i |

p (^) < εp, ∀k, entonces, haciendo m → ∞,

∑^ k

i=

|x( i n)− xi|p^ ≤ εp^ =⇒

∑^ ∞

i=

|x( i n)− xi|p^ ≤ εp^ =⇒ x(n)^ − x ∈ `p.

Por la desigualdad de Minkowski (cap´ıtulo II, secci´on 2), x = x(n)^ + (x − x(n)) ∈ `p.

Adem´as, d(x(n), x)p^ =

i=1 |x

(n) i −^ xi|

p (^) ≤ εp (^) =⇒ x(n) (^) → x.

8. Si X = C[a, b] y d(f, g) = m´axx∈[a,b] |f (x) − g(x)|, entonces X es comple- to:

Si {fn}n∈N es de Cauchy, m´axx∈[a,b] |fn(x) − fm(x)| < ε, para n, m > N. Entonces |fn(x) − fm(x)| < ε, ∀x ∈ [a, b]. Por tanto, por el criterio de convergencia de Cauchy, {fn}n∈N converge uniformemente en [a, b] y, como fn son continuas, la funci´on l´ımite tambi´en lo ser´a. As´ı, X es completo.

9. X = C[a, b] con la m´etrica d(f, g) =

b a |f^ (x)^ −^ g(x)|

(^2) dx

, ∀f, g ∈ X

no es completo.

Si hacemos por ejemplo a = − 1 , b = 1 , la sucesi´on {fn}n∈N definida por

fn(x) =

0 si − 1 ≤ x ≤ 0 nx si 0 < x ≤ 1 /n, 1 si 1/n < x ≤ 1