anillos, Apuntes de Álgebra

¡Descarga anillos y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity!

Introducci´on a la teor´ıa de anillos

Jos´e Luis T´abara

Versi´on 0.4, 18 de Noviembre del 2001

´Indice general

• 1. Definiciones b´asicas
• 2. Ideales
• 3. Ideales maximales y primos
• 4. Polinomios
• 5. Divisibilidad
• 6. Localizaci´on
• 7. Espectro
• 8. Extensiones enteras
• 9. Complementos en forma de problemas
• ´Indice de Materias
  • Bibliograf´ıa

Proposici´on 1.1 Dado un anillo A, se cumple:

i) (a − b)c = ac − bc y a(b − c) = ab − ac

ii) 0 a = a0 = 0

iii) (−a)b = a(−b) = −(ab)

iv) (−a)(−b) = ab

v) (−1)a = −a

Demostraci´on.

Demostraremos la primera afirmaci´on y dejamos el resto para el lector, que debe utilizar razonamientos similares. Aplicando los axiomas tenemos que (a − b)c + bc = ((a − b) + b)c = ac. Sumamos a cada miembro −bc y conseguimos pasar bc al otro lado de la igualdad con el signo contrario. 2

Corolario 1.2 Un anillo A con m´as de un elemento no es trivial si 1 6 = 0.

Si n es un entero positivo na es la suma de n veces el elemento a

na =

n) a + · · · + a

Si n es negativo entonces definimos

na =

−n) −a − · · · − a

Proposici´on 1.3 Si m, n ∈ Z y a, b ∈ A se cumple:

(m + n) a = ma + na.

(mn) a = m(na) = n(ma).

m(a + b) = ma + mb.

1 a = a.

Demostraci´on.

Al lector. 2

Ejemplos

Z con la suma y el producto habitual es un anillo conmutativo y con unidad. Asimismo Q, R, C son anillos.

Si n es un n´umero natural el conjunto nZ de los m´ultiplos de n es un anillo conmutativo sin elemento unidad.

Sea A un anillo y X un conjunto cualquiera. Consideramos el conjunto Apli(X, A) que esta constituido por las aplicaciones f : X → A. Dadas dos funciones f y g de X en A definimos su suma y su producto por las f´ormulas:

(f + g)(x) = f (x) + g(x) (f · g)(x) = f (x) · g(x)

Con estas operaciones, Apli(X, A) es un anillo. Si A es conmutativo, tambi´en lo es este anillo, y si A tiene unidad, la funci´on que a todo elemento de X le hace corresponder la unidad de A es el elemento neutro de Apli(X, A).

Si A es un anillo, el conjunto M 2 (A) de las matrices 2×2 con elementos en A es un anillo con las operaciones matriciales: ( a 1 a 2 a 3 a 4

b 1 b 2 b 3 b 4

a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 a 4 + b 4

a 1 a 2 a 3 a 4

b 1 b 2 b 3 b 4

a 1 b 1 + a 2 b 3 a 1 b 2 + a 2 b 4 a 3 b 1 + a 4 b 3 a 3 b 2 + a 4 b 4

Si A tiene unidad, este anillo tiene unidad, siendo esta la matriz iden- tidad Id =

Pero aunque el anillo sea conmutativo, las matrices no forman un anillo conmutativo. Puede comprobar el lector que las matrices ( 0 0 a 0

y

0 b 0 0

no conmutan en general, siendo a y b elementos del anillo A. Este ejemplo se puede generalizar para matrices cuadradas de orden n.

Demostraci´on.

1 ∈ U (A) de modo evidente. Si a y b son invertibles, su producto tambi´en admite inverso. El inverso de ab es b−^1 a−^1. Si a es invertible, a−^1 tambi´en lo es, siendo su inverso el mismo a. 2

Ejemplos

Las unidades de Z son { 1 , − 1 }.

En Q, R, C cualquier n´umero no nulo es invertible.

Las unidades de Z(i) son { 1 , − 1 , i, −i}.

Si M =

a b c d

es una matriz con coeficientes en A, definimos su determinante como el elemento de A

det(M ) = ad − bc

Se demuestra, siguiendo el mismo esquema que en ´algebra lineal, que la matriz M es invertible si y solo si su determinante es una unidad de A.

Las unidades de C(X, R) son las funciones que no son nunca nulas. Esto es as´ı debido a que 1/f es continua si f nunca es nula.

Entre los anillos, existen unos muy especiales. Son aquellos donde adem´as del concepto de multiplicaci´on, existe un concepto de divisi´on. Denotamos por A∗^ al conjunto A − { 0 } de los elementos no nulos de A.

Definici´on 1.3 Un anillo A donde todo elemento de A∗^ es una unidad, se llama anillo con divisi´on. Si el anillo con divisi´on es conmutativo se denomina cuerpo.

Ejemplos

El elemento 0 no puede ser invertible en ning´un anillo, debido a que a · 0 = 0 para todo elemento a.

Q, R, C son cuerpos.

Q(i) es un cuerpo. Esta formado por los n´umeros complejos cuya parte real e imaginaria son fracciones.

Sea Q(

2. el conjunto de n´umeros reales que se pueden escribir en la forma a + b

2 donde a y b son racionales. Este anillo es un cuerpo. Lo puede probar el lector directamente, o remitirse al problema 4.9 para una demostraci´on m´as elegante.

Definici´on 1.4 Un elemento a ∈ A es un divisor de cero si existe otro ele- mento b de tal modo ab = 0.

En propiedad, si el anillo no es conmutativo deber´ıan diferenciarse divi- sores de cero por la derecha y por la izquierda.

Definici´on 1.5 Un anillo sin divisores de cero se denomina anillo ´ıntegro.

En un anillo ´ıntegro se pueden simplificar factores. Si ab = ac y a 6 = 0 entonces b = c. Para demostralo escribimos ab − ac = 0 y sacamos factor com´un, a(b − c) = 0 y como a 6 = 0 concluimos que b − c = 0. Decimos que en un anillo se cumple la ley de cancelaci´on si se pueden simplificar factores.

Ejemplos

Todo cuerpo es un anillo ´ıntegro.

Z es ´ıntegro.

En general todo anillo que est´e contenido en C es ´ıntegro.

M 2 (A) no es ´ıntegro. Por ejemplo ( 0 0 0 1

El producto directo de dos anillos no nulos nunca es ´ıntegro.

El anillo C(R, R) no es ´ıntegro. Sea f una funci´on que se anula para x ≥ 0 y g una funci´on que se anula para x ≤ 0. Su producto se anula en todo R.

Proposici´on 1.5 Todo anillo integro y finito es un anillo con divisi´on.

Demostraci´on.

Sea A integro y finito. Consideremos un elemento cualquiera a ∈ A. Tene- mos la aplicaci´on λa : A −→ A b −→ ab

Proposici´on 1.7 La intersecci´on de subanillos es un subanillo.

Demostraci´on.

Sea Bi donde i ∈ I una colecci´on, posiblemente infinita, de subanillos de A. Si a, b ∈ ∩ (^) i∈I Bi entonces a y b pertenecen a Bi para todo i. Como los conjuntos dados son subanillos tenemos que a − b ∈ Bi y ab ∈ Bi para todo i. Tanto la suma como el producto de elementos de la intersecci´on siguen perteneciendo a la intersecci´on. Concluimos que ∩ (^) i∈I Bi es un subanillo. Si todos los subanillos tienen unidad, su intersecci´on tambi´en. 2

Definici´on 1.7 Sea S un subconjunto de A. A la intersecci´on de todos los subanillos que contienen a S se le llama subanillo generado por el subconjun- to S.

Para el estudio de los subanillos generados nos remitimos al cap´ıtulo 4 que trata sobre polinomios.

Ejemplos

Z es un subanillo de Q, de R y de C.

El conjunto 2Z de los m´ultiplos de 2 es un subanillo de Z que no tiene unidad.

La intersecci´on de los subanillos 2Z y 3Z es precisamente 6Z, pues un n´umero es m´ultiplo de 2 y de 3 precisamente cuando es m´ultiplo de 6.

En el conjunto de matrices cuadradas de orden n y con elementos en un anillo A, el conjunto de las matrices diagonales es un subanillo. Del mismo modo, el conjunto de matrices triangulares superiores es otro subanillo.

El menor subanillo de C que contiene tanto a Z como a i es justamente el anillo Z(i).

Los subanillos de Z son precisamente los conjuntos de la forma nZ. Sabemos por teor´ıa de grupos que estos son los ´unicos subgrupos y es f´acil comprobar que tambi´en son subanillos.

Definici´on 1.8 Sean A y A′^ dos anillos. Una aplicaci´on ϕ : A → A′^ es un morfismo de anillos si cumple:

ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)

ϕ(ab) = ϕ(a) · ϕ(b)

Si adem´as se cumple

ϕ(1) = 1

diremos que es un morfismo de anillos con unidad. De ahora en adelante cuan- do utilicemos la palabra morfismo, entenderemos que es un morfismo de ani- llos con unidad.

Como un morfismo es tambi´en morfismo de grupos se cumple ϕ(0) = 0 y ϕ(−a) = −ϕ(a). Adem´as ϕ ser´a inyectivo si y solo si su n´ucleo es nulo.

Proposici´on 1.8 La composici´on de morfismos es morfismo. Si ϕ : A → A′ es un morfismo biyectivo, entonces ϕ−^1 : A′^ → A es tambi´en morfismo.

Demostraci´on.

Sean ϕ : A → A′^ y ϕ : A′^ → A′′^ morfismos. Entonces

(ϕ′ϕ)(a + b) = ϕ′(ϕ(a + b)) = ϕ′(ϕ(a) + ϕ(b)) = ϕ′(ϕ(a)) + ϕ′(ϕ(b)) = (ϕ′ϕ)(a) + (ϕ′ϕ)(b)

An´alogamente con las otras propiedades. Para demostrar la segunda afirmaci´on utilizamos que ϕ es un morfismo de grupos biyectivo y por lo tanto ϕ−^1 es morfismo de grupos. Del mismo modo se prueba que conserva el producto y la unidad. 2

Definici´on 1.9 Un isomorfismo ϕ : A → A′^ es un morfismo biyectivo. Si A = A′^ los isomorfismos se denominan automorfismos del anillo A. Dos anillos entre los que exista un isomorfismo, se dir´a que son isomorfos. El conjunto de todos los automorfismos del anillo se denotar´a Aut(A).

Corolario 1.9 El conjunto de automorfismos de un anillo forma un grupo respecto a la composici´on.

Demostraci´on.

Tenemos que ϕ(a − b) = ϕ(a) − ϕ(b) y ϕ(ab) = ϕ(a) ϕ(b) puesto que ϕ es morfismo. Si tanto a como b son elementos del subanillo B, concluimos por la proposici´on 1.6 que ϕ(B) es subanillo. La demostraci´on del otro resultado es an´aloga. 2

Problemas

Problema 1.1 Verificar si son anillos o no lo son los conjuntos que a continuaci´on se indican. Las operaciones son las habituales. Indicar si son conmutativos y si tienen unidad.

Los enteros pares 2 Z.

Los racionales positivos Q+.

El conjunto Z(

√ −5) formado por los n´umeros complejos de la forma a + b

√ − 5 donde a y b son n´umeros enteros.

El conjunto de las funciones C∞(R, R) diferenciables y de clase ∞.

El conjunto P(X) de las partes de un conjunto X donde la suma es la diferencia sim´etrica y el producto la intersecci´on. Recordemos que la diferencia sim´etrica de dos subconjuntos es A 4 B = (A − B) ∪ (B − A).

Problema 1.2 Definimos en Z una nueva suma y una nueva multiplicaci´on por las f´ormulas a ∗ b = a + b + 1 a ◦ b = a + b + ab

Demostrar que Z es un anillo con esas nuevas operaciones.

Problema 1.3 Demostrar la unicidad del elemento neutro para la multiplicaci´on. Demostrar la unicidad del elemento inverso.

Problema 1.4 [Ley distributiva] Utilizando inducci´on demostrar:

x(y 1 + · · · + yn) = xy 1 + · · · + xyn

La expresi´on anterior puede escribirse

x(

∑^ n

i=

yi) =

∑^ n

i=

xyi

Volviendo a utilizar inducci´on probar la ley distributiva para un n´umero arbitrario de sumandos.

(

∑^ n

i=

xi)(

∑^ m

j=

yj ) =

∑^ n

i=

∑^ m

j=

(xiyj )

Problema 1.5 Demostrar que en un anillo se cumplen las propiedades de las po- tencias:

(an)m^ = anm, anam^ = an+m, (ab)n^ = anbn^ si a, b conmutan

Problema 1.6 Sea p un n´umero primo prefijado de antemano. Sea A el subconjunto de Q formado por las fracciones que en su forma irreducible no tienen a p como factor del denominador A = { m n

tales que p no divide a n}

Probar que A es un anillo.

Problema 1.7 [Cuaterniones] Introduciremos en R^4 una estructura de anillo. La suma de dos elementos se realiza componente a componente. Para la multiplicaci´on escribimos los elementos en la forma a + bi + cj + dk y definimos

(a + bi + cj + dk)(a′^ + b′i + c′j + d′k) =

(aa′^ − bb′^ − cc′^ − dd′) + (ab′^ + b′a + cd′^ − dc′)i+ (ac′^ + ca′^ + db′^ − bd′)j + (ad′^ + da′^ + bc′^ − cb′)k Esta multiplicaci´on se puede realizar aplicando la bilinealidad del producto y te- niendo en cuenta la siguientes propiedades:

i^1 = j^2 = k^2 = − 1 , ij = k, jk = i, ki = j, ji = −ij, kj = −jk, ik = −ki

R^4 junto con esta suma y este producto es un anillo no conmutativo y con unidad. Este anillo se denota por H y sus elementos se llaman cuaterniones.

Los cuaterniones tienen un subanillo isomorfo a R y otro subanillo isomorfo a C.

El subconjunto { 1 , − 1 , i, −i, j, −j, k, −k} junto con el producto forma un grupo finito, llamado grupo cuaterni´on.

El conjugado del cuaterni´on q = a + bi + cj + dk es q = a − bi − cj − dk. qq = a^2 + b^2 + c^2 + d^2. Dicho n´umero real se llama norma del cuaterni´on q y es nula si y solo si el cuaterni´on es nulo.

Problema 1.15 Sea a un elemento idempotente (a^2 = a). El conjunto

S = {ara tal que r ∈ A}

es un subanillo.

Problema 1.16 Sea ϕ : A → A un morfismo. Los puntos fijos del morfismo

S = {a ∈ A tales que ϕ(a) = a}

forman un subanillo.

Problema 1.17 Demostrar que el conjunto de matrices reales de la forma ( a b −b a

)

forman un anillo isomorfo al cuerpo de los n´umeros complejos.

Problema 1.18 Sea ϕ : A → A′^ un morfismo de anillos. Demostrar que si a es invertible, entonces ϕ(a−^1 ) = ϕ(a)−^1.

Problema 1.19 Sea a invertible. La aplicaci´on ϕa definida como ϕa(x) = axa−^1 es un endomorfismo de anillos. Este endomorfismo se llama endomorfismo interior.

Problema 1.20 [Caracter´ıstica] En este ejercicio haremos un estudio de la carater´ıstica en el caso en el que el anillo no posea unidad.

Si en un anillo A existe un n´umero natural n que cumple na = 0 para todos los elementos del anillo, al menor de esos n´umeros se le denomina caracter´ıstica del anillo A. Si no existe el natural antes mencionado decimos que la caracter´ıstica es nula.

En un anillo ´ıntegro la caracter´ıstica es siempre o nula o un n´umero primo.

En un anillo ´ıntegro todos los elementos no nulos tienen el mismo orden consi- derados como elementos del grupo aditivo (A, +).

Un anillo tiene caracter´ıstica no nula si existe un natural n y un elemento a que cumplan na = 0.

En el caso en el que el anillo tenga unidad demostrar que las dos definiciones dadas de carater´ıstica coinciden.

Problema 1.21 En un cuerpo k denotamos a/b al elemento ab−^1. Demostrar las propiedades de las operaciones con fracciones.

Problema 1.22 Sea A un anillo sin unidad. Definimos en A × Z las operaciones

(a, n) + (b, m) = (a + b, m + n)

(a, n)(˙b, m) = (ab + ma + nb, mn)

A × Z es un anillo con unidad y la aplicaci´on ϕ : A −→ A × Z a −→ (a, 1)

es un morfismo de anillos inyectivo.

Si A tiene caracter´ıstica n, se puede introducir, con las mismas operaciones, una estructura de anillo en A × Zn. Este anillo que hemos construido tiene tambi´en caracter´ıstica n.

Problema 1.23 [Anillos de Boole] Un anillo de Boole es un anillo con unidad donde todo elemento es idempotente (a^2 = a).

Z 2 es un anillo de Boole.

Las partes P(X) de un conjunto X es un anillo de Boole.

Apli(X, Z 2 ) es un anillo de Boole.

Todo anillo de Boole es conmutativo. En todo anillo de Boole se cumple 2 a = a + a = 0 para todo elemento del anillo. Por lo tanto un anillo de Boole tiene caracter´ıstica 2.

Si un anillo de Boole es integro, entonces necesariamente es isomorfo a Z 2. Por lo tanto todo ideal primo es maximal y viceversa. La imagen de un anillo de Boole es un anillo de Boole. Si ϕ : A → B es un morfismo de anillos y A es de Boole, entonces su imagen tambi´en es un anillo de Boole.

El teorema de representaci´on de Stone afirma que para todo anillo de Boole A, existe un conjunto X de tal forma que A es isomorfo a un subanillo de P(X). Para la demostraci´on cons´ultese [12].

Problema 1.24 Consideramos el anillo de las matrices de orden dos y coeficientes complejos. En dicho anillo consideramos el subconjunto H de las matrices de la forma ( a + ib c − id −c + id a − ib

)

Demostrar que H es isomorfo al anillo de cuaterniones.

Cap´ıtulo 2

Ideales

Sabemos por teor´ıa de grupos que no a todo subgrupo G′^ de un grupo G se le puede asociar el grupo cociente G/G′. Es necesario que el subgrupo sea normal para que la construcci´on no dependa de los representantes tomados. Del mismo modo, no es posible hacer cociente con cualquier subanillo. Ello nos conduce a la introducci´on de los ideales.

Definici´on 2.1 Un ideal es un subconjunto I ⊂ A que cumple:

I es un subgrupo aditivo.

Si a ∈ I y r ∈ A ⇒ ra y ar son elementos de I.

Si el anillo es conmutativo, solamente es necesario comprobar que ra ∈ I. Todo ideal es la vez un subanillo (en general sin unidad). Sin embargo no todos los subanillos tienen que ser ideales. Si el anillo no es conmutativo es necesario dar otra definici´on.

Definici´on 2.2 Un subconjunto I ⊂ A es un ideal por la derecha si:

I es un subgrupo aditivo.

Para todo r ∈ A y todo a ∈ I se tiene ar ∈ I.

An´alogamente se define el concepto de ideal por la izquierda. Debido a esta definici´on, en algunas ocasiones se llama ideales bil´ateros a los ideales de los anillos no conmutativos. Sin embargo supondremos, salvo menci´on expl´ıcita de lo contrario, que todos los anillos son conmutativos. El cero y el total son ideales. Estos ideales se llaman ideales triviales del anillo A. Los ideales que no son ni el nulo ni el total se denominan propios.

Si una unidad a pertenece a un ideal I dicho ideal es el total pues con- cluimos que 1 ∈ I multiplicando por el inverso y por lo tanto r ∈ I sea cual sea r ∈ A. As´ı ning´un ideal propio de A contiene unidades.

Ejemplos

Los subconjuntos de la forma nZ son ideales de Z como se comprueba f´acilmente. Adem´as estos son los ´unicos ideales, pues como sabemos todo ideal debe ser subgrupo aditivo y no existen en Z m´as subgrupos que los mencionados.

Sea A un anillo conmutativo. Sea a ∈ A un elemento cualquiera no nulo. Los m´ultiplos de a son de la forma ra con r ∈ A. El conjunto de todos los m´ultiplos de a se denota por (a) y es un ideal. Se dice que es el ideal principal generado por el elemento a.

Los cuerpos solo tienen ideales triviales pues todo elemento no nulo es invertible. Reciprocamente, si un anillo solo tiene ideales triviales para cada elemento a el ideal principal (a) es el total y por lo tanto existe un elemento b que cumple ba = 1.

Dada una funci´on f : R → R su soporte es el cierre del conjunto de puntos donde no es nula. Decimos que una funci´on se anula en el infinito si su soporte es un conjunto acotado. Dado el anillo A = C(R, R) sea I el conjunto de todas las funciones que se anulan en el infinito. I es un ideal pues es un subgrupo y el producto de una funci´on que se anula en el infinito por cualquier otra funci´on, siempre se anula en el infinito.

El conjunto I ⊂ C(R, R) formado por las funciones que se anulan para x = 0 forman un ideal.

Sean A y B dos anillos. Sea IA ⊂ A y IB ⊂ B ideales. El subconjunto IA × IB es un ideal del producto directo A × B. El rec´ıproco tambi´en es cierto (pru´ebese).

La importancia de los ideales radica en que sirven para definir anillos cocientes. Con m´as precisi´on, tenemos el siguiente

Teorema 2.1 Sea I un ideal de A. En el grupo cociente A/I se puede in- troducir una estructura ´unica de anillo que hace que la proyecci´on can´onica sea un morfismo de anillos. Si A tiene unidad tambi´en la tendr´a A/I.