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Cap´ıtulo 2
Cuerpos y sus extensiones
2.1. Definici´on de cuerpo
A lo largo de todo el curso trabajaremos primordialmente con ra´ıces de polinomios, y en la pr´oxima secci´on probaremos que las operaciones elementales (suma, resta, mul- tiplicaci´on y divisi´on) preservan el conjunto formado por ellas. Por ejemplo, podremos deducir que (1 +
- es ra´ız de cierto polinomio en Q[x] porque 1,
7 y √ (^3) 5 son ra´ıces de polinomios en Q[x]. Con esto en mente, procedemos como es habitual
en Matem´aticas, creando una estructura algebraica general que permita abstraer las propiedades esenciales.
Definici´on: Un cuerpo, K, es un anillo tal que K − { 0 } es un grupo abeliano con respecto a la multiplicaci´on.
En pocas palabras, un cuerpo es un conjunto donde podemos sumar, restar, mul- tiplicar y dividir con las propieddes habituales. La exclusi´on del cero en la definici´on se debe simplemente a que como todo el mundo sabe, no se puede dividir por cero (bueno, todos menos K. Marx que en “El capital” I §9, despu´es de enunciar una ley econ´omica parad´ojica, escribe: “Para resolver esta contradicci´on aparente se requieren a´un muchos es- labones intermedios, tal como en el plano del ´algebra elemental se necesitan muchos t´erminos medios para comprender que 0/0 puede representar una magnitud real”).
Ejemplo. Q, R y C son cuerpos.
Ejemplo. K = {a + b
2 : a, b ∈ Q} es un cuerpo. Lo ´unico que no es del todo evidente es la existencia del inverso multiplicativo. S´olo hay que racionalizar:
1 a + b
a − b
a^2 − 2 b^2
a a^2 − 2 b^2
b a^2 − 2 b^2
2 ∈ K.
Ejemplo. Dado un dominio de integridad, D, (esto es, un anillo conmutativo con unidad tal que ab = 0 ⇒ a = 0 ´o b = 0), el cuerpo de fracciones de D es el conjunto de expresiones de la forma r/s con r, s ∈ D, s 6 = 0, bajo la relaci´on de equivalencia r/s ∼ t/u ⇔ ru = ts. Con las operaciones naturales, el cuerpo de fracciones hace honor a su nombre y realmente tiene estructura de cuerpo.
24 CUERPOS Y SUS EXTENSIONES
N´otese que D se puede identificar con los elementos de la forma r/1. Intuitivamente, el cuerpo de fracciones de D es el cuerpo que resulta si permitimos dividir en D. Por ejemplo, el cuerpo de fracciones de Z es Q. Si D no fuera dominio de integridad, por mucho que nos empe˜n´asemos en dividir, no podr´ıamos llegar a nada con sentido. Por ejemplo, si queremos inventar un “algo” en un cuerpo que extienda a Z 6 , tal que 2/3 = algo, multiplicando por 9 tenemos 0 = 3·algo, con lo que “algo” no tendr´ıa inverso (en ese caso 0 = 3). Las dificultades las dan los divisiores de cero, si no fuera por ellos, como en el cuento de Aladino, tendr´ıamos un flamante cuerpo a partir de un anillo.
Si K es un cuerpo, K[x] es un dominio de integridad y se puede definir su cuerpo de fracciones que se denota con K(x).
K(x) =
{ P
Q
: P, Q ∈ K[x], Q 6 = 0
Como en el caso de K[x], se suele abusar ligeramente de la notaci´on permitiendo escribir K(α) con α en alg´un cuerpo que contiene a K, para representar
K(α) =
{ (^) P (α) Q(α)
: P, Q ∈ K[x], Q(α) 6 = 0
Desde otro punto de vista, K(α) es el resultado de a˜nadir α a K y hacer todas las posibles sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Con este lenguaje el cuerpo del pen´ultimo ejemplo es Q(
2). En general, razonando de la misma forma:
Q(
d) = {a + b
d : a, b ∈ Q}.
La notaci´on admite una generalizaci´on obvia. Se indica con K(x 1 , x 2 ,... xn) el cuerpo de fracciones de K[x 1 , x 2 ,... xn], y si α 1 , α 2 ,... αn est´an en un cuerpo que contiene a K entonces se escribe K(α 1 , α 2 ,... , αn) para representar:
{ (^) P (α 1 , α 2 ,... , αn) Q(α 1 , α 2 ,... , αn)
: P, Q ∈ K[x 1 , x 2 ,... , xn], Q(α 1 , α 2 ,... , αn) 6 = 0
Es f´acil ver que K(α 1 , α 2 ,... , αn) es el cuerpo “m´as peque˜no” que contiene a K y a α 1 , α 2 ,... αn. Tambi´en es posible razonar definiendo inductivamente este cuerpo co- mo K(α 1 , α 2 ,... , αn) =
K(α 1 , α 2 ,... , αn− 1 )
(αn).
Ejemplo. Si p es primo Zp es un cuerpo. Esto no es m´as que un caso particular de la Proposici´on 1.2.3 porque Zp es por definici´on Z/pZ.
Observaci´on: Cuando consideramos Zp como cuerpo en vez de como anillo, la no- taci´on habitual, que utilizaremos a partir de ahora, es Fp.
Estirando este ejemplo, podemos transformar la Proposici´on 1.2.3 en conjunci´on con la 1.3.2 en una f´abrica de cuerpos muy retorcidos. Antes de ello, una observaci´on.
26 CUERPOS Y SUS EXTENSIONES
As´ı pues podemos tomar n = −3 y m = 11 y se concluye que 11 es el inverso de 8. Para los incr´edulos: 11 · 8 = 88 = 1 + 3 · 29.
Ejemplo. Sean P = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 y Q = x^2 + x + 1. Calcular el inverso de Q en Q[x]/(P ). Obs´ervese que P es irreducible por ser el polinomio ciclot´omico para p = 5. Buscamos una soluci´on de 1 = AP + BQ para ciertos A, B ∈ Q[x], de donde 1 = BQ, y B ser´a el inverso de Q. Calculamos A y B procediendo como en el ejemplo anterior:
P = Q · x^2 + (x + 1) Q = (x + 1) · x + 1
(2a^ ecuaci´on) 1 = Q − x(x + 1) (1a^ ecuaci´on) 1 = Q − x(P − x^2 Q) = −xP + (x^3 + 1)Q.
Por tanto el inverso de Q es x^3 + 1.
Los Fp no son los ´unicos cuerpos finitos.
Ejemplo. K = F 2 [x]/(x^2 + x + 1) es un cuerpo de cuatro elementos y el inverso de x es x + a. Como x^2 + x + 1 es irreducible en F 2 [x] (es de segundo grado y no tiene ra´ıces en F 2 ), K es un cuerpo. Ahora, hallando el resto al dividir por x^2 + x + 1, cualquier polinomio P ∈ F 2 [x] es equivalente a otro de la forma ax + b con a, b ∈ F 2. Esto da cuatro posibilidades (no equivalentes), obteni´endose K = { 0 , 1 , x, x + 1}. En F 2 [x] se cumple x(x + 1) = 1 + (x^2 + x + 1), por tanto x y x + 1 son inversos uno del otro.
Nota: Tras este ejempo cabr´ıa preguntarse qu´e cardinal puede tener un cuerpo finito. Resolveremos este problema m´as adelante en el curso cuando clasifiquemos todos los cuerpos finitos. Por ahora, como intriga de serial, avanzaremos que la lista de posibles cardinales comienza con 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17,.... La soluci´on, en el tercer cap´ıtulo.
Ligado a los cuerpos finitos, pero no espec´ıfico de ellos, est´a el concepto de carac- ter´ıstica, que desempe˜na un curioso papel en algunas propiedades de los cuerpos nece- sarias para poder aplicar la teor´ıa de Galois.
Definici´on: Diremos que un cuerpo K (o un anillo) tiene caracter´ıstica n si n es el menor n´umero natural tal que 1 + 1 +..... .n^ veces + 1 = 0. Si esta suma fuera siempre distinta de cero se dice que el cuerpo tiene caracter´ıstica cero. La notaci´on habitual es char(K) = n.
Ejemplo. C, R y Q tienen caracter´ıstica cero.
Ejemplo. F 5 y F 5 (x) tienen caracter´ıstica 5. (El primer cuerpo es finito y el segundo no lo es).
Ejemplo. Si K es un subcuerpo de C, char(K) = n.
2.2. Extensiones de cuerpos
Habitualmente, para resolver una ecuaci´on algebraica no basta con hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de los coeficientes, sino que tenemos que a˜nadir algo que extienda el cuerpo generado por los coeficientes (por ejemplo
b^2 − 4 ac en el caso de la ecuaci´on de segundo grado). As´ı como en Algebra I estuvimos todo el rato mirando´ dentro de los grupos estudiando subgrupos y m´as subgrupos, en Algebra II seremos m´´ as m´ısticos y universalistas buscando experiencias fuera de los cuerpos.
Definici´on (provisional): Decimos que el cuerpo L es una extensi´on de K, si K es un subcuerpo de L, es decir, K ⊂ L y las operaciones + y × en K coinciden con las de L.
La notaci´on que se usa habitualmente para designar una extensi´on es L/K o tambi´en se usa L : K. Aunque la definici´on anterior es satisfactoria en casi todos los casos que aparecer´an en el curso, conviene al menos mencionar otra definici´on un poco m´as general y m´as conveniente desde el punto de vista abstracto.
Definici´on (generalizada): Decimos que el cuerpo L es una extensi´on de K, si existe un monomorfismo f : K −→ L.
Observaci´on: Como recordamos en el primer cap´ıtulo, un monomorfismo es una fun- ci´on inyectiva compatible con las operaciones. Para comparar ambas definiciones conside- remos C y R/(x^2 + 1), que m´as adelante veremos que son cuerpos isomorfos, es decir, son el mismo cuerpo cambiando los nombres de los elementos. Con la primera definici´on C es una extensi´on de Q, pero en rigor Q no est´a incluido en R[x]/(x^2 + 1) porque este segundo cuerpo es un conjunto de clases de polinomios. Todo vuelve a funcionar si consideramos la composici´on Q ↪→ C ←→ R[x]/(x^2 + 1) que es inyectiva y se ajus- ta a la segunda definici´on. A primera vista estas sutilezas y excesos de rigor parecen pamplinas matem´aticas, sin embargo aparecer´an de forma natural al estudiar cuerpos de descomposici´on. Las extensiones de cuerpos muchas veces se indican con diagramas similares a los empleados por ejemplo en los ret´ıculos de subgrupos, situ´andose a mayor altura los cuerpos que “extienden” y conect´andolos con l´ıneas a los que son “extendidos”. Por ejemplo, la extensi´on que acabamos de mencionar est´a representada en el diagrama de la izquierda, mientras que el de la derecha significa que L/M 1 , L/M 2 , L/M 3 , M 1 /K, M 2 /K y M 3 /K son extensiones de cuerpos. En particular, L/K tambi´en lo ser´a.
R[x]/(x^2 + 1)
Q
M 1 ∖
L
M 2
K
/^ M^3
Definici´on: A la dimensi´on de L como espacio vectorial sobre K se le llama grado de L/K y se escribe [L : K]. Si el grado es finito se dice que la extensi´on es finita, en caso contrario se dice que es infinita.
Definici´on: Si α es algebraico sobre K, se dice que P ∈ K[x] es el polinomio m´ınimo de α si P es m´onico, α es un cero de P y no hay otro polinomio de grado menor con estas caracter´ısticas.
Nota: Recu´erdese que un polinomio es m´onico si su coeficiente de mayor grado es 1.
Observaci´on: No es dif´ıcil demostrar que el polinomio m´ınimo, P , de α es ´unico y adem´as cumple (ejercicio)
- P es irreducible 2) Q ∈ K[x], Q(α) = 0 ⇒ P |Q.
Evidentemente, el polinomio m´ınimo depende del cuerpo sobre el que trabajemos. Muchas veces, si no se indica otra cosa, se sobreentiende que K = Q.
Ejemplo. El polinomio m´ınimo de 4
3 sobre Q es x^4 − 3 y sobre Q(
- es x^2 −
Ahora ya pasamos a la prometida ristra de proposiciones:
Proposici´on 2.2.2 Si L/K y M/L son extensiones de cuerpos
[M : K] = [M : L][L : K].
De hecho, si L/K y M/L son finitas y {x 1 , x 2 ,... , xr}, {y 1 , y 2 ,... , ys} son sus bases, entonces {x 1 y 1 , x 1 y 2 ,... , xrys} es una base de M/K.
Demostraci´on: Nos restringiremos al caso en que las extensiones son finitas (el otro queda como ejercicio). La proposici´on se reduce a probar que B = {x 1 y 1 , x 1 y 2 ,... , xrys} es una base de M/K.
- B es un sistema de generadores: Si z ∈ M entonces como M es un espacio vectorial sobre L con base {y 1 , y 2 ,... , ys}
z = λ 1 y 1 + λ 2 y 2 + · · · + λsys con λi ∈ L.
Pero, de la misma forma, como λi ∈ L
λi = μi 1 x 1 + μi 2 x 2 + · · · + μirxr con μir ∈ K.
Sustituyendo estas igualdades en las anteriores se obtiene que z es una combinaci´on lineal de elementos de B con coeficientes en K.
- B es linealmente independiente:. Supongamos que tenemos una combinaci´on lineal nula (^) r ∑
i=
∑^ s
j=
λij xiyj = 0 con λij ∈ K,
30 CUERPOS Y SUS EXTENSIONES
entonces (^) s ∑
j=
( (^) ∑r
i=
λij xi
yj = 0 ⇒
∑^ r
i=
λij xi = 0 1 ≤ j ≤ s,
porque los t´erminos entre par´entesis pertenecen a L y los yj son una base de M/L. Como, por otra parte, los xi son una base de L/K, de la ´ultima igualdad se concluye finalmente λij = 0. 2
Proposici´on 2.2.3 Toda extensi´on finita es algebraica.
Demostraci´on: Sean L/K y α ∈ L, entonces como L/K es finita hay alguna combi- naci´on lineal no trivial nula entre los elementos 1, α, α^2 , α^3 ,... ; esto es, existen λi ∈ K, 0 ≤ i ≤ n, no todos nulos tales que λnαn^ + λn− 1 αn−^1 + · · · + λ 1 α + λ 0 = 0, por tanto α es algebraico. 2
Proposici´on 2.2.4 K(α)/K es finita si y s´olo si α es algebraico sobre K. Adem´as en ese caso [K(α) : K] = n donde n es el grado del polinomio m´ınimo de α, de hecho
K(α) =
λ 0 + λ 1 α + λ 2 α^2 + · · · + λn− 1 αn−^1 con λi ∈ K
Demostraci´on: Sea A el conjunto que aparece al final del enunciado, esto es,
A =
λ 0 + λ 1 α + λ 2 α^2 + · · · + λn− 1 αn−^1 con λi ∈ K
Suponiendo conocido que K(α) = A, para comprobar que [K(α) : K] = n, basta ver que no existe ninguna combinaci´on lineal no trivial nula en A. Si λ 0 + λ 1 α + · · · + λkαk con k ≤ n, entonces α ser´ıa ra´ız de un polinomio de grado menor que n, lo cual es una contradicci´on. Falta por tanto comprobar K(α) = A. Obviamente α ∈ A y A ⊂ K(α), si de- mostramos que A es un cuerpo se tiene K(α) = A (porque K(α) es el menor cuerpo que contiene a α). Est´a claro que A es cerrado por sumas y restas, basta ver que tambi´en es cerrado por divisiones (la multiplicaci´on se reduce a dos divisiones: a · b = a
1 /b). Si a, b ∈ A entonces a/b = Q 1 (α)/Q 2 (α) donde Q 1 y Q 2 6 = 0 son polinomios de grado menor que n. Sea P el polinomio m´ınimo de α, como ∂Q 2 < ∂P = n, Q 2 y P son primos entre s´ı, aplicando el algoritmo de Euclides podemos encontrar A, B ∈ K[x] tales que
1 = AP + BQ 2.
Multiplicando por Q 1 , dividiendo por Q 2 y sustituyendo α, se tiene
Q 1 (α) Q 2 (α)
= Q 1 (α)B(α).
Por otra parte, al dividir Q 1 B entre P se consigue Q 1 B = P C + R con ∂R < ∂P = n, lo que empleado en la igualdad anterior prueba el resultado. 2
Las extensiones algebraicas simples, tambi´en se pueden ver como cocientes por ide- ales, y esto no es rizar el rizo, sino que tendr´a gran utilidad en el pr´oximo cap´ıtulo para probar elegante y simplemente algunos resultados b´asicos de la teor´ıa de Galois.
32 CUERPOS Y SUS EXTENSIONES
Ejemplo. Si α ∈ C es una ra´ız del polinomio irreducible P = x^3 + 3x + 3, expresar 1 /(α + 1) como una combinaci´on lineal racional de 1, α y α^2 ; es decir, hallar a, b, c ∈ Q tales que 1/(α + 1) = a + bα + cα^2. N´otese que la Proposici´on 2.2.4 asegura que esto es posible. Tomemos Q = x + 1, como P es irreducible el m´aximo com´un divisor de P y Q es 1, existen A, B ∈ Q[x] tales que 1 = AP + BQ.
En nuestro caso es f´acil ver que puede tomarse A = −1 y B = x^2 − x + 4. Dividiendo por Q y sustituyendo α, se tiene finalmente
1 α + 1
= 4 − α + α^2.
Ejemplo. Comparar los cuerpos Q(
3), Q(
3), Q(
2), Q(
- y Q.
Se tiene un esquema como el adjunto, donde las letras cursivas representan los grados, que hallaremos a continuaci´on.
e
Q(
f
Q
∣ (^) a Q
b
Q
c
Q(
d
Los polinomios m´ınimos sobre Q de
2 y
son x^2 − 2 y x^2 − 3 respectivamente, y x^2 − 2 es tambi´en el polinomio m´ınimo de
2 en la extensi´on Q(
3)/Q(
3), ya que si factorizase en Q(
- se tendr´ıa
2 = r + s
3 con r, s ∈ Q y esto no es posible (basta elevar al cuadrado). Estas consideraciones per- miten concluir que d = f = e = 2. La Proposici´on 2.2. asegura ab = cd = ef = 4, por tanto c = 2 y las ´unicas posibilidades para a y b son b = 4/a con a = 1, 2 , 4. N´otese que a = 4 es imposible porque
3 6 ∈ Q (de nuevo basta elevar al cuadrado). Para ver que a = 1
y b = 4, consid´erense los polinomios
x − (
− 3 y x^2 − 2. Ambos est´an
en Q(
3)[x] y ambos son distintos y tienen a x =
2 como ra´ız, por tanto su m´aximo com´un divisor en Q(
3)[x] es x −
2, por tanto
2 ∈ Q(
√ 3) y 3 = (
2 ∈ Q(
3). Esto permite concluir Q(
3) ⊃ Q(
y como Q(
3) ⊂ Q(
- es trivial, se tiene que ambos cuerpos son iguales o equivalentemente, a = 1 y por tanto b = 4.
Parece una casualida o un milagro forzado que en el ejemplo anterior se hayan podido reducir dos generadores a uno, Q(
3) = Q(
3), pero como antes hemos insinuado, hay un sorprendente resultado del pr´oximo cap´ıtulo que afirma que esto es moneda com´un. En particular se deducir´a que es imposible encontrar extensiones finitas de cuerpos normales y corrientes (Q, Fp, subcuerpos de C... ) que no sean simples.
Ejemplo. Hallar el polinomio m´ınimo de
3 sobre Q. Por el ejemplo anterior [Q
: Q] = 4, as´ı que el polinomio m´ınimo, P , debe tener grado 4. Digamos que es P = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d, entonces
(
Operando obtenemos una expresi´on de la forma A + B
2 + C
3 + D
6 = 0. Como {1,
6 } es una base de Q
= Q
(por la Proposici´on 2.2.2), entonces los coeficientes A, B, C y D (que dependen de a, b, c y d) deben ser nulos. Esto nos lleva al sistema de ecuaciones
A = 49 + 5b + d = 0 C = 9a + c = 0 B = 11a + c = 0 D = 20 + 2b = 0
cuya soluci´on es a = c = 0, b = −10, d = 1; por tanto P = x^4 − 10 x^2 + 1. Otra manera m´as sencilla de proceder en este caso es considerar el polinomio Q = (x −
2)^2 − 3. Obviamente
3 es una ra´ız de Q, pero Q = x^2 − 2
2 x − 1 6 ∈ Q[x]. Para eliminar los radicales podemos “multiplicar por el conjugado”, as´ı P = (x^2 − 2
2 x − 1)(x^2 + 2
2 x − 1) es un polinomio en Q[x] que tiene a
3 como ra´ız, adem´as ∂P = [Q
: Q] = 4 implica que es el polinomio m´ınimo.
Ejemplo. Dada la extensi´on L/F 2 con L = F 2 [x]/(x^3 + x + 1), calcular su grado y el polinomio m´ınimo de α = x^4 + x^2 + 1. En F 2 [x], x^4 +x^2 +1 = x+1+(x^3 +x+1)x, por tanto α = x + 1. En general, dividiendo por x^3 +x+1, todos los elementos de L se escriben de manera ´unica como combinaciones lineales de { 1 , x, x^2 }, por consiguiente [L : F 2 ] = 3. El grado del polinomio m´ınimo de α debe ser 3 ya que α no est´a en F 2 (o en su imagen por el monomorfismo F 2 −→ L, si uno es un purista), y basta entonces hallar un polinomio m´onico c´ubico que tenga a α como ra´ız. Sabemos que x^3 + x + 1 = 0. De aqu´ı (α − 1)^3 + (α − 1) + 1 = 0 y operando el primer miembro es α^3 + α^2 + 1. As´ı pues, el polinomio m´ınimo es P = X^3 + X^2 + 1.
2.3. Tres problemas cl´asicos
Esta secci´on es una de las m´as bellas del curso. Veremos que el mundo artificial que hemos poblado en las secciones anteriores con estructuras algebraicas tales como cuerpos, espacios vectoriales, anillos y cocientes, no pertenece a la estratosfera de la abstracci´on matem´atica, sino que desciende suavemente hasta la base de nuestra historia para dar respuesta a tres cuestiones geom´etricas con enunciado elemental que no supieron resolver los antiguos griegos. Las cuestiones a las que nos referimos tratan acerca de construcciones con regla y comp´as, donde la utilidad de estos instrumentos queda limitada de manera que la regla solamente se puede usar para trazar una recta que pasa por dos puntos conocidos, y el comp´as s´olo se puede emplear para trazar una circunferencia de la que se conocen centro y radio.
Una vez fijada una unidad de medida, digamos determinada por (0, 0) y (1, 0), como las rectas tienen ecuaciones de primer grado y las circunferencias de segundo grado, todos los puntos que se pueden construir como intersecciones sucesivas de ellas tienen coordenadas que est´an en sucesivas extensiones cuadr´aticas (esto es, de segundo grado). Por tanto, si (x, y) ∈ R^2 es un punto construible con regla y comp´as entonces existe una cadena de cuerpos Q = L 0 ⊂ L 1 ⊂ L 2 ⊂ · · · ⊂ Ln = L
que sea la tercera parte. En particular, como (cos 60◦, sen 60◦) = (1/ 2 ,
3 /2) es construi- ble, el m´etodo permitir´ıa construir (cos 20◦, sen 20◦). Por ´ultimo, una construcci´on que resolviera el tercer problema para el caso del c´ırculo de radio 1, permitir´ıa construir
π.
Tras estas observaciones, las dos proposiciones siguientes muestran que no hay ningu- na construcci´on con regla y comp´as en los t´erminos requeridos que permita resolver estos problemas. La sencillez de la primera proposici´on contrasta con los siglos que transcur- rieron hasta probar la imposibilidad de >1 y >2, lo que debe hacernos meditar sobre la importancia de crear el lenguaje adecuado para resolver un problema matem´atico. La segunda proposici´on es bastante m´as compleja y su prueba opcional en este curso.
Proposici´on 2.3.2 [Q( 3
- : Q] = [Q(cos 20◦) : Q] = 3, por tanto > 1 y > 2 no tienen soluci´on con regla y comp´as.
Demostraci´on: La igualdad [Q( 3
- : Q] = 3 es trivial porque x^3 − 2 es el polinomio m´ınimo de 3
- L´as f´ormulas de adici´on de la f´ormulas trigonom´etricas implican:
cos(3α) = cos(2α + α) = cos(2α) cos α − sen(2α) sen α = (cos^2 α − sen^2 α) cos α − (2 sen α cos α) sen α = 4 cos^3 α − 3 sen^2 α
Sustituyendo α = 20◦, se tiene que cos 20◦^ es una ra´ız del polinomio P = x^3 − 3 x/ 4 − 1 /8. Aplicando el criterio de Eisenstein a 8P
(x + 1)/ 2
se deduce que P es irreducible, por tanto es el polinomio m´ınimo de cos 20◦^ y [Q(cos 20◦) : Q] = 3. 2
Proposici´on 2.3.3 (Lindemann) π es trascendente sobre Q, en particular > 3 no tiene soluci´on con regla y comp´as.
Para los que quieran leer la letra peque˜na, o para los que no quieran leerla pero tengan inter´es en saber la idea bajo la demostraci´on, una peque˜na explicaci´on previa en miniatura: El resultado de Lindemann se basa en un trabajo anterior de Hermite en el que probaba que e es un n´umero trascendente. Ambas demostraciones son parecidas gracias a la misteriosa relaci´on eiπ^ = −1. Lo que hizo Hermite es encontrar fracciones mj /N que aproximan excepcionalmente bien a ej^ , de forma que cuando N → ∞ (con N en cierta subsucesi´onde N) el error tiende a cero m´as r´apido que 1/N. Con ello, fijados an, an− 1 ,... , a 1 ∈ Z y definiendo
AN = anen^ + an− 1 en−^1 + · · · + a 2 e^2 + a 1 e^1 − an
An N
− an− 1
An− 1 N
− · · · − a 2
A 2
N
− a 1
A 1
N
se tiene l´ımN →∞ N AN = 0. Si e fuera un cero del polinomio P = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0. Entonces N AN conformar´ıa una sucesi´on de enteros que tiende a cero, y las ´unicas sucesiones con estas caracter´ısticas son las que a partir de un t´ermino son id´enticamente nulas. Recapitulando, la estrategia para demostrar la trascendencia de e consiste en encontrar una aproximaci´on racional muy buena de sus potencias, y probar
36 CUERPOS Y SUS EXTENSIONES
que no ocurre el milagro de que el error es id´enticamente nulo para una combinaci´on lineal de ellas.
Para la demostraci´on “de verdad”, si P ∈ Z[x] con ∂P ≥ 1, fatoriza en C[x] como P = c(x−α 1 )(x− α 2 ) · · · (x − αk), definimos EP = eα^1 + eα^2 + · · · + eαk^.
El resultado fundamental ser´a el que enunciamos a continuaci´on:
Teorema 2.3.4 Sean P 1 , P 2 ,... , Pn ∈ Z[x] tales que Pj (0) 6 = 0, 1 ≤ j ≤ n. Dados an, an− 1 ,... , a 1 ∈ Z no simult´aneamente nulos, se tiene anEPn + an− 1 EPn− 1 + · · · + a 1 EP 1 6 ∈ Z − { 0 }.
Demostraci´on: Digamos que Pj factoriza en C[x] como Pj = cj (x − αj 1 )(x − αj 2 ) · · · (x − αjkj ). Sea P =
∏ j
∏ l(cj^ (x^ −^ αjl))^ ∈^ Z[x] y consideremos las cantidades m´agicas (esencialmente introducidas por Hermite)
A =
∑ j
aj
∑ l
eαjl
∫ (^) ∞
αjl
xp−^1 e−x (p − 1)!
( P (x)
)p dx y B =
∫ (^) ∞
0
xp−^1 e−x (p − 1)!
( P (x)
)p dx
con p un n´umero primo que elegiremos m´as adelante. Aunque parezca incre´ıble, A y B son enteros y A/B aproxima excepcionalmente bien a la expresi´on del enunciado. La igualdad (^) ∫ (^) ∞
0
xp−^1 e−x (p − 1)! xkdx = (p^ +^ k^ −^ 1)! (p − 1)! prueba inmediatamente que B ∈ Z, y si elegimos p 6 |Pj (0), se tiene p 6 |B porque P tiene un t´ermino independiente no nulo. Un argumento similar en A, tras el cambio de variable u = x − αjl en la integral, permite deducir que la suma en l es un polinomio sim´etrico de coeficientes enteros en cj αj 1 , cj αj 2 ,... , esto es, en las ra´ıces del polinomio m´onico ck j j^ −^1 Pj (x/cj ) ∈ Z[x]. Seg´un el Teorema 1.1.2 se tiene que la suma en l es un polinomio entero evaluado en los coeficientes de este polinomio, y por tanto A ∈ Z. Adem´as como P (u + αjl) no tiene t´ermino independiente, p|A. Por otra parte, si llamamos E a la expresi´on del enunciado, se tiene para ciertas constantes K 1 y K 2
|BE − A| =
∣∣ ∑ j
aj
∑ l
eαjl
∫ (^) αjl
0
xp−^1 e−x (p − 1)!
( P (x)
)p dx
∣∣ ≤ K^1 ·^ K
p 2 (p − 1)! ,
donde se ha usado que un polinomio en un intervalo finito est´a acotado. Tomando p suficientemente grande se consigue que el segundo miembro sea menor que 1. Si E fuera un entero no nulo, podr´ıamos suponer tambi´en p 6 |E y esto lleva a una contradicci´on, porque BE − A ser´ıa un entero no divisible por p y de valor absoluto menor que 1. 2
Corolario 2.3.5 (Hermite 1873) e es trascendente sobre Q.
Demostraci´on: T´omese P 1 = x − 1, P 2 = x − 2,... , Pm = x − m en el teorema anterior. 2 Demostraci´on de la Proposici´on 2.2.3: Si π fuera algebraico, iπ tambi´en lo ser´ıa (donde i =
√ −1). En ese caso existe un polinomio irreducible en Z[x] cuyas ra´ıces son α 1 = iπ, α 2 ,... Digamos que c es su coeficiente de mayor grado. La f´ormula de Euler implica eα^1 = −1 con lo cual
∏ k
( 1 + eαk
) = 0. Y operando en esta igualdad se obtiene
1 +
∑ j 1
eαj^1 +
∑ j 1 <j 2
eαj^1 +αj^2 +
∑ j 1 <j 2 <j 3
eαj^1 +αj^2 +αj^3 + · · · = 0
Si consideramos ∏ m(c(x^ −^ em)) donde^ em^ denota cada exponente no nulo que aparece en la f´ormula anterior, entonces P ∈ Z[x] (basta aplicar el Teorema 1.1.2 como en el teorema). La igualdad se podr´ıa escribir entonces como 1 + r + EP = 0 donde r es el n´umero de posibles exponentes nulos, y esto implica EP ∈ Z−^ en contradicci´on con el Teorema 2.3.4. 2
38 CUERPOS Y SUS EXTENSIONES
- Establecer las relaciones de inclusi´on que hay entre los cuerpos Q(i,
3), Q(
y Q(i +
- Demostrar que F 2 [x]
(x^2 + x + 1) es un cuerpo y calcular su cardinal. Dar la tabla de su producto.
- Construir un cuerpo con 25 elementos y otro con 27 Indicaci´on: No es necesario escribir la tabla de las operaciones en estos cuerpos.
- Probar que s´olo hay un cuerpo de cuatro elementos salvo isomorfismos.
- Probar que no hay dominios de integridad de seis elementos (por lo tanto no hay cuerpos de seis elementos).
- Probar que para todo primo p,
xp−^1 − 1 = (x − 1)(x − 2) · · · (x − (p − 1)).
- Si K tiene caracter´ıstica p, probar que φ : K −→ K dado por φ(k) = kp^ es un homomorfismo.
- Sea f = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + anxn^ en K[x] con a 0 , an 6 = 0. f es irreducible si y s´olo si a 0 xn^ + a 1 xn−^1 + a 2 xn−^2 + · · · + an es irreducible.
♦24. Sea A un dominio de integridad y supongamos que existe un cuerpo K ⊂ A tal que A es un espacio vectorial de dimensi´on finita sobre K. Demostrar que A es tambi´en un cuerpo.
♦25. Demostrar que si un primo p es de la forma p = n^2 + 2m^2 con n, m ∈ Z, entonces Z[
−2]/(n + m
−2) es isomorfo a Fp.
Secci´on 2.
- Hallar el grado de las siguientes extensiones y decir de qu´e tipo son:
i) Q( 4
2)/Q(
- ii) Q(e^2 πi/^5 )/Q iii) R(
3)/R iv) R( 4
−3)/R
v) F 7 (t)/F 7 (t^2 ) vi) F 7 (t)/F 7 vii) Q(
5)/Q viii) Q(
5)/Q
- Probar que Q(
7 ,... , n
7 ,.. .) no es una extensi´on finita de Q.
♥28. Probar que A/Q es una extensi´on infinita, donde A ⊂ C son los n´umeros alge- braicos sobre Q.
- Demostrar que una extensi´on de grado primo es simple.
- Si L/K es finita y P es un polinomio irreducible en K[x], demostrar que si P tiene alguna ra´ız en L, entonces ∂P divide a [L : K].
- Si L/K es finita y K ⊂ M ⊂ L, probar que para cualquier α ∈ L se cumple [M (α) : M ] ≤ [K(α) : K].
- Sea K(α, β) una extensi´on algebraica de K, nα = [K(α) : K], nβ = [K(β) : K] y n = [K(α, β) : K]. i) Demostrar que mcm(nα, nβ )|n y n ≤ nα · nβ. ¿Qu´e se puede decir si nα y nβ son coprimos? ii) Mostrar un ejemplo con nα 6 = nβ en el que se cumpla n < nα · nβ.
- Probar que L/K y M/L algebraicas, implica M/K algebraica.
- Sea a un n´umero complejo algebraico sobre Q, y sea p(x) ∈ Q[x] el polinomio m´ınimo de a sobre Q. Demostrar que
a es tambi´en algebraico sobre Q, y determinar su polinomio m´ınimo sobre Q.
♥35. Sea F un cuerpo y sea f (x) ∈ F [x] un polinomio no nulo. Probar que si a est´a en alguna extensi´on de F , y f (a) es algebraico sobre F , entonces a es algebraico sobre F.
√^ ♥36.^ Sea^ β^ un cero de^ f^ (x) =^ x^5 + 2x^ + 6. Probar que ninguno de los n´umeros 2 , 3
2 pertenece a Q(β).
♥37. Si α es trascendente sobre K, ¿cu´al es el grado de K(α)/K?
- Probar que un polinomio m´onico P (no constante) es el polinomio m´ınimo de α sobre K[x] si y s´olo si es irreducible y cualquier Q ∈ K[x] con Q(α) = 0 es divisible por P.
- Hallar [Q( 7
3) : Q].
- Si [K(α) : K] = n y P ∈ K[x] es el polinomio m´ınimo de α, indicar alguna base de K[x]/(P ) sobre K.
- Sean α y β en L/K tales que [K(α) : K] = m y [K(β) : K] = n. Demostrar que el grado del polinomio m´ınimo de β en K(α) es n si y s´olo si el grado del polinomio m´ınimo de α en K(β) es m.
- Calcular el polinomio m´ınimo de
5 en Q(
- Sea α una ra´ız de P = x^3 − x − 2 ∈ Q[x]. Escribir (α + 1)/(α − 1) como una combinaci´on lineal de 1, α y α^2.
- Si K(α)/K es una extensi´on de grado tres, calcular [K(α^2 ) : K]. Suponiendo que el polinomio m´ınimo de α es x^3 + x − 1, hallar el polinomio m´ınimo de α^2.
♦45. Calcular el polinomio m´ınimo de 3
- Probar que Q(
5) = Q(
- Calcular el grado del polinomio m´ınimo de cos(2π/p) sobre Q donde p es un primo. Indicaci´on: Comp´arese la extensi´on correspondiente con Q
e^2 πi/p
/Q.
- Si n y m son enteros positivos libres de cuadrados (no divisibles por cuadrados distintos de 1^2 ), comparar los cuerpos Q(
n,
m), Q(
n +
m) y Q(
nm).
- Hallar el grado de la extensi´on Q
/Q.
que hab´ıa escapado al ingenio de los antiguos ge´ometras griegos. Seg´un se dice, Gauss mand´o que fuera inscrita en su tumba).
- Sea α la ´unica ra´ız real positiva de P = x^4 − 10 x^3 + 26x^2 + 16x − 14. Sabiendo que no existe Q $ M $ Q(α) tal que M/Q sea de grado 2, probar que [Q(α) : Q] = 4 pero α no es construible.
- Demostrar que si los pol´ıgonos regulares de n y m lados son construibles con regla y comp´as, tambi´en lo es el de mcm(n, m) lados. Concluir del ejercicio anterior que el pol´ıgono regular de 204 lados es construible con regla y comp´as.
- ¿Se puede triplicar el cubo?
- ¿Se puede trisecar el ´angulo de π/ 2 n^ radianes?
- Decir si las siguientes extensiones son algebraicas o trascendentes.
Q(π,
3)/Q(
3), Q(
π)/Q(π), Q(e)/Q(e^5 − e^3 + 7e^2 + 100e − 1).
- Demostrar que si α y β son trascendentes sobre Q, entonces α + β ´o α · β son trascendentes sobre Q. Dar un contraejemplo a la implicaci´on: α, β trascendentes ⇒ α + β trascendente.
- Responder a la siguiente cr´ıtica: El argumento para probar que el ´angulo de 60◦^ no se puede trisecar no es concluyente, porque s´olo se demuestra que (cos 20◦, sin 20◦) no es construible, y quiz´a haya alg´un otro punto disitinto del origen) en la recta u = x tan 20◦ que s´ı sea construible, lo que permitir´ıa la trisecci´on.
- Supongamos que disponemos de una regla curva cuyo borde tiene la forma de la gr´afica de y = x^3 para x ≥ 0. Esta regla est´a sin graduar (aunque tiene marcado el cero) y s´olo puede ser usada para trazar la curva que une dos puntos construibles, uno de ellos situado en el origen de la regla. Demostrar que con regla, comp´as y regla curva se puede duplicar el cubo. ¿Se puede cuadrar el c´ırculo? ¿Y trisecar el ´angulo?
♦71. Sea P (x) = xn(1 − x)n/n!. Probar que si π^2 fuera una fracci´on con numerador a,
entonces En = anπ
0 P^ (x) sen(πx)^ dx^ ser´ıa un entero no nulo para todo^ n. Demostrar que l´ım En = 0, llegando a una contradicci´on con que π^2 ∈ Q.
42 CUERPOS Y SUS EXTENSIONES
